第1章二次函数综合练习2024-2025学年浙教版数学九年级上册

二次函数综合 1．（2023秋•武隆区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x＞4时，y随x的增大而减小 D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大 2．（2023秋•杭州期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 y ﹣2 1 2 1 ﹣2 则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2023秋•西湖区期末）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … （1）试判断该函数图象的开口方向． （2）根据你的解题经验，直接写出ax+bx﹣3＝0的解． （3）当x＝4时，求函数y的值． 4．（2023秋•黔东南州期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 2 3 2 ？ … 关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间 D．当x＝2时，y＝1 6．（2023秋•上城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则方程ax2+bx+c＝m的解是 　 　，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　． 7．（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2） 若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 8．已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b），设该函数的最小值为k，（　　） A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜﹣1 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＞﹣1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3 9．（2022秋•杭州期末）将函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是常数，m＞n）的图象向上平移，平移后函数的图象与x轴相交于点（p，0），（q，0）（p＞q）．则（　　） A．m+n＞p+q，m﹣n＞p﹣q B．m+n＝p+q，m﹣n＞p﹣q C．m+n＞p+q，m﹣n＜p﹣q D．m+n＝p+q，m﹣n＜p﹣q 10．（2024•余姚市校级四模）设y关于x的二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2），其中a＜0． （1）用含m或a的代数式表示该二次函数图象的对称轴和最大值． （2）若该二次函数图象与x轴交于（2，0），且过点（﹣1，﹣1），求二次函数表达式． （3）若该二次函数图象过点（2，an），而n≤﹣1，求m的值． 11．（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）． （1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜． 12．（2024•宝安区校级三模）（1）已知二次函数y＝x2+bx+c，若图象过点（﹣1，0）和点（4，5）． ①求该二次函数的表达式； ②若点P（x，y）是该二次函数图象上的一点，且﹣4≤x≤4，请求出y的取值范围． （2）已知二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数），若函数图象经过（0，m），（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜． 13．（2024•新昌县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4． 14.（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1．若点P（1，m）、Q（2a+2，n）都在函数y的图象上，且m＞n．则a的取值范围为 　 15．（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0． （1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式； （2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； （3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围． 16．（2024•西城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+c． （1）抛物线经过点（0，y1）和（3，y2），请比较y1和y2的大小； （2）若抛物线与x轴的一个交点的坐标为（1，0）． ①求抛物线与x轴的另一个交点的坐标； ②抛物线上两点A（x0，m），B（x0+3，n），满足mn＜0，求x0的取值范围． 17．（2023秋•滨江区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 18.（2023秋•杭州期末）已知A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2023的值为 　 　． 19．已知实数x，y满足2x2+13x+y﹣8＝0，则x+y的最大值为 　 20．（2023秋•杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　 21．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）． （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6． 22．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系； （3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值． 23．（2024•温州三模）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 25．（2024•鹿城区校级三模）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差． 26．（2024•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象过点（1，0）． （1）若该函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，求该函数的表达式． （2）在（1）的条件下，当n≤x≤n+4时，函数y有最小值﹣5，求n的值． （3）已知a＞0，二次函数的图象经过点（x1，y1），（x2，y2），x1+x2＝4，且x1＜x2，试比较y1与y2的大小． 27．（2024•西山区校级开学）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小． 28．（2016•杭州）已知函数y1＝ax2+bx，y2＝ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中． （1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值． （2）若函数y2的图象经过y1的顶点． ①求证：2a+b＝0； ②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小． 29．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0）． （1）若a为整数，二次函数图象过点（n，0）（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． （2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点． ①当x1+x2＝4时，y1＝y2，求a的值． ②若对于x1＞x2≥2，都有y1＞y2，求a的取值范围． 30．（2024•商南县三模）已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．1＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1 31．（2023•凉山州模拟）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 32．（2024•秦都区校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是　 　． 33．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 34．（2024•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝x2+2ax﹣4a，点A（﹣a，y1），点B（a+6，y2）都在该函数图象上． （1）若a＝3时，求该二次函数的顶点坐标． （2）若y1＝y2时，求a的值． （3）求y1+y2的最小值． 35．（2024春•上城区校级期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点． （1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y1的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）若图象与x轴只有一个交点，且过（a，c），求此时a，c的值． （3）已知a＝1，若函数y的表达式还可以写成y1＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n为常数，m≠n且mn＝2），设二次函数y2＝﹣（x﹣m）（x﹣n），求y1﹣y2的最小值． 36．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值． （3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值． 37．（2024•龙湾区二模）已知二次函数y＝x2+2ax﹣3a． （1）若函数图象经过点（2，5）． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点A（1，n）向左平移3m（m＞0）个单位，则与图象上的点B重合；若将点A向右平移m（m＞0）个单位，则与图象上的点C重合，求n的值． （3） 设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，若x1+x2＝3，求证． 