1.1 认识三角形 练习 2023-2024学年浙教版八年级数学上册

1.1认识三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 2．（2024春•定陶区期末）下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•新民市期末）如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论错误的是（　　） A．AD是△ABC的角平分线 B．CE是△ACD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 4.（2020秋•厦门期末）若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　） A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝BC 5．（2023秋•丛台区校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 6．（2023春•工业园区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，点E在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等． （1）求线段AE的长； （2）图中共有 　 　条线段； （3）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值； （4）若四边形ACDE的面积为n，则点D到直线AB的距离为 　 　．（用n的代数式表示） 7．（2024•宝山区校级开学）把一根长15厘米的铁丝围成一个三角形，每条边的长都是整厘米数，可以围成（　　）个不同的三角形 A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2021秋•周至县期中）如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP． 9．（2024春•曲阳县期末）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 10．（2023秋•仪征市期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝30°，则∠β的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 11．（2024春•太康县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 12．（2024春•夹江县期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论： ①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF+∠C； ③∠F＝（∠BAC﹣∠C）； ④∠BGH＝∠ABE+∠C 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 13．（2024春•汉中期末）已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　） A．一定有一个内角为60° B．一定有一个内角为45° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 14．（2024春•沙坪坝区期末）△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 15．（2024•嘉善县一模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠B＝α，∠EAD＝β，则∠C的度数为（　　） A． B．2a﹣β C．2β﹣α D． 16．（2023秋•宣城期末）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 17．（2024春•重庆期中）如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（　　） A．140° B．210° C．220° D．320° 18．（2022秋•郾城区期中）△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 19．（2022秋•兴城市校级月考）如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（　　） A．∠AHE＝∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE＞∠CHG D．不一定 20．在△ABC中，∠C≠90°，高BD和CE所在的直线交于H，求∠BHC和∠A有什么关系． （1）写出探究过程：∠BHC和∠A的关系为：　 　 （2）探究归纳：非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角 　 　； （3）模型应用：在钝角△ABC中，∠A＝45°，高BD和CE所在的直线交于点H，则∠BHC的度数为 　 　． 21．（2022春•兰考县期末）已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（　　） A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135° 22．（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝80°，求∠BOC的度数； （2）如图②，，，∠A＝α，则∠BOC＝　 　（直接用α表示）； 拓展研究： （3）如图③，，，∠A＝84°，求∠BOC的度数； （4）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝，，∠A＝α，请猜想∠BOC＝　 　（直接用α表示）． 23．（2024春•思明区校级期末）【问题情境】如图，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？ 小明同学经过思考，给出以下解答： 在图1中过A作AE⊥BC于点E． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝BC， ∴S△ABD＝． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点F在AD上． ①若D是BC的中点，求证：S△ABF＝S△ACF； ②若BD＝2CD，则S△ABF：S△ACF＝　 　． 【拓展延伸】 （2）如图3，M在BC上，N在AC上，且CN＝2AN，AP：MP＝2：1，求BM与CM的数量关系． 24．（2021春•朝阳区校级月考）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边长的比．如图1，M为△ABC的AB上一点，则有．若△ABC的面积为a，△CBM的面积为S，且BM＝2AM，则S＝　 　（用含a的代数式表示）． 【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积． 【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请求出四边形BMDN的面积． 参考答案 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【分析】根据三角形的特征解答即可． 【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选：C． 【点评】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 2．（2024春•定陶区期末）下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答． 【解答】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的高线，属于基础题，熟记概念是解题的关键． 3．（2023春•新民市期末）如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论错误的是（　　） A．AD是△ABC的角平分线 B．CE是△ACD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【分析】利用三角形的角平分线的定义判断选项A、B、D，利用角平分线的性质判断C． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AD是△ABC的角平分线，故选项A正确； ∵∠3＝∠4， ∴CE是△ACD的角平分线，∠3＝∠ACB， 故选项B、C正确，选项D说法错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线，理解三角形角平分线的定义和角平分线的性质是解决本题的关键． 4．（2020秋•厦门期末）若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　） A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝BC 【分析】根据三角形的中线的定义即可判断． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 5．（2023秋•丛台区校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 【分析】（1）由BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）根据三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝4， 即AB﹣AC＝4①， 又AB+AC＝14②， ①+②得．2AB＝18， 解得AB＝9， ②﹣①得，2AC＝10， 解得AC＝5， ∴AB和AC的长分别为：AB＝9，AC＝5． （2）∵AB＝9，AC＝5， ∴AB﹣AC＜BC＜AB+AC， 即9﹣5＜BC＜9+5， ∴4＜BC＜14， ∴4+9+5＜AB+BC+AC＜14+9+5， ∴18＜△ABC周长＜28． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 6．（2023春•工业园区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，点E在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等． （1）求线段AE的长； （2）图中共有 　8　条线段； （3）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值； （4）若四边形ACDE的面积为n，则点D到直线AB的距离为 　n　．（用n的代数式表示） 【分析】（1）根据线段中点的概念得到BD＝CD，根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算即可； （2）根据线段的概念写出图中线段； （3）根据题意列式计算求出2BC+DE的值，进而求出BC+DE的值； （4）连接AD，根据面积之比等于同高的底边之比，得出S△ADE：S△BDE＝1：4，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，设S△ADE＝x，则S△ACD＝5x，求出用n表示三角形的面积，再根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，求出点D到直线AB的距离 【解答】解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵△BDE与四边形ACDE的周长相等， ∴BE+BD+DE＝AE+AC+CD+DE， ∴BE＝AE+AC， ∵AB＝10m，AC＝6cm， ∴BE＝8cm， ∴AE＝AB﹣BE＝2cm； （2）图中线段有：BE、BA、EA、BD、BC、DC、DE、AC共8条， 故答案为：8； （3）∵图中所有线段长度的和是53cm， ∴BE+BA+EA+BD+BC+DC+DE+AC＝2BA+2BC+DE+AC＝53cm， ∴2BC+DE＝27cm， ∴BC+DE＝cm； （4）如图所示连接AD： ∵AB＝10cm，AE＝2cm， ∴BE＝8cm， ∴AE：BE＝1：4， ∴S△ADE：S△BDE＝1：4， ∵D是BC的中点， ∴BD＝DC， ∴S△ABD＝S△ACD， 设S△ADE＝x，则S△ACD＝5x， ∵S四EDCA＝S△AED+S△ADC＝n， ∴6x＝n， ∴x＝， ∴S△BDE＝n， ∴s设点D到直线AB的距离为h， ∴×8h＝n， ∴h＝n， 故答案为：n． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，正确写出图中线段的条数是解题的关键． 7．（2024•宝山区校级开学）把一根长15厘米的铁丝围成一个三角形，每条边的长都是整厘米数，可以围成（　　）个不同的三角形 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【解答】解：围成的三角形为： ①1、7、7； ②2、6、7； ③3、5、7； ④4、4、7； ⑤3、6、6； ⑥4、5、6； ⑦5、5、5； 可以围成7种不同的三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是根据三角形的特性进行分析、解答． 8．（2021秋•周至县期中）如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP． 【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论． 【解答】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD， 在△PDC中，CD+PD＞PC， ∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC ∴AB+AC＞BP+CP． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键． 9．（2024春•曲阳县期末）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC） ∴∠BDC＝90°+∠A， ∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 10．（2023秋•仪征市期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝30°，则∠β的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】只要证明α+β＝2∠ECF即可解决问题． 【解答】解：延长AE，BF交于点C′，连接CC′． ∵α＝∠ECC′+∠EC′C，β＝∠FCC′+∠FC′C， ∴α+β＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝∠ECF+∠EC′F＝2∠ECF， ∵∠ECF＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∴α+β＝80°， ∵α＝30°， ∴β＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．（2024春•太康县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB， ∵∠BA'C＝120°， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A， ∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'， ∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 12．（2024春•夹江县期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论： ①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF+∠C； ③∠F＝（∠BAC﹣∠C）； ④∠BGH＝∠ABE+∠C 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F， ①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C， ②正确； ③∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， ∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）； ③正确； ④∵∠AEB＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD＝∠FEB， ∴∠BGH＝∠ABE+∠C， ④正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 13．