专题01 特殊平行四边形（3种基础题型+2种提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（四川成都专用）

专题01 特殊平行四边形（3种基础题型+2种提升题型） 菱形 1．（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，交对角线于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（    ）    A．10 B．15 C．20 D．25 5．（22-23八年级下·河南漯河·期中）如图，正方形的面积为，菱形的面积为，则的长是（    ）    A．4 B． C．1 D．2 6．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 7．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形 8．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 9．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是 ． 10．（23-24八年级下·全国·期中）如图，四边形中，，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当时，求 的长． 11．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，的对角线相交于点，，，点在线段上从点出发以的速度向点运动，点在线段上从点出发以的速度向点运动． (1)若点同时运动，设运动时间为t秒，当为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下，当为何值时，是菱形？ 矩形 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 3.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 4．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，已知矩形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，、分别交于点O、F，且，则的长为（　　）    A． B． C． D． 5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    6．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 8．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至G，使，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是什么样的四边形？试说明理由． 9．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）矩形折叠探究 在矩形纸片中，，点是边上的一点． (1)如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长； (2)如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长． 10．（22-23七年级下·广西柳州·期中）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作直线轴，垂足为，交线段于点． (1)如图1，过点作，垂足为，连接． ①填空：的面积为_________； ②点为直线上一动点，当时，求点的坐标； (2)如图2，点为线段延长线上一点，连接，，线段交于点若，请直接写出点的坐标为______． 正方形 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·山东威海·期中）如图，正方形的顶点，在坐标轴上，将正方形绕点第1次逆时针旋转得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，在正方形中，E为的中点，是上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，将分别沿、AF折叠，使恰好落在点M处，已知，则的长为（   ） A．2.4 B．3.4 C．4 D．5 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ． 5．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知直线，且相邻两条平行直线间的距离都是d，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，且面积是5，则 6．（2023·江西上饶·一模）如图，在正方形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为 ． 7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 8．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 9．（22-23八年级下·山东泰安·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)求证： (3)若，，求的长． 10．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图1，点E，F，M，N分别是正方形纸片四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)把图1中的四个直角三角形剪下来，拼成图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）．我们知道，勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请结合图2，利用所学知识证明勾股定理，写出推导过程； (3)若正方形纸片的边长为4，，求图2中中间小正方形的面积． 11．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边． (1)下列选项中一定是“奇妙”四边形的是______．（填写序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图，在四边形中，平分，请说明四边形是“奇妙”四边形； (3)已知在“奇妙”四边形中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边，对角线，求该“奇妙”四边形的周长． 最值问题 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知矩形中，，．点为上任意一点（可与点或重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形为矩形，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，，是 （填“锐角、直角、钝角”）三角形；长的最小值为 ． 4．（22-23八年级下·重庆江北·期中）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 四边形综合 1．（22-23八年级下·广西贵港·期中）问题情境：已知正方形是对角线上任意一点． 思考发现：（1）如图1，若连接，则线段与的数量关系为___________． 探究应用：（2）如图2，经过点B作与的延长线交于点与交于点G． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若G是的中点，且，求线段的长． 拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若，请直接给出线段的长． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，以为边作平行四边形，点落在边上，点落在矩形内或其边上． (1)如图，当，，且时， 求证：四边形是正方形；连接，直接写出的面积______ ； (2)如图，当且时，若，连接， ______ ；用含的代数式表示 求面积的取值范围； (3)如图，当与的长度之比为：，且时，在点从点运动到点的过程中，直接写出点运动的路线长______ ． 