38．（2024•鄂伦春自治旗一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（　　） A． ②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 39．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是 　 　． 40．（2023秋•上城区期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论： ①AB的长可以为15m； ②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值； ③农场ABCD面积的最大值为450m2； ④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2． 其中，正确结论的是 　 　．（只需填序号） 41．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．当x为 　 　时，每天的销售利润最大，最大利润是 　 　． 42．（2023秋•西湖区校级期中）如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　 　m2． 43．（2024春•秦都区校级月考）中国跳水队之所以被称为“梦之队”，不只因为赛场上取得的成绩，更在于每个运动员身上凝聚的为国争光的不懈追求．在2024年多哈世锦赛即将来临之际，中国跳水队积极备赛世锦赛，把每个动作都练到极致，向全球展现中国跳水事业的无限活力和潜力．跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB的长为3米，距水面的高OA为10米，C为入水点，某运动员在训练时，在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度11米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求入水处C距池边O的水平距离．（结果保留根号） 44．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线y2＝x2﹣3x+2是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B． ①求a：b：c的值． ②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，m＞n，且m﹣n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围． 参考答案 1. （2023秋•武隆区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x＞4时，y随x的增大而减小 D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大 【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【解答】解：由图可知，x＝3和x＝6时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当x＜4.5时，y随x的增大而增大；当x＞4.5时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键． 2．（2023秋•杭州期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 y ﹣2 1 2 1 ﹣2 则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 【分析】在函数值由负值到正值，由正值到负值的过程中，就会有一个x的值使y＝0，方程的根就在这个范围内． 【解答】解：结合图表，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2， 根据现有的条件确定x1，x2的取值范围， ∴即y＝0时，x的取值范围， ∴﹣＜x1＜0；2＜x2＜时y的值最接近0， 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在． 3．（2023秋•西湖区期末）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … （1）试判断该函数图象的开口方向． （2）根据你的解题经验，直接写出ax+bx﹣3＝0的解． （3）当x＝4时，求函数y的值． 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，进而求解． （2）根据抛物线与x轴的交点坐标求解． （3）将x＝4代入解析式求解． 【解答】解：（1）将（1，﹣4），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3得， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线开口向上． （2）∵， ∴ax+bx﹣3＝x﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣3． （3）将x＝4代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝16﹣8﹣3＝5． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系． 4．（2023秋•黔东南州期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意； 由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小， ∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意； ∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5， ∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1， ∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意； 由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间， 故对应的x的值在﹣1与0之间， 故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 2 3 2 ？ … 关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间 D．当x＝2时，y＝1 【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D． 【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0， ∴抛物线的顶点为（0，3）， ∴y＝3是函数的最大值， ∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降， 所以A错误，B错误； ∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2， ∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间， 所以C正确，D错误． 综上所述：其中正确的结论有C． 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 6．（2023秋•上城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则方程ax2+bx+c＝m的解是 　x＝﹣3或x＝﹣1　，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　x＜﹣6或x＞2　． 【分析】根据函数与方程及不等式的关系求解． 【解答】解：∵当x＝﹣5时，y＝﹣2.79，当x＝1时，y＝﹣2.79， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2． ∵当x＝﹣3时，y＝m， ∴当x＝﹣1时，y＝m． ∴方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1． ∵当x＝2时，y＝0， ∴当x＝﹣6时，y＝0． ∵当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0． ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣6或x＞2． 故答案为：x＝﹣3或x＝﹣1；x＜﹣6或x＞2． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 7．（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线x＝2，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，又过（﹣1，8），（0，3），求出a，k的值，进而可以得解； ②依据题意，由①令y＝0，从而（x﹣2）2﹣1＝0，进而可得抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），又抛物线开口向上，从而不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围，进而可以判断得解； （2）依据题意，由对称轴是直线x＝2，故可分①当a＞0时②当a＜0时分别进行分析即可得解． 【解答】解：（1）根据表格数据可得对称轴是直线x＝＝2． ①由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k， 又过（﹣1，8），（0，3）， ∴． ∴a＝1，k＝﹣1． ∴二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1． ②由①令y＝0， ∴（x﹣2）2﹣1＝0． ∴x＝3或x＝1． ∴抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）． 又抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围． ∴不等式ax2+bx+3＜0的解是1＜x＜3． （2）由题意，∵对称轴是直线x＝2， ∴①当a＞0时，当x≥2时，y随x的增大而增大． 又2＜3＜5， ∴y3＜y4＜y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y3＜0，且y4≥0． ∴4a+2b+3＜0，且9a+3b+3≥0． 