专题01 一元二次方程（6大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题01 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆江津·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 一元二次方程的一般形式及系数 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）把化为一般形式，得（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）一元二次方程的一次项系数和常数项分别为（　　） A． B． C． D．5，1 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 4．（23-24九年级上·浙江台州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（    ） A．、 B．、10 C．8、 D．8、10 5．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 6．（23-24九年级上·重庆铜梁·期中）将方程化为一般式为 ，一次项系数是 ． 一元二次方程根的判别式 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 4．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 6．（23-24八年级下·吉林长春·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 一元二次方程的配方 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）已知一元二次方程转化成形式，则原方程可转化为 ． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成．则的值是 ． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）把方程化成的形式，则的值是 ． 4．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·广东茂名·期中）将一元二次方程配方后，变形成，则 ． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 解一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程． (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）解方程∶ (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 5．（23-24九年级上·云南曲靖·期中）解下列方程： (1)； (2)． 6．（23-24九年级上·四川广安·期中）解方程 (1)； (2)（配方法）； (3)． 由实际问题抽象出一元二次方程 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程： ． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期中）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 ． 3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）现有一张矩形纸片，其周长为36cm，将纸片的四个角各剪下一个边长为的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的底面积是，设原矩形纸片的长是，那么可列出方程为 ． 6．（23-24八年级下·浙江温州·期中）“指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长，宽的细纹刻纸的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为 ． 利用一元二次方程的定义求字母或式子的值 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 2．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么a的值为 ． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 4．（23-24九年级上·四川内江·期中）已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）方程是关于x的一元二次方程，则 ． 6．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知是一元二次方程，则 ． 利用一元二方程的解求参数或代数式的值 1．（23-24九年级上·北京海淀·期中）若关于x的方程有一个根为1，则m的值为 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知，是一元二次方程的解，则的值为 3．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知m是关于x的方程的一个根，则 ． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知是方程的一个根，求 ． 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若a为方程的一个根，则代数式的值为 ． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为 . 一元二次方程的根与系数的关系及其求值 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足， 求实数的值． 6．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 一元二次方程的实际应用 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ (2)在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ 4．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    (1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ (2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 配方法的实际应用 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）先仔细阅读材料,再尝试解决问题:我们在求代数式的最大或最小值时,通过利用公式对式子作如下变形: , 因为,所以,因此有最小值2, 所以,当时,的最小值为2． 同理,可以求出的最大值为7． 通过上面阅读,解决下列问题: (1)填空:代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最大或最小值,并写出对应的的值． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·重庆江津·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由一元二次方程的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、当时，方程是一元一次方程，故本选项错误； B、方程是一元一次方程，故本选项错误； C、方程是一元三次方程，故本选项错误； D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确． 故选：D． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．据此分析即可． 【详解】解：A．，该方程含有个未知数且未知数的最高次数是，故此选项不符合题意； B．，该方程中的未知数的最高次数是，故此选项不符合题意； C．，该方程中的分母含有未知数，故此选项不符合题意； D．，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义逐个分析即可解答：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、是无理方程，故不是一元二次方程，不合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 故选：B． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、化简后为是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 一元二次方程的一般形式及系数 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）把化为一般形式，得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式为，即可解答． 【详解】解：把化为一般形式，得：， 故选：A． 2．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）一元二次方程的一次项系数和常数项分别为（　　） A． B． C． D．5，1 【答案】C 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可． 【详解】解：， 整理得，， 所以一元二次方程的一次项系数和常数项分别为． 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 【答案】D 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、， 故选：D． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（    ） A．、 B．、10 C．8、 D．8、10 【答案】D 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：化为一元二次方程的一般形式， 其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10， 故选：D． 