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）分层探究 (1)问题提出：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接．求证：，解题思路：把绕点A逆时针旋转______度至，可使与重合．由，则知F、D、G三点共线，从而可证______，从而得，阅读以上内容并填空． (2)类比引申：如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．探究：若，猜想的数量关系，并给出理由． (3)联想拓展：如图3，在中，，点D、E均在边上，并且．猜想的数量关系，并给出理由． 4．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点． (1)求证：； (2)是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若，求的长．（自己画草图） 5．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形（3种基础题型+2种提升题型） 菱形 1．（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，交对角线于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．由菱形的性质可得，，，由“”可证，可得，可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形性质，折叠变换的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据折叠和菱形的性质可推出，的度数，再由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得，，最后利用可求得答案． 【详解】由折叠得： 又四边形ABCD是菱形， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 答：的长是； 故选． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（    ）    A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】过点A作于点H，利用已知条件求出边、、的值，再利用即可求出答案． 【详解】过点A作于点H，   ，，， ，，, 四边形是菱形， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、中点坐标和求不规则四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（22-23八年级下·河南漯河·期中）如图，正方形的面积为，菱形的面积为，则的长是（    ）    A．4 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的面积公式，熟练掌握正方形的性质，菱形的面积公式是解题的关键． 连接，根据正方形的面积为，求得，根据菱形的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接，如图：   正方形的面积为， ， ， ， 菱形的面积为， ， ， 故选：D． 6．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由直角三角形的特征， 当、、三点共线时，取得最小值，此时，的最小值为，即可求解；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，找出取得最值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，过点M作于点E，连接， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时， 的最小值为， ， ， ， 的最小值为； 故答案：． 7．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质，根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了菱形的性质，如图所示，过点A作于H，连接，根据菱形的面积公式和周长公式求出，，再根据，即可推出． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，连接， ∵菱形的周长为24， ∴， ∵菱形的面积是12， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．（23-24八年级下·全国·期中）如图，四边形中，，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当时，求 的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】（）根据作图可知，是的垂直平分线，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得，所以判定四边形是平行四边形，最后通过即可证明； （）由，，得是的中点，，故有，，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得，最后由勾股定理即可求解； 本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：设与的交点为， 根据题意得垂直平分，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， （2）解：∵，， ∴是的中点，， ∴，， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， ∴，即是直角三角形， ∴由勾股定理得：． 11．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，的对角线相交于点，，，点在线段上从点出发以的速度向点运动，点在线段上从点出发以的速度向点运动． (1)若点同时运动，设运动时间为t秒，当为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下，当为何值时，是菱形？ 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）若是平行四边形，由，则，故有，即可求得值； （2）若是菱形，则垂直于，即有，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当t为2秒时，四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，则， ， ； ∴当为时，平行四边形是菱形； 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 矩形 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴， 故选：B． 2．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 【答案】D 【分析】利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵点E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，且． 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理：，， 又∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴四边形的面积， 即四边形的面积是12． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形的含义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 3.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据四边形为矩形，，，推出，又因为点在线段的垂直平分线上，则，由折叠性质得：，，利用勾股定理求出，则可求，设，则，列出方程即，求解即可．