（2024春•汉中期末）已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　） A．一定有一个内角为60° B．一定有一个内角为45° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 【分析】先根据三角形内角和定理，可知∠A+∠B+∠C＝180°，即∠B+∠C＝180°﹣∠A，结合已知条件可知3∠A＝180°﹣∠A，解关于∠A的一元一次方程，即可求出∠A． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A， 又∵∠B+∠C＝3∠A， ∴3∠A＝180°﹣∠A， ∴∠A＝45°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理的知识，熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键． 14．（2024春•沙坪坝区期末）△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【分析】根据三角形的内角和公式和直角三角形的判定不难求得各角的度数，从而可判定其形状． 【解答】解：设三个角的度数分别为x，2x，3x，则根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度， 因而是直角三角形．故选B． 【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用一角等于90度来判定． 15．（2024•嘉善县一模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠B＝α，∠EAD＝β，则∠C的度数为（　　） A． B．2a﹣β C．2β﹣α D． 【分析】设∠BAE＝θ，则∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝θ+β，∠AED＝∠B+∠BAE＝α+θ，根据作图可知AB＝BD，AC＝CE，进而得∠BAD＝∠BDA＝θ+β，∠CAE＝∠CEA＝α+θ，则∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝α+θ﹣β，根据三角形外角定理得∠BDA＝∠CAD+∠C，由此可得出∠C的度数． 【解答】解：设∠BAE＝θ， ∵∠B＝α，∠EAD＝β， ∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝θ+β， ∵∠AED是△ABE的一个外角， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝α+θ， 根据作图可知：AB＝BD，AC＝CE， ∴∠BAD＝∠BDA＝θ+β，∠CAE＝∠CEA＝α+θ， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝α+θ﹣β， ∵∠BDA是△ACD的一个外角， ∴∠BDA＝∠CAD+∠C， 即θ+β＝α+θ﹣β+∠C， ∴∠C＝2β﹣α， 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的外角定理，等腰三角形的性质，理解基本作图，熟练掌握三角形的外角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 16．（2023秋•宣城期末）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【分析】由折叠的性质，得△BMN≌△B'MN，得∠BMN＝∠B'MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案． 【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴△BMN≌△B'MN， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明△BMN≌△B'MN． 17．（2024春•重庆期中）如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（　　） A．140° B．210° C．220° D．320° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B，再根据四边形的内角和等于360°得出∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B），再代入求出答案即可． 【解答】解：∵∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣140°＝220°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理，能熟记三角形的内角和等于180°和四边形的内角和等于360°是解此题的关键． 18．（2022秋•郾城区期中）△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据题意，设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，由三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， 设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∴3x+4x+5x＝180°， 解得：x＝15， ∴∠C＝5x＝75°， ∴△ABC是锐角三角形， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 19．（2022秋•兴城市校级月考）如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（　　） A．∠AHE＝∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE＞∠CHG D．不一定 【分析】利用角平分线的定义，可得出∠BAH＝∠BAC，∠ABH＝∠ABC，∠ACH＝∠ACB，结合三角形的外角性质，可得出∠AHE＝90°﹣∠ACB，在Rt△CHG中，利用三角形内角和定理，可求出∠CHG＝90°﹣∠ACB，进而可得出∠AHE＝∠CHG． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠BAH＝∠BAC，∠ABH＝∠ABC，∠ACH＝∠ACB． ∵∠AHE＝∠BAH+∠ABH＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB． ∵HG⊥AC， ∴∠HGC＝90°， ∴∠CHG＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB， ∴∠AHE＝∠CHG． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出∠AHE＝90°﹣∠ACB及∠CHG＝90°﹣∠ACB是解题的关键． 20．在△ABC中，∠C≠90°，高BD和CE所在的直线交于H，求∠BHC和∠A有什么关系． （1）写出探究过程：∠BHC和∠A的关系为：　相等或互补　 （2）探究归纳：非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角 　相等或互补　； （3）模型应用：在钝角△ABC中，∠A＝45°，高BD和CE所在的直线交于点H，则∠BHC的度数为 　45°　． 【分析】（1）分①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）方法同（1）． 【解答】解：（1）①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A， ∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝90°﹣∠A+90°＝180°﹣∠A； ②如图2△ABC是钝角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等）， ∴∠BHC＝∠A， 综上所述：∠BHC和∠A的关系为：相等或互补； （2）非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角相等或互补； （3）如图2，△ABC是钝角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等）， ∴∠BHC＝∠A＝45°， 故答案为：相等或互补；相等或互补；45°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观． 