5．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，通过移项，把方程化为一般形式()，即可解答． 【详解】方程可化为． 故答案为： 6．（23-24九年级上·重庆铜梁·期中）将方程化为一般式为 ，一次项系数是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 所以方程化为一般式为，它的一次项系数是， 故答案为：，． 一元二次方程根的判别式 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式计算即可选出正确答案． 【详解】解：， ， 此方程有两个相等的实数根． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、配方法的应用 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解． 【详解】由题意可知：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查判别式与一元二次方程根的情况，求出，判断符号即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程为， ， 于的一元二次方程的根的情况是没有实数根， 故选：A． 4．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 6．（23-24八年级下·吉林长春·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 一元二次方程的配方 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）已知一元二次方程转化成形式，则原方程可转化为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，先移项，再配方，即可得出答案，解此题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成．则的值是 ． 【答案】10 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法的一般步骤先在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：10． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）把方程化成的形式，则的值是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ． 【答案】13 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题根据配方法可直接进行求解． 【详解】解： ， ∴， ∴； 故答案为13． 5．（23-24九年级上·广东茂名·期中）将一元二次方程配方后，变形成，则 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是将一元二次方程配方得出，求出，然后代入求值，本题属于基础题型． 【详解】解：一元二次方程配方得：， ∵一元二次方程配方后得， ∴， ∴． 故答案为：10． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了将一元二次方程配方，先利用配方法把一元二次方程变形，进而求出a，b，计算即可． 【详解】， 配方，得， ∴，， ∴. 故答案为：7． 解一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握求根公式解一元二次方程的解方法是解题的关键． （1）运用求根公式解一元二次方程即可求解； （2）运用求根公式解一元二次方程即可求解； 【详解】（1）解： ∴， ， ∴， ∴方程的解为：； （2）解：， ∴， ， ∴， ∴方程的解为：． 3．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）根据公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴ ∴ ∴， ∴，． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）先求出的值，再代入公式求出方程的解即可； （2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 这里， ， ， ； （2）解：， ， 因式分解得， 即或， 解得：． 5．（23-24九年级上·云南曲靖·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）使用配方法解题即可； （2）使用因式分解法解题即可． 【详解】（1）解：， 解得：，； （2）解： 或， 解得：，． 6．（23-24九年级上·四川广安·期中）解方程 (1)； (2)（配方法）； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接开平方法解方程，即可作答． （2）先移项，再配方，然后开方，解方程，即可作答． （3）先得出，再代入求根公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ ∴ （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ 由实际问题抽象出一元二次方程 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程： ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率是x,根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期中）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛21场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可． 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是， 由题意可得：． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，得出销量与每件利润的关系式是解题关键．由题意列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）现有一张矩形纸片，其周长为36cm，将纸片的四个角各剪下一个边长为的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的底面积是，设原矩形纸片的长是，那么可列出方程为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．设原矩形纸片的长是，表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程即可． 【详解】解：设原矩形纸片的长是，则宽为， 长方体纸盒的长为，宽为，高为， 由长方体的底面积是得：． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·浙江温州·期中）“指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长，宽的细纹刻纸的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据整个挂图的面积挂图的长挂图的宽原挂图的长原挂图的宽，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设边框的宽度为，依题意可列方程为， 故答案为：． 利用一元二次方程的定义求字母或式子的值 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程中二次项系数不能为0、未知数的最高次数为2，即可求解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：3． 2．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么a的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】∵一元二次方程的一个根为0， ∴且，    ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∴这个方程为， 故答案为：，． 4．（23-24九年级上·四川内江·期中）已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 根据一元二次程的定义得出关于a的不等式组，求出a的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的概念可得，再解答即可． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得：． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 利用一元二方程的解求参数或代数式的值 1．（23-24九年级上·北京海淀·期中）若关于x的方程有一个根为1，则m的值为 【答案】1 【知识点】一元二次方程的解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键． 直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是1， ， 解得：． 故答案为：1． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知，是一元二次方程的解，则的值为 【答案】4 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值，从而得解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ， ∴， ． 故答案为：4． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知m是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】15 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和求代数式的值，由m是关于x的方程的一个根得到，再整体代入变形后的代数式即可． 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案是15． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知是方程的一个根，求 ． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想． 因为是方程的一个根，所以，然后把代入即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ． 故答案为：3． 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若a为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】5 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能根据一元二次方程的解求出是解此题的关键．把代入方程得出，求出，变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：为方程的一个根， 把代入方程得：， ， ． 故答案为：5． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为 . 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 故答案为：． 一元二次方程的根与系数的关系及其求值 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，旁熟练掌握各自的性质是解本题的关键。 (1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可; (2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得：， 解得： ； （2）∵该方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：，即， 解得：（舍去）或， 则m的值为． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足， 求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （）根据一元二次方程 的根与系数的关系得到， ，则，即 ，利用因式分解法解得，，然后由（）中的的取值范围即可得到的值； 此题考查了一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记，一元二次方程的两个根为，，则，，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】（1）解：， 若方程有实数根，则， 解得； （2）由根与系数的关系可知：， ， ∵， ∴， ∴ 整理得：， 解得，， ∵， ∴． 6．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析 (2)直角三角形；理由见解析 (3)， 【知识点】一元二次方程的解、公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案； （3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：将，，代入方程得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 一元二次方程的实际应用 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】(1) (2)该商品在原售价的基础上，再降低25元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 （2）设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 【答案】(1)温室花房的面积为，小路的面积为 (2)道路的宽度为 【知识点】用代数式表示式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内温室花房的面积和小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由温室花房边长和小路宽度间的关系，得出温室花房边长为，再由正方形及长方形的面积公式，即可表示出花园内温室花房的面积和小路面积； （2）根据草坪面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：温室花房边长是小路宽度的倍，小路宽度为， 温室花房边长为， 温室花房的面积为，小路的面积为， 答：温室花房的面积为 ，小路的面积为． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：道路的宽度为． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ (2)在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ 【答案】(1)每个背包售价应不高于55元 (2)42元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设每个背包售价x元，根据“这种背包的月均销量不低于130个，”列出不等式，即可求解； （2）根据“销售利润是3120元”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每个背包售价x元， 根据题意，得， 解得， 答：每个背包售价应不高于55元； （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：这种背包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 4．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    (1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ (2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米 (2)不能 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为． （2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为20米或60米 (2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式， （1）设的长为米，则的长为米，依题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设的长为米，则的长为米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：， 答：的长为20米或60米． （2）不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， ， 该方程无实数根， 不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 配方法的实际应用 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值是5 (3)是等边三角形，理由见解析 【知识点】配方法的应用、通过对完全平方公式变形求值、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得，根据非负性可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ， 所以，的最小值是； （3）解：是等边三角形： ， ， ， 是等边三角形； 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】配方法的应用、因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）先仔细阅读材料,再尝试解决问题:我们在求代数式的最大或最小值时,通过利用公式对式子作如下变形: , 因为,所以,因此有最小值2, 所以,当时,的最小值为2． 同理,可以求出的最大值为7． 通过上面阅读,解决下列问题: (1)填空:代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最大或最小值,并写出对应的的值． 【答案】(1)1； (2)最小值为，此时 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项、配方法的应用、一元二次不等式 【分析】本题考查配方法的应用,能够准确配方是解决本题的关键． （1）将进行配方得到,根据题意可得出当时,有最小值为;将式子配方得到,根据题意可得出当时,有最大值为; （2）将式子配方得到,当时,有最小值为,再对分子进行配方得到,当时有最小值为,即为本题答案． 【详解】（1）解:∵, ∵, ∴，即有最小值， ∴当时，，有的最小值为； ∵， ∵， ∴，即有最大值， 故答案为：1；； （2）解:∵， ∵， ∴，即有最小值， ∴当时，最小值为， ∵， ∴当时有最小值，此时, 故答案为：最小值为，此时． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)6； (2) (3)围成的菜地的最大面积是 【知识点】配方法的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）根据，求解作答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值6； ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：6，； （2）解：∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， 依题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值是， ∴围成的菜地的最大面积是． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【知识点】配方法的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)3 (2)；大；1 (3)1 (4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可； （4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$