本题考查翻折变换，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：如图，   四边形为矩形，，， ， 又点在线段的垂直平分线上， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ， 由折叠性质得：，， 在中， ， ， 设，则， 在中，， 即， ， 即的长为． 故选：C． 4．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，已知矩形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，、分别交于点O、F，且，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 根据折叠的性质可得出，进而、，再证，根据全等三角形的性质可得出，设，则，，，依据中，，解方程，即可确定的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 根据折叠可知：， ，． 在和中， ， ， ，， ， 设，则，，， ，中，， 即，， ， 故选：C． 5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了线段和最小值中典型的“将军饮马型”，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键． 作P关于的对称点，连接，交于E，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于F，于H，利用勾股定理求出和即可． 【详解】解：如图，作P关于的对称点，连接，交于E，连接，    ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为， 作于F，于H， ∵， ∴， ∵点O是矩形的对称中心，经过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 6．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平方根解方程，掌握矩形的对角线相等且平分是解题关键．由矩形的性质可得，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得出， ，由勾股定理逆定理可得出，由对顶角相等可得出，由平行的性质可得出四边形是平行四边形， 进而可得出是矩形． 【详解】证明：∵是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由平移知：，， ∴四边形是平行四边形 ∴是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定，勾股定理逆定理的应用，以及平移的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 8．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至G，使，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是什么样的四边形？试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明即可； （2）证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 点，分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ； （2）四边形是矩形，理由如下： ，， ， 是的中点， ， ， 同理：， ， ， ，， 是的中位线， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）矩形折叠探究 在矩形纸片中，，点是边上的一点． (1)如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长； (2)如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理解答即可； （2）根据折叠的性质以及勾股定理解答即可． 此题考查矩形的性质和勾股定理，关键是根据矩形的性质和折叠的性质解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴，，， 设，则， 由折叠可得，， 在中，， 即， 解得：， ∴； （2）解：当点与点重合时， 设，则， 由折叠可得，，，， 在中，， 即， 解得：， ． 如图：过点作 ∵四边形是矩形， ∴四边形，是矩形 则设 ∴ 在中， ∴ ∴ 在中， ∴ 10．（22-23七年级下·广西柳州·期中）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作直线轴，垂足为，交线段于点． (1)如图1，过点作，垂足为，连接． ①填空：的面积为_________； ②点为直线上一动点，当时，求点的坐标； (2)如图2，点为线段延长线上一点，连接，，线段交于点若，请直接写出点的坐标为______． 【答案】(1)①6；②或；(2) 【分析】（1）①易证四边形为矩形，则点到的距离为，，，，即可得出结果； ②由点坐标为得出，则，设，当点在轴上方时，；当点在轴下方时，设为，过点作轴，则四边形为直角梯形，，列出方程解方程即可得出结果； （2）由，则，与是以为同底的三角形，高分别为：、，得出，即可得出结果． 本题是三角形综合题，主要考查了图形与点的坐标、矩形的判定与性质、三角形面积与矩形面积、直角梯形面积的计算等知识，熟练掌握图形与点的坐标，根据面积关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①轴，， 轴，四边形为矩形，点到的距离为， 点，点， ，， ， 故答案为：6； ②点坐标为， ，， ， 设，如图1所示： 当点在轴上方时， ， ， ， 点的坐标为：； 当点在轴下方时，设为， 过点作轴，则四边形为直角梯形， ， ， ， 点的坐标为：； 点的坐标为：或； （2）解：，如图2所示： ， 与是以为同底的三角形，高分别为：、， ， 点的坐标为， 故答案为：． 正方形 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（22-23九年级下·山东威海·期中）如图，正方形的顶点，在坐标轴上，将正方形绕点第1次逆时针旋转得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，在正方形中，E为的中点，是上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，设正方形的边长为，先求出，则，再利用勾股定理得到，，，则，据此利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形． 【详解】证明：设正方形的边长为， ∵E为的中点，是上一点，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理可得，， ∴， ∴是直角三角形．. 故选C． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，将分别沿、AF折叠，使恰好落在点M处，已知，则的长为（   ） A．2.4 B．3.4 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题， 解题的关键是找准不变的线段， 利用勾股定理求解线段 ． 由图形折叠可得，，因为正方形的边长为4 ，求出，在直角中， 运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为 4 ， ∴，， 在中， ， ， 解得， ． 故选B． 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了正方形中的计算，解题关键是构造全等三角形． 作等边三角形，连接，由正方形，等边三角形，得，得，故当时最小，此时，即可得． 【详解】解：作等边三角形，连接， ∵正方形，等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 故当时最小，此时， ∴． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知直线，且相邻两条平行直线间的距离都是d，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，且面积是5，则 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．过点作直线与平行线垂直，与交于点，与交于点．易证，可得，，在中，结合正方形的面积公式构建方程即可解决问题． 【详解】作，交于点，交于点． ∵，， ，， 即． ， 四边形为正方形， ，， ． ， 在和中， ， ， ． ∵正方形的四个顶点分别在四条直线上，且面积是5， ∴ 在中，，，     ， （负值已舍）． 故答案为：1． 6．（2023·江西上饶·一模）如图，在正方形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点作于点，   四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 将边绕点逆时针旋转至， ， 又， ， ， ， （负值舍去）， 故答案为：1． 7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)见解析；(2)6． 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】（1）如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，根据正方形的性质易证，根据全等三角形的性质推出，，求出，根据正方形的判定得出即可． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，，， 即，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 9．（22-23八年级下·山东泰安·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由正方形，正方形可得，，，后利用即可证明结论； （2）由，得，再根据得，解答即可； （3）由（1）则可得，后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长． 【详解】（1）证明：四边形，是正方形， ，，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ； （3）解：， ， 四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ， ． 10．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图1，点E，F，M，N分别是正方形纸片四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)把图1中的四个直角三角形剪下来，拼成图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）．我们知道，勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请结合图2，利用所学知识证明勾股定理，写出推导过程； (3)若正方形纸片的边长为4，，求图2中中间小正方形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，正确理解题意，会利用勾股定理解题是解决问题的关键． （1）通过证明，先得出四边形是菱形，再证明四边形中一个内角为，从而得出四边形是正方形的结论； （2）设设正方形的边长，，，则小正方形的边长，根据正方形的面积，正方形的面积，即可得到结论； （3）先得到，则，即可求得结果． 【详解】（1）证明：如图1 ∵四边形是正方形， ，． ∵， ∴， ∵， ， 四边形是菱形， ∵， ， 四边形是正方形； （2）如图， ∵ ，，， 设正方形的边长，，， 则小正方形的边长， 小正方形的面积为， 正方形的面积，正方形的面积 ∴； （3）∵正方形的边长为4， ， ， ， 中间小正方形的面积为． 11．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边． (1)下列选项中一定是“奇妙”四边形的是______．（填写序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图，在四边形中，平分，请说明四边形是“奇妙”四边形； (3)已知在“奇妙”四边形中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边，对角线，求该“奇妙”四边形的周长． 【答案】(1)②④ (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据“奇妙”四边形的定义求解即可； （2）如图所示，过点D作于E，交延长线于F，由角平分线的性质得到，再证明，得到，即可证明四边形是“奇妙”四边形； （3）分和，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】（1）解：矩形和正方形的对角都为90度，即它们的对角互补，且它们的对边相等，而平行四边形和菱形的对角不一定互补， 故正方形和矩形是“奇妙”四边形， 故答案为：②④； （2）证明：如图所示，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是“奇妙”四边形； （3）解：如图所示，当时，延长到E，使得，连接，过点A作于F， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵“奇妙”四边形的一组对角互补，且四边形内角和为360度， ∴“奇妙”四边形的另一组对角也互补， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； 如图所示，当时，延长到E，使得，连接，过点B作于F，过点H作直线的垂线，交直线于H， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴平方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； 综上所述，四边形的周长为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质与判定，正方形，矩形，菱形，平行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 最值问题 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】证明出四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，说明点在上，作点关于的对称点，连接，交于点，则三角形为所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周长． 【详解】解：如图，连接、交于， 点、、、分别是边、、、中点， 、为、的中位线， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为， ， 点在上， 作点关于的对称点，连接，交于点， 由对称得，， ， 由两点间线段最短得，此时最短， 周长最短， ，， 为等边三角形， ， ， ， 点、分别是边、的中点，且， 为等边三角形， ， 到的距离为， 点到的距离为， 点到的距离为， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称线段最短问题，菱形性质、中点四边形性质及三角形中位线性质的应用是本题的解题关键． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知矩形中，，．点为上任意一点（可与点或重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质．连接，，利用建立关于线段的方程，取最大值时，的值最小，求出即可． 【详解】解：连接，， 矩形，，． ， ， ， ， ， 点为上的动点， 取最大值时，的值最小． 当点与点重合时，最大， 时，最小值， 故选：C． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形为矩形，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，，是 （填“锐角、直角、钝角”）三角形；长的最小值为 ． 