又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a， ∴4a﹣8a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴＜a≤1． ②当a＜0时，当x≥2时，y随x的增大而减小． 又2＜3＜5， ∴y3＞y4＞y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y5＜0，且y4≥0． ∴25a+5b+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． 又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a， ∴25a﹣20a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴a＜﹣． 综上，a＜﹣或＜a≤1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8．已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b），设该函数的最小值为k，（　　） A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜﹣1 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＞﹣1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3 【分析】利用抛物线解析式求得对称轴，即可求得函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）＝﹣（a﹣b）2，然后根据a、b的取值，判断|a﹣b|的值，从而判断k的大小． 【解答】解：由二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b）可知对称轴为直线x＝， ∴函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）＝﹣（a﹣b）2， 若2＜a＜3，2＜b＜3，则|a﹣b|＜1， 所以﹣1＜k＜0， 若2＜a＜3，3＜b＜4，则|a﹣b|＜2， 所以﹣4＜k＜0， 故选项B正确，选项A、C、D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，求得抛物线的对称轴是解题的关键． 9．（2022秋•杭州期末）将函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是常数，m＞n）的图象向上平移，平移后函数的图象与x轴相交于点（p，0），（q，0）（p＞q）．则（　　） A．m+n＞p+q，m﹣n＞p﹣q B．m+n＝p+q，m﹣n＞p﹣q C．m+n＞p+q，m﹣n＜p﹣q D．m+n＝p+q，m﹣n＜p﹣q 【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可． 【解答】解：如图，由于抛物线开口向上，再向上平移，抛物线与x 轴两个交点的距离逐渐缩小，即m﹣n＞p﹣q，而对称轴不变， 即x＝＝， 也就是m+n＝p+q， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象的对称性以及与x轴交点的坐标是正确判断的前提． 10．（2024•余姚市校级四模）设y关于x的二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2），其中a＜0． （1）用含m或a的代数式表示该二次函数图象的对称轴和最大值． （2）若该二次函数图象与x轴交于（2，0），且过点（﹣1，﹣1），求二次函数表达式． （3）若该二次函数图象过点（2，an），而n≤﹣1，求m的值． 【分析】（1）依据题意，令y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0，又a＜0，从而可得x＝m或x＝m+2，故抛物线的对称轴是直线x＝＝m+1，又抛物线开口向下，进而可得当x＝m+1时，y取最大值，计算即可得解； （2）依据题意，根据（1）可得抛物线与x轴交于（m，0），（m+2，0），又图象与x轴交于（2，0），故m＝2或m+2＝2，则m＝2或m＝0，从而抛物线为y＝a（x﹣2）（x﹣4）或y＝ax（x﹣2），又抛物线过点（﹣1，﹣1），则15a＝﹣1或3a＝﹣1，求出a即可判断得解； （3）依据题意，由二次函数图象过点（2，an），从而an＝﹣am（2﹣m），故n＝﹣m（2﹣m）＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，结合n≤﹣1，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，令y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0， 又a＜0， ∴x＝m或x＝m+2． ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝m+1． ∵抛物线开口向下， ∴当x＝m+1时，y取最大值，最大值为y＝a（m+1﹣m）（m+1﹣m﹣2）＝a×（﹣1）＝﹣a． 答：二次函数图象的对称轴是直线x＝m+1，函数的最大值为﹣a． （2）由题意，根据（1）可得抛物线与x轴交于（m，0），（m+2，0）． 又图象与x轴交于（2，0）， ∴m＝2或m+2＝2． ∴m＝2或m＝0． ∴抛物线为y＝a（x﹣2）（x﹣4）或y＝ax（x﹣2）． 又抛物线过点（﹣1，﹣1）， ∴15a＝﹣1或3a＝﹣1． ∴a＝﹣或a＝﹣． ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）或y＝﹣x（x﹣2）． （3）由题意，∵二次函数图象过点（2，an）， ∴an＝﹣am（2﹣m）． 又a＜0， ∴n＝﹣m（2﹣m）＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1． 又n≤﹣1， ∴（m﹣1）2﹣1≤﹣1． ∴（m﹣1）2≤0． 又（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2＝0． ∴m＝1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 11．（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）． （1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜． 【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解； （2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值； （3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0＜﹣≤，0＜﹣≤，即可求解． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0； ∴二次函数经过点（0，0），（1，0）， ∴x1＝0，x2＝1， ∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x， 当x＝时，y＝﹣， ∴乙说的不对； （2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x﹣）2﹣， ∴当x＝时，y＝﹣是函数的最小值； （3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点， ∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2）， ∴mn＝x1•x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[﹣][﹣] ∵0＜x1＜x2＜1， ∴0＜﹣≤，0＜﹣≤， ∵x1≠x2， ∴mn不能取到， ∴0＜mn＜． 【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确地用x1和x2表示出来是解题的关键． 12．（2024•宝安区校级三模）（1）已知二次函数y＝x2+bx+c，若图象过点（﹣1，0）和点（4，5）． ①求该二次函数的表达式； ②若点P（x，y）是该二次函数图象上的一点，且﹣4≤x≤4，请求出y的取值范围． （2）已知二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数），若函数图象经过（0，m），（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜． 【分析】（1）①先将点（﹣1，0）和点（4，5）代入y＝x2+bx+c，列出关于b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，得到二次函数的表达式；②先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可，然后写出y的取值范围即可． （2）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣（x1﹣）2+][﹣（x2﹣）2+]由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0＜﹣（x1﹣）2+≤，0＜﹣（x2﹣）2+≤，即可求解． 【解答】解：（1）①∵二次函数y＝x2+bx+c，若图象过点（﹣1，0）和点（4，5）， ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； ②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数有最小值﹣4， ∵x＝﹣4时，y＝x2﹣2x﹣3＝16+8﹣3＝21， ∴当﹣4≤x≤4时，﹣4≤y≤21； （3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点， ∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2）， ∴mn＝x1•x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣）（x2﹣）＝[﹣（x1﹣）2+][﹣（x2﹣）2+]， ∵0＜x1＜x2＜1， ∴0＜﹣（x1﹣）2+≤，0＜﹣（x2﹣）2+≤， ∵x1≠x2， ∴mn不能取到， ∴0＜mn＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确的用x1和x2表示出来是解题的关键． 13．（2024•新昌县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x＝m﹣，根据二次函数的性质即可得出m﹣≥﹣2，解得即可； （3）把（0，a），（3，b）两点代入y＝（x﹣m）（x﹣n），表示出a和b，然后将ab配方可得． 