1.2空间向量基本定理习题课学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

深圳市盐田高级中学 校本课程系列教材《人教A版高中数学选择性必修一》 高二数学备课组 深圳市盐田高级中学2024-2025学年第一学期 高二数学学案 学案内容：高中数学选择性必修第一册 学生姓名： 学案编写：高二数学备课组 编写日期：2024年09月 第一章　　空间向量与立体几何 1.4　空间向量基本定理习题课 一、【课堂教学明新知】 例1 如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：． 变式1：如图，在平行六面体中，，，，．求证：． 例2 如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点． （1）求证：． （2）求与所成角的余弦值． 变式2：如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证：． 例3如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且． （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值． 变式3：如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 二、【课堂检测练能力】 1、如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，. 2、已知四面体OABC，，．求证：． 3、如图，在长方体中，M是AC与BD的交点，N是MB1的四等分点且， 若，，，求和的长． 4、已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. 三、【课堂小结提素养】 我们本节课学习了哪些知识（即学习重点），需要注意的点是什么（即学习难点）？ 1.4　空间向量基本定理习题课参考答案 二、课堂教学明新知 例1.证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间一个基底，我们用它们表示，，则， ， 所以 所以． 变式1.取基底，, , 所以 . 例2.（1）证明：设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底． 所以 ． 所以． 所以． （2）解：因， ， 所以 ． 所以与所成角的余弦值为． 变式2.在正方体，可建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则, 所以，， 所以即. 例3.解（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 则，， 所以，即， 所以. （2）由（1）知，，， 则， 因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为. 变式3.设，，， 由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得， 由题意可得，， 所以，，所以，， 同理可证， 因为，因此，平面. 三、课堂检测练能力 1.解：连接所以 2.解因为, 所以, 因为，， 所以， 所以，即. 3.解以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则 所以，所以 即的长为. 4.解已知：四面体中，、、、、、分别是对应各棱的中点，且. 求证：，，. 证明：设，，， 则， ， 由可得，则， 所以， 由此可得， 所以，即. 所以，即，同理可证，. 故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直. ( 3 ) 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$