高考数学微专题：同余讲义-2025届高三数学一轮复习

高考数学新定义微专题：同余 定义1:用给定的正整数分别除整数若所得的余数相等，则称对模同余，记作： 定义2：如果，集合则称为模的剩余类。 性质1：若正整数等差数列的公差为，则数列中的项对模同余。 性质2：模的剩余类可构成公差为的等差数列 性质3：若且，则 证明：由于且所以故 性质4： 一、用同余解决高考题 例1、（2024年新课标全国Ⅰ卷）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． （1）解：，， （2）证明：当时，可由数列的项数按模分为个剩余类，其中余数为1和2的各有5个元素，其余各组均为4个元素，而且每个剩余类都可构成等差数列，将余数为1和2的两个剩余类各删去一个最大元素或者最小元素都能构成一个项数为4的等差数列，因此数列是可分数列。所以当时是可分数列，因此数列是可分数列 （3）证明： I、数列是可分数列，证明如下： ①当或时，显然成立； ②当时，数列可分为和两大组，两组的都是4的整数倍个项且项数连续，成立； ③时，数列可分为，和三大组，三组的项数都是4的整数倍且项数连续，成立； II、数列是可分数列，，证明如下： 数列可分为，和三大组，其中和两组的项数都是4的整数倍项数连续；由（2）知数列是可分数列； 从集合和中各取一个数能组成个有序数对； 由因为不是可分数列 因此数列是可分数列的个数大于或等于， 所以 二、用同余解析教材中的习题 例2：（人教A版选择性必修二习题4.2第8题）有两个等差数列及，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个数列的各项之和。 解：显然第一个数列的的公差为4，第二个数列的公差为6， 设数列和的公共项按从小到大的顺序所组成一个新数列为 则有：且 故数列是首项为2，公差为12的等差数列，即 又所以,所以数列的各项之和为1472. 例3：（人教A版必修一5.1例2）写出终边在轴上的角的集合 解：在区间上，终边在轴上的角有两个，即和， 因此，所有与终边相同的角构成的集合， 所有与终边相同的角构成的集合 ， 又因为模2的剩余类 因此，终边在轴上的角的集合 学科网（北京）股份有限公司 $$