1.1空间向量及其线性运算学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

深圳市盐田高级中学 校本课程系列教材《人教A版高中数学选择性必修一》 高二数学备课组 深圳市盐田高级中学2024-2025学年第一学期 高二数学学案 学案内容：高中数学选择性必修第一册 学生姓名： 学案编写：高二数学备课组 编写日期：2024年08月 第一章　　空间向量与立体几何 1．1　空间向量及其线性运算 一、【情境导入看数学】 看图：张家界翼装飞行和滑翔伞飞行，飞行员会受到哪几个力的重用？ 若这些力在同一个平面内，则合力一定在这个平面内，若这些力不同在一个平面内呢？ 二、【课堂教学明新知】 ◆ 知识点一　空间向量及有关概念 1.概念： 2.表示： 3.几类特殊的空间向量： 例1 (1) (多选题)给出下列四个说法,其中正确的是 (　 ) A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 B.若空间向量满足,则 C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有= D.若空间向量满足,则 (2)如左下图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1,以该长方体八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有　　　　个,模为的所有向量为　　　　　　　　　　　　　　　　.  变式1 (多选题)在如上右图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量是相反向量的是 (　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 ◆ 知识点二　空间向量的线性运算 1.空间向量的自由性 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.因此我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量. 2.空间向量的线性运算 空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗? 例2如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱B1C1的中点,=2.设=,=,=,试用向量表示向量和. 变式2 已知空间四面体，E,F分别是的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1) ; (2) ; (3) ◆ 知识点三　空间向量共线与共面的充要条件 1.空间两向量共线的充要条件 对任意两个空间向量,的充要条件是存在实数λ,使　　　　.  2.空间直线的确定 (1)直线的方向向量的定义 (2)空间直线的确定:空间直线可以由其上_____和它的　　　　　确定.   3.共面向量的定义 (1)向量与直线平行 (2)向量与平面平行 (3)共面向量 4.共面向量定理 例3如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD，在四条射线上分别取点E,F,G,H,使得，求证：E,F,G,H四点共面. 变式3如图,已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,求证:E,F,G,H四点共面. 三、【课堂检测练能力】 1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,F是CC1的中点,G为△ABC的重心,则= (　 ) A.-++ B.++ C.-+- D.-+ 2.若A,B,C,D为空间中不同的四个点,则下列各式中运算结果不一定为零向量的是 (　 ) A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- 3.若非零空间向量不共线,则使与共线的k的值为　　　　.  4.如图，已知正方体，E,F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值： (1);(2);(3) 5.已知A,B,C三点不共线,点M满足=++. (1),,三个向量是否共面? (2)点M是否在平面ABC内? 四、【课堂小结提素养】 我们本节课学习了哪些知识（即学习重点），需要注意的点是什么（即学习难点）？ 1.1　空间向量及线性运算参考答案 二、课堂教学明新知 例1 (1) CD　(2)8　,,,,,,,　[解析] (1)对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同,故A错误;对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但B中向量a与b的方向不一定相同,故B错误;对于C,根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量的方向相同,模也相等,则=,故C正确;对于D,由相等向量的定义可知m=n=p,故D正确.故选CD. (2)因为AA1=1,所以向量,,,,,,,的模均为1,又其他向量的模均不为1,故共有8个单位向量.长方体的左、右两个侧面的对角线长均为,故模为的所有向量为,,,,,,,. 变式1 CD　[解析] 与是相反向量,与是相反向量.故选CD. 例2 解:连接AB1,AC1,则=+=a+c,=+=b+c, 因为D是棱B1C1的中点,所以=(+)=a+b+c. 因为=2,所以==a+b+c, 则=-=-a+b+c. 变式2 图略 例3 证明：因为．所以 ，，，． 因为四边形是平行四边形，所以 ． 因此 由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． 变式3 证明:如图,连接PE,PF,PG,PH并延长,分别交AB,BC,CD,DA于点M,N,Q,R, 则M,N,Q,R分别为所在边的中点,作四边形MNQR,则该四边形为平行四边形,连接MQ,EG,EF,EH. 易知=,=, =,=, 所以=-=-==(+)=(-)+(-)=+=+, 所以与,共面,又因为它们有公共点E, 所以E,F,G,H四点共面. 三、课堂检测练能力 1.A 2.A 3.- 4.(1)1; (2);; (3);. 5.(1),,三个向量是共面 (2)点M是在平面ABC内 ( 3 ) 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$