【答案】 直角 【分析】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．取的中点，连接，，证明，推出，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：直角，． 4．（22-23八年级下·重庆江北·期中）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）先求出菱形的边长，再根据面积公式求出的长； （2）在上取一点，使，连接，将转化为转化为，即可得证； （3）将绕点逆时针旋转至，证明，将转化为，即可得到最小值． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，对角线， ， ， ， ， ； （2）证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∵为直角三角形，为中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：将绕点逆时针旋转至，连接， 在上， ，， 在和中，， ∴，， ， ，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，属于综合题，正确做出辅助线是解题的关键． 四边形综合 1．（22-23八年级下·广西贵港·期中）问题情境：已知正方形是对角线上任意一点． 思考发现：（1）如图1，若连接，则线段与的数量关系为___________． 探究应用：（2）如图2，经过点B作与的延长线交于点与交于点G． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若G是的中点，且，求线段的长． 拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若，请直接给出线段的长． 【答案】（1）；（2）①是等腰三角形，见解析；②；（3） 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）①根据全等三角形的对应角相等，对顶角相等，以及等角的余角相等，得到，进而得到，即可得出结论； ②过点作，三角形的中线平分面积得到，得到，利用三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长即可； （3）勾股定理求出的长，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①为等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②过点作，    ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，； （3）∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，以为边作平行四边形，点落在边上，点落在矩形内或其边上． (1)如图，当，，且时， 求证：四边形是正方形； 连接，直接写出的面积______ ； (2)如图，当且时，若，连接， ______ ；用含的代数式表示 求面积的取值范围； (3)如图，当与的长度之比为：，且时，在点从点运动到点的过程中，直接写出点运动的路线长______ ． 【答案】(1)①详见解析；② (2)①；② (3) 【分析】（1）①在中，，为矩形，，，，，，，矩形为正方形， ②过作于，则，，，，，； （2）①连接，过点向作垂线交于点，求出，，，； ②，，为菱形，连接，，，又，，，又， ，，，，当取最小值时，有最大值40，当点与点重合时，点在上，即，面积的取值范围即可求得； （3）解：当点与点重合时，点位置如图，当点与点重合时，点在点处，点在点处，点的运动路线为线段，由题意知：，，． 【详解】（1）①证明：在中．， 为矩形， 若 则， 在矩形中， ， ， ， ， 又， ， ， 矩形为正方形； ②解：过作于，则，如图1， ，， ， 又 ， 又由， ， ， ， 故答案为：32； （2）解：①连接，过点向作垂线交于点，如图2， 若，则， ， ， ， 又：， ， 故答案为：； ②， 则， 当时，为菱形，连接， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当取最小值时，有最大值40， 当点与点重合时，点在上， 即， 面积的取值范围为：； （3）解：当点与点重合时，点位置如图，根据瓜豆原理，主动点的轨迹是线段，则从动点轨迹也是线段，则点的运动路线为线段， 由题意知：， ， 所以点的运动路线长为． 【点睛】本题考查动点，矩形，菱形，正方形的综合问题，解题的关键是对以上知识的熟练掌握． 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）分层探究 (1)问题提出：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接．求证：，解题思路：把绕点A逆时针旋转______度至，可使与重合．由，则知F、D、G三点共线，从而可证______，从而得，阅读以上内容并填空． (2)类比引申：如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．探究：若，猜想的数量关系，并给出理由． (3)联想拓展：如图3，在中，，点D、E均在边上，并且．猜想的数量关系，并给出理由． 【答案】(1)， (2)仍有；理由见解析 (3)猜想：．理由见解析 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍有；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． 4．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点． (1)求证：； (2)是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若，求的长．（自己画草图） 【答案】(1)见详解 (2)①②的长为或4 【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质证明，则可得出结论； （2）①证出，设，则，，则可得出结论； ②分两种情况，由矩形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：沿折叠点的对应点是点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 折叠， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ； ②如图，若，在在上方，设， ， ， ， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ，（舍， ； 如图，设， 同理可得， ，（舍， ， 综上所述，的长为或4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5.（23-24八年级下·江苏镇江·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）①由折叠性质和可求出度数； ②由折叠和勾股定理可求出，设，再利用中利用勾股定理列出式子，求解即可； （2）过点作，为垂足，设，在中利用勾股定理列出式子，求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时和当时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由翻折得， ∵，， ∴， 故答案为：； ②如图，由折叠知，，， 在中，， 设，则，， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作，为垂足， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； （3）解：①当时，如图， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴， 设，则，，∴， 由翻折知，∵， ∴，，∴， 又∵，，∴， ∴，即，解得：，即； 故答案为：或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$