1.1.2空间向量的数量积运算学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

深圳市盐田高级中学 校本课程系列教材《人教A版高中数学选择性必修一》 高二数学备课组 深圳市盐田高级中学2024-2025学年第一学期 高二数学学案 学案内容:高中数学选择性必修第一册 学生姓名: 学案编写:高二数学备课组 编写日期:2024年09月 1.2 空间向量的数量积运算 一、【情境导入看数学】 根据功的计算,我们定义了平面向量的数量积运算,一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题,在空间向量中亦是如此。 二、【课堂教学明新知】 知识点一 空间向量的夹角及数量积的相关概念及性质 知识点二 投影向量的概念 探究点一 空间向量的数量积运算 例1:如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点, 求:(1) ; (2) ; (3) . 变式1:正四面体P-ABC的棱长为2,点D是 PAB的重心,则 = . 探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题 例2 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求与的夹角; (2)求异面直线BC1与CA所成角的大小. 变式2:已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 探究点三 利用向量的数量积解决长度问题 例3 如图,在平行六面体中, ,求: (1); (2)的长. 变式3:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都是60 ,若M是PC的中点,则||= ( ) A. B. C. D. 三、【课堂检测练能力】 1.(多选题)设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题中正确的有( ) A.(a b)c-(c a)b=0 B.|a|= C.a2b=b2a D.(3a+2b) (3a-2b)=9|a|2-4|b|2 2.在正方体ABCD A1B1C1D1中,棱长为1,则 等于( ) A.0 B.1 C. D.-1 3.如图,已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_. 4.已知线段AB在平面 内,线段AC⊥ ,线段BD⊥AB,且与 所成的角是30 ,如果AB=a,AC=BD=b, 求C,D间的距离. 5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90 ,沿着它的对角线AC将 ACD折起,使AB与CD所成的角为60 ,求此时B,D间的距离. 四、【课堂小结提素养】 我们本节课学习了哪些知识(即学习重点),需要注意的点是什么(即学习难点)? 1.2 空间向量的数量积运算参考答案 二、课堂教学明新知 例1解:(1) = =|||| cos<,>=cos 60 =. (2) = =|| ||cos<,>=cos 120 =-. (3) = (-)= - =||||cos<,>-||||cos<,>=cos 60 -cos 60 =0. 变式1解:∵点D是 PAB的重心,∴=(+),又正四面体P-ABC的棱长为2,∴ =(+) (-)=( - + -)= =-. 例2 解:(1)不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 则 =(+) (+)=(+) (+)= -+ + =0-+0+0=-=-1. ∵||=,||=, ∴cos<,>===-. 又<,>∈[0, ],∴<,>=, 即与的夹角为. (2)由异面直线所成角的范围和(1)得,异面直线BC1与CA所成角的大小为. 变式2:C [解析] ∵=++,∴ =(++) = ++ =0+12+0=1,又||=2,||=1,∴cos<,>===,又异面直线所成的角是锐角或直角,∴a与b所成的角是60 . 例3解:(1), ; (2) ,所以. 变式3A [解析] ∵M是PC的中点,∴=(+)=[+(-)]=-++,又AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60 ,AB=AD=1,PA=2,∴==(++)- || || cos 60 + || || cos 60 = (1+1+4)- 1 2 + 1 2 =,∴||==.故选A. 3、 课堂检测练能力 1.BD; 2.B ;3; 4.解:由AC⊥ ,AB⊂平面 ,得AC⊥AB.如图,过点D作DD'⊥ 于点D', 连接BD',CD,则∠DBD'=30 ,<,>=120 , 所以||2= =(++)2=||2+||2+||2+2 +2 +2 =b2+a2+b2+2b2cos 120 =a2+b2,故CD=. 5.)解:因为∠ACD=90 ,所以 =0, 同理, =0.因为AB与CD所成的角为60 ,所以<,>=60 或120 . 连接BD,因为=++,所以 ||2=||2+||2+||2+2 +2 +2 =||2+||2+||2+2 =3+2 1 1 cos<,>. 若<,>=60 ,则||2=4,此时||=2;若<,>=120 ,则||2=2,此时||=. 综上,B,D间的距离为2或. ( 3 ) 第 页 学科网(北京)股份有限公司 $$