【解答】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n）， 把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n）， ∴n＝﹣4， ∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4； （2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n）， ∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∴n＝m﹣1， ∴对称轴为直线x＝m﹣， ∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小， ∴m﹣≥﹣2， ∴m≥﹣； （3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）， ∴a＝mn，b＝（3﹣m）•（3﹣n）， ∴ab＝mn•（3﹣m）•（3﹣n） ＝m（3﹣m）•n（3﹣n） ＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]， ∵2≤m＜n≤3， ∴0＜﹣（m﹣）2+≤2， 0≤﹣（n﹣）2+＜2， ∴0≤ab＜4． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 14．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1．若点P（1，m）、Q（2a+2，n）都在函数y的图象上，且m＞n．则a的取值范围为 　0＜a＜或a＜﹣　． 【分析】抛物线的对称轴为直线x＝2，当a＞0时，抛物线开口向上，且，则m＞n，当a＜0时，抛物线开口向下，且2a+2＜1＜2，则m＞n，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+1． ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ①当a＞0时，抛物线开口向上，且，则m＞n， 解得0＜a＜； ②当a＜0时，抛物线开口向下，且2a+2＜1＜2，则m＞n， 故a的取值范围为：a＜﹣． 故a的取值范围为0＜a＜或a＜﹣． 【点评】本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0． （1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式； （2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； （3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案； （3）根据二次函数的性质，可得答案． 【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得 （a+1）（﹣a）＝﹣2， 解得a1＝﹣2，a2＝1， 当a＝﹣2时，函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2； 当a＝1时，函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2， 综上所述：函数y1的表达式y＝x2﹣x﹣2； （2）当y＝0时（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1， y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0）， 当y2＝ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b＝0，即b＝a2； 当y2＝ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b＝0，即b＝﹣a2﹣a； （3）y1的对称轴为：＝， 当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小， （1，n）与（0，n）关于对称轴对称， 由m＜n，得0＜x0≤； 当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， 由m＜n，得＜x0＜1， 综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1． 解法二：也可以求出函数值m，n，根据m＜n，构建不等式求解即可． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏． 16．（2024•西城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+c． （1）抛物线经过点（0，y1）和（3，y2），请比较y1和y2的大小； （2）若抛物线与x轴的一个交点的坐标为（1，0）． ①求抛物线与x轴的另一个交点的坐标； ②抛物线上两点A（x0，m），B（x0+3，n），满足mn＜0，求x0的取值范围． 【分析】（1）根据y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，根据与对称轴距离的远近，结合开口方向，解答即可． （2）①根据y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，确定抛物线的对称轴，设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（p，0），列式计算即可； ②抛物线上两点A（x0，m），B（x0+3，n），根据mn＜0，结合图象列出关于x0的不等式组，进而即可求解． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵|2﹣0|＝2＞|3﹣2|＝1， ∴y1＞y2； （2）①∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（1，0）， 设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（p，0）， 根据题意，得， 解得p＝3； 故抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）， ②∵抛物线上两点A（x0，m），B（x0+3，n），满足mn＜0， ∴两个点中，必定一个在x轴的上方，另一个在x轴的下方， ∵抛物线与x轴的交点的坐标为（3，0），（1，0），x0+3＞x0， ∴或， 解得﹣2＜x0＜0或1＜x0＜3， 故x0的取值范围是﹣2＜x0＜0或1＜x0＜3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，关键是二次函数性质的应用． 17．（2023秋•滨江区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据二次函数的性质得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m+1，然后根据两点到对称轴的距离判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝＝m+1， ∵该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），且m+1﹣m＜m+4﹣（m+1）， ∴q＞5， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意得出抛物线的开口方向和对称轴是解题的关键． 18．（2023秋•杭州期末）已知A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2023的值为 　2023　． 【分析】根据二次函数图象的对称性得出x＝x1+x2＝﹣，然后将其代入函数关系式求得y＝2023． 【解答】解：∵A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点， ∴A、B关于对称轴x＝﹣对称， 则﹣＝， ∴x1+x2＝﹣， ∵x＝x1+x2＝﹣， ∴y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+2023＝2023． 故答案为：2023． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．已知实数x，y满足2x2+13x+y﹣8＝0，则x+y的最大值为 　26　． 【分析】由题意可得y＝﹣2x2﹣13x+8，代入x+y中，再根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵2x2+13x+y﹣8＝0， ∴y＝﹣2x2﹣13x+8， ∴x+y＝x+（﹣2x2﹣13x+8）＝﹣2（x+3）2+26． ∵﹣2＜0， ∴当x＝﹣3时，x+y有最大值，最大值为26． 故答案为：26． 【点评】本题考查求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 20．（2023秋•杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　﹣≤S≤0　． 【分析】根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围． 【解答】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy， ∴S＝x（2x﹣1）＝2（x﹣）2﹣， ∴该函数开口向上，当x＝取得最小值﹣， ∵， ∴当x＝取得最小值﹣，当x＝取得最大值0， ∴S的取值范围为﹣≤S≤0， 故答案为：﹣≤S≤0． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）． （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6． 【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可； （3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得， 所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1． 并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）． （2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1， ∵b2﹣4ac＝5＞0， ∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点． （3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1， 所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1 ＝p2+q2+4 ＝（2﹣q）2+q2+4 ＝2（q﹣1）2+6≥6， 由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证． 