1.3.2空间向量的坐标运算学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

深圳市盐田高级中学 校本课程系列教材《人教A版高中数学选择性必修一》 高二数学备课组 深圳市盐田高级中学2024-2025学年第一学期 高二数学学案 学案内容：高中数学选择性必修第一册 学生姓名： 学案编写：高二数学备课组 编写日期：2024年09月 第一章　　空间向量与立体几何 1.6　空间向量运算的坐标表示 一、【复习导入看数学】 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？ 二、【课堂教学明新知】 ◆ 知识点一　空间向量运算的坐标表示 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 加法 a+b=　　　　　　　　　　　　　  减法 a-b=　　　　　　　　　　　　　  数乘 λa=　　　　　　　　　　,λ∈R  数量积 a·b=　　　　　　　　　　  ◆ 知识点二　空间向量运算的坐标表示的应用 若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 共线 a∥b⇔　　　　⇔　　　　　　　　　　(λ∈R)  垂直 a⊥b⇔　　　　⇔　　　　　　　　　　  向量长度 |a|=　　　　=　  向量夹角公式 cos<a,b>=　　　　=　  　　  空间两点间 的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,O为坐标原点,则=-=　　　　　　　　　　,P1P2=|　　　　|=　　　　　　　　　　　　.  ◆ 探究点一　空间向量的坐标运算 例1 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b, a-b, a·b , (a+b)·(a-b). 变式1：(多选题)[2024·福州六校高二期中] 已知向量a=(1,2,2),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a+b=(7,-1,4) B.a- b=(-5,-1,0) C.a·b=4 D.|a|= ◆ 探究点二　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 例2 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=. (1)若|c|=3,c∥,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 变式2：设x,y∈R,向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,-2,1),且a⊥b,b∥c,则|a+b|= (　 ) A. B. C. D.2 ◆ 探究点三　利用空间向量的坐标运算求夹角及长度 例3 如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 变式3：如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题. (1)求证:EF⊥B1C; (2)求cos<,>; (3)求FH的长. 拓展题：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是 (　 ) A. B. C.[1,] D.[,] 三、【课堂检测练能力】 1.（多选题）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 2.已知为单位正交基底，且，，则向量的坐标为___________，的值为___________. 3.在棱长为1的正方体中，分别为 的中点，则___________；___________. 4.如图,在四面体A-BCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4), E,F分别为BC, AD的中点,则的坐标为 (　 ) A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 5.已知向量a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是　　　　　.  6. 在z轴上求一点M，使点M到点与点的距离相等． 四、【课堂小结提素养】 我们本节课学习了哪些知识（即学习重点），需要注意的点是什么（即学习难点）？ 1.6　空间向量运算的坐标表示参考答案 二、课堂教学明新知 例1　解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2). a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6). a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7. 2a·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14. (a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8. 变式1　AC　[解析] (1)对于A,因为a=(1,2,2),b=(6,-3,2),所以a+b=(7,-1,4),故A正确;对于B,因为a=(1,2,2),b=(6,-3,2),所以a-b=(-5,5,0),故B错误;对于C,因为a=(1,2,2),b=(6,-3,2),所以a·b=1×6-2×3+2×2=4,故C正确;对于D,因为a=(1,2,2),所以|a|==3,故D错误.故选AC. 例2　解:(1)因为=(-2,-1,2)且c∥,所以设c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R), 所以|c|==3|λ|=3,解得λ=±1,所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)因为a==(1,1,0),b==(-1,0,2), 所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-. 变式2　C　[解析] 因为向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,-2,1),且a⊥b,b∥c,所以2x+y+2×0=0,=,解得y=-4,x=2,所以向量a=(2,1,0),b=(2,-4,2),所以a+b=(4,-3,2),所以|a+b|==,故选C. 例3. 解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点A的坐标为，点M的坐标为． 于是． （2）由已知，得 ，，，， 所以， ， ，． 所以 ． 所以 所以，与所成角的余弦值是． 变式3　解:(1)证明:以D为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G. 因为=(1,1,-1),=(-2,0,-2), 所以·=(1,1,-1)·(-2,0,-2)=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,所以⊥,故EF⊥B1C. (2)因为=,所以||=. 因为||=,且·=(1,1,-1)·=2-=, 所以cos<,>===. (3)因为H是C1G的中点,所以H. 又因为F(1,1,0),所以=, 故||===, 即FH=. 拓展　A　[解析] 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,1,1),∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,∴可设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),则=(x,y,-1),∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,∴y=1-x,∴||2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,∴当x=时,取得最小值,此时线段A1P的长度为,当x=0或x=1时,||2取得最大值2,此时线段A1P的长度为,故线段A1P长度的取值范围是.故选A. 三、课堂检测练能力 1.BD ; 2.(1,-2,1),(-5,7,7); 3.; 4.B; 5.-)∪(-,); 6.(0,0,-3). ( 3 ) 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$