21．（2022春•兰考县期末）已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（　　） A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135° 【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解； ②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解． 【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°， 在△ABD中，∵∠A＝45°， ∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°； ②如图2，△ABC是钝角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等）， ∴∠BHC＝∠A＝45°． 综上所述，∠BHC的度数是135°或45°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观． 22．（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝80°，求∠BOC的度数； （2）如图②，，，∠A＝α，则∠BOC＝　120°+　（直接用α表示）； 拓展研究： （3）如图③，，，∠A＝84°，求∠BOC的度数； （4）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝，，∠A＝α，请猜想∠BOC＝　　（直接用α表示）． 【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC； （2）根据∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），代入∠A＝α求出结论； （3）根据∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]，代入∠A＝84°求出结论； （4）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC＝． 【解答】解：（1）∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BOC＝130°； （2）∠BOC＝120°+α． 理由如下： ∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝120°+α． 故答案为：120°+α； （3）∵，，∠A＝84°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB） ＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）] ＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）] ＝180°﹣（180°+84°） ＝92°； （3）∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠DBC+∠ECB） ＝180°﹣（180°+∠A） ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 23．（2024春•思明区校级期末）【问题情境】如图，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？ 小明同学经过思考，给出以下解答： 在图1中过A作AE⊥BC于点E． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝BC， ∴S△ABD＝． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点F在AD上． ①若D是BC的中点，求证：S△ABF＝S△ACF； ②若BD＝2CD，则S△ABF：S△ACF＝　2：1　． 【拓展延伸】 （2）如图3，M在BC上，N在AC上，且CN＝2AN，AP：MP＝2：1，求BM与CM的数量关系． 【分析】（1）①根据三角形的一条中线平分该三角形的面积，即可解决问题； ②根据题意可得△ABD的面积：△ACD的面积＝2：1，所以点B和点C到AD边的距离之比是2：1，得以AF为底的三角形面积之比是2：1，进而可以解决问题； （2）如图3，连接CP，设△BMP的面积为s，△APN的面积为a，得△CPN的面积为2a，△APC的面积为3a，△CPM的面积为a，△APB的面积为2s，所以△ABN的面积为2a+s，△BCN的面积为2a+a+s＝a+s，求出s＝a，进而可得结论． 【解答】（1）①证明：∵D是BC的中点， ∴△ABD与△ACD的面积相等， ∴点B，点C到AD边的距离相等， ∴以AF为底，高相等的三角形面积相等， ∴S△ABF＝S△ACF； ②解：∵BD＝2CD， ∴△ABD的面积：△ACD的面积＝2：1， ∴点B和点C到AD边的距离之比是2：1， ∴以AF为底的三角形面积之比是2：1， ∴S△ABF：S△ACF＝2：1， 故答案为：2：1； （2）解：如图3，连接CP， 设△BMP的面积为s，△APN的面积为a， ∵CN＝2AN， ∴△CPN的面积为2a， ∴△APC的面积为3a， ∵AP：MP＝2：1， ∴△CPM的面积为a，△APB的面积为2s， ∴△ABN的面积为2a+s，△BCN的面积为2a+a+s＝a+s， ∵CN＝2AN， ∴△BCN的面积：△ABN的面积＝2：1， ∴（a+s）：（2a+s）＝2：1， ∴s＝a， ∴△ABM的面积＝2s+s＝3s＝a，△AMC的面积＝3a+a＝a， ∴△ABM的面积：△AMC的面积＝：＝1：3， ∴BM：CM＝1：3， ∴BM与CM的数量关系为3BM＝CM． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等底等高的三角形面积相等． 24．（2021春•朝阳区校级月考）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边长的比．如图1，M为△ABC的AB上一点，则有．若△ABC的面积为a，△CBM的面积为S，且BM＝2AM，则S＝　a　（用含a的代数式表示）． 【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积． 【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请求出四边形BMDN的面积． 【分析】【经验发展】根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可； 【结论应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可； 【迁移应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可． 【解答】解：【经验发展】∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM， ∴S＝a， 故答案为a； 【结论应用】连接BD， ∵△CDE的面积为1，＝， ∴S△BDC＝3S△DEC＝3， ∵， ∴S△ABC＝4S△BDC＝12； 【迁移应用】连接BD， 设S△ADM＝a， ∵M是AB的三等分点（AM＝AB）， ∴S△ABD＝3a，S△BDM＝2a， ∵N是BC的中点， ∴S△ABN＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN， ∴S△ADC＝S△ADB＝3a， ∴S△ACM＝4a， ∵AM＝AB， ∴S△CBM＝2S△ACM＝8a， ∴S△CDB＝6a，S△ABC＝12a， ∴S△BDN＝3a， ∴S四边形BMDN＝5a， ∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝， 故答案为． 【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积，根据等高三角形面积的比等于它们底求得三角形的面积是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$