【点评】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用b2﹣4ac判断二次函数图象与x轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1． 22．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系； （3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值． 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解； （2）根据二次函数的图象和性质求解； （3）格局二次函数的最值列方程组求解． 【解答】解：（1）由题意，∵当x＝0时，y＝c， 又过A（2，c）， ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1． （2）由题意，对称轴是直线x＝1， ∵当a＞0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∴y1＜y2； ∵当a＜0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ∴y1＞y2； （3）当a＞0时，由题意得：当x＝1时，y值最小， ∴a+b+1＝且﹣＝1， 解得：a＝，b＝﹣； 当a＜0时，由题意得：当x＝﹣1时，y值最小， ∴a﹣b+1＝且﹣＝1， 解得：a＝﹣，b＝， 综上所述：a的值为或﹣． 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象与点的关系及数形结合思想是解题的关键． 23．（2024•温州三模）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 【分析】（1）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到≤﹣2，解得m≤﹣7； （2）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，a＞0， ∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小， ∵x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小， ∴≤﹣2，即m≤﹣7； （2）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3 ①当a＞0 时，开口向上， ∴当x＝1时，y有最大值8a， ∴8a＝3， ∴a＝； ②当a＜0 时，开口向下， ∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a， ∴﹣a＝3， ∴a＝﹣3， 综上，a＝或a＝﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）根据二次函数的性质得到≤﹣2；（2）分开口向上和开口向下两种情况讨论． 24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 【分析】（1）依据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3），从而可得a+2a+c＝0，且c＝3，可得a的值，进而可得函数的表达式； （2）依据题意，由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故当x＝1时，y取最大值为4，再结合t≤1和t＞1分别进行讨论，同时结合m﹣n＝9即可判断得解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）， ∴a+2a+c＝0，且c＝3． ∴a＝﹣1． ∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y取最大值为4． ①当t≤1时， 又﹣2≤x≤t， ∴当x＝t时，y取最大值为﹣t2+2t+3＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴﹣t2+2t+3﹣（﹣5）＝9． ∴t2﹣2t+1＝0． ∴t＝1． ②当t＞1时， 若t﹣1≤1﹣（﹣2），即t≤4， ∴1＜t≤4． ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝﹣5＝n，此时m﹣n＝9，符合题意． 若t﹣1＞1﹣（﹣2），即t＞4， ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝t时，y取最小值为﹣t2+2t+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴n＝﹣5． ∴﹣t2+2t+3＝﹣5． ∴t＝﹣2或t＝4，不合题意． 综上，1≤t≤4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 25．（2024•鹿城区校级三模）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差． 【分析】（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c求解． （2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得x＝1时，y取最小值，x＝﹣2时y取最大值，进而求解． 【解答】解：（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c得， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4）， ∴x＝1时，y最小值为﹣4， ∵1﹣（﹣2）＞2﹣1， ∴x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5为最大值， ∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 26．（2024•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象过点（1，0）． （1）若该函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，求该函数的表达式． （2）在（1）的条件下，当n≤x≤n+4时，函数y有最小值﹣5，求n的值． （3）已知a＞0，二次函数的图象经过点（x1，y1），（x2，y2），x1+x2＝4，且x1＜x2，试比较y1与y2的大小． 【分析】（1）利用对称轴和点（1，0）求函数表达式； （2）分n≤﹣3和n＞﹣3两种情况分类讨论； （3）通过点（x1，y1），（x2，y2）与对称轴之间的距离，比较y1与y2的大小． 【解答】解：（1）由已知得：， ∴， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； （2）n和n+4的中点为n+2， ①当n+2≤﹣1即n≤﹣3时， x＝n时，y最小值＝﹣n2﹣2n+3＝﹣5， 解得：n＝﹣4或n＝2（不合，舍去）， ②当n＞﹣3时， x＝n+4时，y最小值＝﹣（n+4）2﹣2（n+4）+3＝﹣5， 解得：n＝﹣2或n＝﹣8（不合，舍去）， 综上所述，n＝﹣4或n＝﹣2； （3）易得抛物线的对称轴为直线x＝， ∵x1+x2＝4，x1＜x2， ∴2﹣x1＝x2﹣2， 当x＝＝2，即a＝1时，y1＝y2； 当a＞1时，y1＜y2； 当0＜a＜1时，y1＞y2． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，通过分类讨论得出n的值，分析点与对称轴的距离比较大小，属于综合题，具有一定难度． 27．（2024•西山区校级开学）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小． 【分析】（1）令y＝0，则a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，可求出x1＝1，x2＝1+a，再根据1≠1+a，即得出方程a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0有两个不相等的解，即说明该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）将（0，y1），（3，y2）代入y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），得：，，从而可求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），最后分类讨论解答即可． 【解答】（1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0， ∴x1＝1，x2＝1+a， ∵a≠0， ∴1≠1+a， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：∵点（0，y1），（3，y2）在函数图象上， ∴当x＝0时，， 当x＝3时，， ∴， ∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2； 当a＝1时，y1＝y2； 当0＜a＜1时，y1＜y2． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 28．（2016•杭州）已知函数y1＝ax2+bx，y2＝ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中． （1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值． （2）若函数y2的图象经过y1的顶点． ①求证：2a+b＝0； ②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小． 【分析】（1）结合点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）①将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可得出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论； ②由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得：，解得：， 故a＝1，b＝1． （2）①证明：∵y1＝ax2+bx＝a， ∴函数y1的顶点为（﹣，﹣）， ∵函数y2的图象经过y1的顶点， ∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣， ∵ab≠0， ∴﹣b＝2a， ∴2a+b＝0． ②∵b＝﹣2a， ∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a， ∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）． ∵1＜x＜， ∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0． 当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2； 当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是：（1）结合点的坐标利用待定系数法求出函数系数；（2）①函数y1的顶点坐标代入y2中，找出a、b间的关系；②分a＞0或a＜0两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，利用配方法找出函数y1的顶点坐标，再代入y2中找出a、b间的关系是关键． 29．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0）． （1）若a为整数，二次函数图象过点（n，0）（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． （2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点． ①当x1+x2＝4时，y1＝y2，求a的值． ②若对于x1＞x2≥2，都有y1＞y2，求a的取值范围． 【分析】（1）把（n，0）代入y＝ax2﹣（a+1）x，求得n1＝0，，从而可得a＝1，再代入对称轴公式求解即可； （2）①根据对称轴为直线，进行求解即可； ②根据二次函数的图象与性质可得 ，即可求解． 【解答】解：（1）把（n，0）代入y＝ax2﹣（a+1）x，得an2﹣（a+1）n＝0， 解得，n1＝0，． ∵n是正整数，a为整数， ∴n1＝0（舍去），．则a＝1， ∴对称轴为直线． （2）①∵x1+x2＝4时，y1＝y2， ∴M（x1，y1），N（x2，y2）两点关于抛物线的对称轴对称， 则对称轴为直线， ∴． ②由题意可知，对于任意的x≥2，y随x的增大而增大， 可得 ，解得． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 30．（2024•商南县三模）已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．1＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1 【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c， ∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴点P（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1）， ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2），且y1＜y2， ∴m＜﹣1或m＞3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 31．（2023•凉山州模拟）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2， ∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1） ∵a＝2＞0， ∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小， ∵﹣4＜﹣3＜﹣2， ∴y2＜y1＜y3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 32．（2024•秦都区校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是　0＜S＜2　． 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S＝a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可． 【解答】解：将点（0，1）和（﹣1，0）分别代入抛物线解析式，得c＝1，a＝b﹣1， ∴S＝a+b+c＝2b， 由题设知，对称轴x＝， ∴2b＞0． 又由b＝a+1及a＜0可知2b＝2a+2＜2． ∴0＜S＜2． 故本题答案为：0＜S＜2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题． 33．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 【分析】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解； （2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2＝﹣b，即（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0，即可求解． 【解答】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6， 则，解得： 即b、c的值分别为2、﹣8； ②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， 当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小， 当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4， 方程无解； 当t＞﹣1时，y的最小值为﹣9，最大值为t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4， 解得：t＝﹣3（舍去）或1； （2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2， ∴3x2≠x2， ∴x2≠0， ∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣b， ∴3x2+x2＝﹣b， ∴x2＝﹣b， ∴（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0， ∴c＝b2， ∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3， ∴． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 34．（2024•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝x2+2ax﹣4a，点A（﹣a，y1），点B（a+6，y2）都在该函数图象上． （1）若a＝3时，求该二次函数的顶点坐标． （2）若y1＝y2时，求a的值． （3）求y1+y2的最小值． 【分析】（1）化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）利用二次函数的对称性对称＝﹣a，解得a＝﹣3； （3）根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣a2﹣4a，y2＝3a2+20a+36，则y1+y2＝2a2+16a+36＝2（a+4）2+4，然后利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）若a＝3时，则y＝x2+6x﹣12， ∵y＝x2+6x﹣12＝（x+3）2﹣21， ∴该二次函数的顶点坐标为（﹣3，﹣21）； （2）∵二次函数y＝x2+2ax﹣4a， ∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣a， ∵点A（﹣a，y1），点B（a+6，y2）都在该函数图象上，且y1＝y2， ∴＝﹣a， ∴a＝﹣3； （3）∵点A（﹣a，y1），点B（a+6，y2）都在二次函数图象上， ∴y1＝a2﹣2a2﹣4a＝﹣a2﹣4a，y2＝（a+6）2+2a（a+6）﹣4a＝3a2+20a+36， ∵y1+y2＝﹣a2﹣4a+3a2+20a+36＝2a2+16a+36＝2（a+4）2+4， ∴当a＝﹣4时，y1+y2有最小值，最小值为4． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 35．（2024春•上城区校级期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点． （1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y1的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）若图象与x轴只有一个交点，且过（a，c），求此时a，c的值． （3）已知a＝1，若函数y的表达式还可以写成y1＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n为常数，m≠n且mn＝2），设二次函数y2＝﹣（x﹣m）（x﹣n），求y1﹣y2的最小值． 【分析】（1）依据题意，由图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），从而建立方程组，求出a，c即可得解析式，再化成顶点式可以得顶点坐标； （2）依据题意，由图象与x轴只有一个交点，从而Δ＝16﹣4ac＝0，即ac＝4，又抛物线过（a，c），故a3﹣4a+c＝c，则a＝2或a＝﹣2或a＝0（舍去），进而计算可以得解； （3）依据题意，由y1＝（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn，再结合mn＝2，y1＝x2﹣4x+c，则m+n＝4，y1＝x2﹣4x+2，又y1﹣y2＝（x﹣m）（x﹣n）﹣[﹣（x﹣m）（x﹣n）]＝2[x2﹣（m+n）x+mn]，故y1﹣y2＝2（x2﹣4x+2）＝2（x﹣2）2﹣4，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0）， ∴． ∴． ∴y1＝x2﹣4x+3． 又y1＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）． （2）由题意，∵图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝16﹣4ac＝0． ∴ac＝4． 又抛物线过（a，c）， ∴a3﹣4a+c＝c． ∴a＝2或a＝﹣2或a＝0（舍去）． ∴a＝2，c＝2或a＝﹣2，c＝﹣2． （3）由题意，y1＝（x﹣m）（x﹣n） ＝x2﹣（m+n）x+mn． ∵mn＝2，y1＝x2﹣4x+c， ∴m+n＝4，y1＝x2﹣4x+2． ∵y1﹣y2＝（x﹣m）（x﹣n）﹣[﹣（x﹣m）（x﹣n）] ＝（x﹣m）（x﹣n）+（x﹣m）（x﹣n） ＝2（x﹣m）（x﹣n） ＝2[x2﹣（m+n）x+mn]， ∴y1﹣y2＝2（x2﹣4x+2） ＝2（x2﹣4x+4﹣2） ＝2（x﹣2）2﹣4． 又2＞0，（x﹣2）2≥0， ∴当x﹣2＝0时，即x＝2时，（y1﹣y2）的最小值＝﹣4，即y1﹣y2的最小值为﹣4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 36．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值． （3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值． 【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标； （2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值； （3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0）， ∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4． ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝． （2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得， y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2． ∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2． ∴b+c＝2h2﹣4h﹣2 ＝2（h﹣1）2﹣4． 把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值， ∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4． （3）由题意得，y＝y1﹣y2 ＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m） ＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]． ∵函数y的图象经过点 （x0，0）， ∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0． ∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0． 即x0﹣m＝0或x0﹣m＝． 【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 37．（2024•龙湾区二模）已知二次函数y＝x2+2ax﹣3a． （1）若函数图象经过点（2，5）． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点A（1，n）向左平移3m（m＞0）个单位，则与图象上的点B重合；若将点A向右平移m（m＞0）个单位，则与图象上的点C重合，求n的值． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，若x1+x2＝3，求证． 【分析】（1）①利用待定系数法即可求解； ②由题意可知B（1﹣3m，n），C（1+m，n），即可得出B、C关于对称轴直线x＝﹣＝﹣1对称，据此求得m＝2，即可得到C（3，n），把C（3，n）代入①中求得的解析式，即可求得n的值； （2）由x1+x2＝3，得x2＝3﹣x1，故y1+y2＝+2ax1﹣3a+（3﹣x1）2+2a（3﹣x1）﹣3a＝2﹣6x1+9，＝2（x1﹣）2+，即可证明结论． 【解答】（1）解：①∵函数图象经过点（2，5）， ∴4+4a﹣3a＝5， ∴a＝1， ∴该二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3； ②由题意可知B（1﹣3m，n），C（1+m，n）， ∵B、C是二次函数y＝x2+2x﹣3图象上的点， ∴B、C关于对称轴直线x＝﹣＝﹣1对称， ∴＝﹣1， 解得m＝2， ∴C（3，n）， 把x＝3代入y＝x2+2x﹣3，得n＝9+6﹣3＝12； （2）证明：∵x1+x2＝3， ∴x2＝3﹣x1， ∵M（x1，y1），N（3﹣x1，y2）是二次函数y＝x2+2ax﹣3a图象上两点， ∴y1+y2＝+2ax1﹣3a+（3﹣x1）2+2a（3﹣x1）﹣3a ＝2﹣6x1+9， ＝2（x1﹣）2+， ∵2＞0， ∴y1+y2≥． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质． 38．（2024•鄂伦春自治旗一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（　　） A．②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【解答】解：①∵抛物线的对称轴x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故此结论正确； ②∵由图可知a＜0、c＞0， ∴b＝﹣2a＞0， 则abc＜0，故此结论错误； ③由图象可知该抛物线与直线y＝3只有唯一交点A（1，3）， ∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，此结论正确； ④抛物线与x轴的交点为（4，0）且抛物线的对称轴为x＝1， 则抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣2或x＞4，此结论错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质． 39．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是 　﹣3或﹣2　． 【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象过（2，0），得方程ax2+bx+c＝2的根是x＝0，即可得方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根满足x+3＝0，故方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是x＝﹣3． 【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（0，2），（1，2）， 得方程ax2+bx+c＝2的根是x＝0或1， 故方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根满足x+3＝0或1， 故方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是x＝﹣3或﹣2． 故答案为：﹣3或﹣2． 【点评】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是正确应用整体思想． 40．（2023秋•上城区期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论： ①AB的长可以为15m； ②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值； ③农场ABCD面积的最大值为450m2； ④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2． 其中，正确结论的是 　②　．（只需填序号） 【分析】依据题意，设AD边长为x m，则AB边长为长为m，当AB＝15时，＝15，解得x＝30，故可判断①；当菜园ABCD面积为200m2，由题意得x•＝200，从而x＝30±10，又x≤28，故可判断②；又设矩形菜园的面积为y m2，从而y＝x•＝﹣（x﹣30）2+450，结合﹣＜0，x≤28，从而当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2，故可判断③；依据题意，直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，进而设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．求得a≈6.2，最后得农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560，故可判断④． 【解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为长为m， 当AB＝15时，＝15， 解得x＝30， ∵AD的长不能超过28m， ∴x≤28， 故①不正确． ∵菜园ABCD面积为200m2， ∴x•＝200． ∴x＝30±10． 又x≤28， ∴x＝30﹣10． ∴满足条件的AB的长只有一个值，故②正确． 由题意，设矩形菜园的面积为y m2， 根据题意得：y＝x•＝﹣（x﹣30）2+450， ∵﹣＜0，x≤28， ∴当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2． 故③不正确． ∵直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60， ∴设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a． ∴a≈6.2． ∴农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560． ∴农场的面积不超过560m2． 故④错误． 故答案为：②． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式是解题的关键． 41．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．当x为 　55　时，每天的销售利润最大，最大利润是 　450　． 【分析】先根据“按每件按元销售，每天可卖出20件每件小商品，售价每降低1元，日销售量增加2件”写出日销量y与售价x之间的函数关系式，再设每天销售利润为w元，根据每天的销售利润＝每件商品的利润×日销售量列出函数解析式，再由函数的性质求最值． 【解答】解：根据题意得：y＝20+2（60﹣x）＝﹣2x+140， 设每天销售利润为w元， 依题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+140） ＝﹣2x2+220x﹣5600 ＝﹣2（x﹣55）2+450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝55时．每天的销售利润最大，最大利润是450元． 故答案为：55，450． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键． 42．（2023秋•西湖区校级期中）如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　48　m2． 【分析】设篱笆的宽AB为x，长BC为（24﹣3x），列出面积S与x的函数关系式，求出最值． 【解答】解：设篱笆的宽AB为x米，长BC为（24﹣3x）米， ∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x²+24x＝﹣3（x﹣4）²+48， ∵墙长不限， 当x＝4时，24﹣3x＝12，S值最大，此时S＝48． 故答案为：48． 【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的综合运用，考查学生根据图形信息列出二次函数，本题难度适中，经常在考卷中出现，解决问题的关键是弄清题意，根据公式列出面积与x的关系． 43．（2024春•秦都区校级月考）中国跳水队之所以被称为“梦之队”，不只因为赛场上取得的成绩，更在于每个运动员身上凝聚的为国争光的不懈追求．在2024年多哈世锦赛即将来临之际，中国跳水队积极备赛世锦赛，把每个动作都练到极致，向全球展现中国跳水事业的无限活力和潜力．跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB的长为3米，距水面的高OA为10米，C为入水点，某运动员在训练时，在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度11米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求入水处C距池边O的水平距离．（结果保留根号） 【分析】（1）由题意得抛物线顶点坐标（4，11），可设抛物线解析为：y＝a（x﹣4）2+11，将点B（3，10）代入可得； （2）在（1）中函数解析式中令y＝0，求出x即可． 【解答】解：（1）根据题意，可得：抛物线顶点坐标（4，11），且过点B（3，10）， 设抛物线解析为：y＝a（x﹣4）2+11， 则10＝a（3﹣4）2+11， 解得：a＝﹣1， 故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+11； （2）由题意可得：当y＝0，则0＝﹣（x﹣4）2+11，即（x﹣4）2＝11 解得：， ∵入水处C在对称轴的右侧，对称轴为直线x＝4， ∴， ∴， 答：运动员落水点与点C的距离为米． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键． 44．（2024•金华三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，2）． （1）若抛物线的顶点为（1，﹣2），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，若函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q），求证：p+q≥14． （3）若函数图象经过点（m，0），（n，0），其中m＞2，且关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2x有两个相等的实数根，求n的取值范围． 【分析】（1）设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q），易得p＝k2﹣2k﹣1，q＝k2+10k+23，进而可得p+q＝2（k+2）2+14，结合（k+2）≥0，即可得解； （3）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），易得b+2＝a+c，结合方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得a＝c，进而可得2a﹣b＝2①；m＝2时，即该二次函数图象经过点（2，0）时，易知5a+2b＝0②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令y＝0，得，求解可知此时 ；当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动，结合a＝c＞0，结合图象即可得解． 【解答】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣2． 又图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝a（﹣1﹣1）2﹣2． ∴a＝1． ∴函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1． （2）证明：根据题意，函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q）， 分别将点A（k，p），B（﹣4﹣k，q）代入函数解析式y＝x2﹣2x﹣1， 可得p＝k2﹣2k﹣1，q＝（﹣4﹣k）2﹣2（﹣4﹣k）﹣1＝k2+10k+23， ∴p+q＝k2﹣2k﹣1+k2+10k+23＝2k2+8k+22＝2（k+2）2+14， ∵（k+2）≥0， ∴p+q≥14； （3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝a﹣b+c， ∴b+2＝a+c， 将方程ax2+bx+c＝﹣2x整理可得，ax2+（b+2）x+c＝0， ∵该方程有两个相等的实数根， ∵Δ＝（b+2）2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0， ∴a＝c， ∴可有b+2＝2a，即有2a﹣b＝2①， 该二次函数解析式为y＝ax2+bx+a， 当m＝2时，即该二次函数图象经过点（2，0）时， 若a＜0，即该函数图象开口向下，如图， 此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上，此时a＞0，故不符合题意； 若a＞0，即该函数图象开口向上，如图， 则有4a+2b+a＝0，即5a+2b＝0②，联立①②，可得， 解得， ∴该函数解析式为， 令y＝0，得， 解得x1＝2，， ∴此时； 当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动， ∵该函数图象开口向上，a＝c＞0， ∴函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上， ∴当m逐渐增大时，有n＞0． 综上所述，n的取值范围为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析、二次函数综合应用、非负数的性质、一元二次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 60．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线y2＝x2﹣3x+2是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B． ①求a：b：c的值． ②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，m＞n，且m﹣n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围． 【分析】【概念理解】求出抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，即可知抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”； 【尝试应用】①求出抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），代入y2＝ax2+bx+c得：，解得，故a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）； ②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，可得抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a），而抛物线的顶点为（1，﹣2），a＞，可知抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；即可得m﹣n＝（x0﹣1）2﹣2﹣（﹣2ax0﹣3a）＝（﹣a）+（2a﹣1）x0+3a﹣，根据m﹣n的值始终不大于2，有≤2，即解得≤a≤1，而A（0，﹣），B（0，﹣3a）；故AB＝﹣﹣（﹣3a）＝3a﹣，从而可得线段AB长的取值范围是0＜AB≤． 【解答】解：【概念理解】抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在y1＝2（x﹣1）（x﹣2）中，令y＝0得x＝1或x＝2， ∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）； 在中，令y＝0得x＝1或x＝2， ∴抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0）， ∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线与x轴有相同的交点， 又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同， ∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”； 【尝试应用】①在中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1， ∴抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0）， 把（3，0）和（﹣1，0）代入y2＝ax2+bx+c得： ， 解得， ∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）； ∴a：b：c的值为1：（﹣2）：（﹣3）； ②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a）， ∵抛物线的顶点为（1，﹣2），a＞， ∴﹣4a＜﹣2， ∴抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方； ∴m＝（x0﹣1）2﹣2，n＝﹣2ax0﹣3a， ∴m﹣n＝（x0﹣1）2﹣2﹣（﹣2ax0﹣3a）＝（﹣a）+（2a﹣1）x0+3a﹣， ∵m﹣n的值始终不大于2， ∴≤2， 整理得：2a2﹣3a+1≤0， 解得≤a≤1， ∵a＞， ∴＜a≤1； 在中，令x＝0得y＝﹣， ∴A（0，﹣）， 在y2＝ax2﹣2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a， ∴B（0，﹣3a）； ∴AB＝﹣﹣（﹣3a）＝3a﹣， ∵＜a≤1； ∴0＜3a﹣≤， ∴线段AB长的取值范围是0＜AB≤． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$