专题01 三角形（7大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题01 三角形 三角形的三边关系 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（   ） A．1、1、2 B．2、2、4 C．4、4、9 D．6、6、10 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·全国·期中）满足下列条件的三条线段a，b，c，能组成三角形的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．①③ 5．（23-24七年级下·山西晋城·期中）已知三角形两边长分别为7和4，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 ． 6．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若三角形的两边分别是6和2，第三边长是偶数，则此三角形的第三边为 ． 三角形的高线、中线与角平分线 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则（   ） A．35 B．70 C．90 D．108 3．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，若有，，则下列结论中错误的是（   ） A．是的平分线 B．是的平分线 C． D． 4．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， D、E分别是边上的点，， 连接交于点F， 连接， 若的面积为4， 则阴影部分的面积 ． 6．（23-24七年级下·江苏南京·期中）设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S5的值为 ． 三角形的稳定性 1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，如图实物图中利用了稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东韶关·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是 ．    4．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的 ． 5．（23-24八年级上·北京西城·期中）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 ． 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，被称为“天下黄河第一桥”的兰州中山桥是兰州历史最悠久的古桥，为增加坚固性，后来又增加了五座弧形钢架拱梁，其中拱梁采用了三角形结构，应用的数学道理是 ． 三角形的内角和定理 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）在中，，则 ， °； 2．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，，P是内一点，且，则 °． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图， 图②是其示意图， 其中，都与地面平行，，， 当 度时，． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 5．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）在中，和分别是和的角平分线，且和相交于点F，的度数为，的度数为；连接，则的度数为 ． 6．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为 ． 直角三角形的性质 1．（23-24八年级上·甘肃陇南·期中）在中，，则的度数为 ． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，，，若，则 °．    4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，则 ．（用含有n的代数式表示） 5．（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ． 6．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为 ． 三角形的外角定理 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的一个外角等于，则的度数是 ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，直线AC分别交a和b于点B和C．若，，则∠2的度数为 ． 4．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，，则与的关系式是 ． 5．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 6．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则 °． 多边形的内角与外角 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）n边形的内角和等于，则 ． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）正十二边形的每一个内角 ，每一个外角 3．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多，那么这个多边形的边数是 ． 5．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如果一个多边形的内角和为，那么从一个顶点可以引对角线的条数是 ． 6．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 三角形的内外角与直角三角板 1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图所示，将含角角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）一副三角板如图摆放，，与交于点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，，，，则的度数为 ． 4．（23-24八年级上·全国·期中）小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中是一个角()等于的直角三角板，是一个角（）等于的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段上，与相交于点F，且． (1)判断，的位置关系，并说明理由； (2)直接写出图中等于的角． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板的三个内角分别是和，按如图1叠放在一起，改变三角形的位置（其中点A位置始终不变），可以摆成不同的位置，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，； (2)如图3中，当 时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出α的度数及平行的直线． 6．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则___________，___________； (2)现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)现固定，将绕点A以每秒3度的速度顺时针旋转，如图3所示，设旋转时间为秒（，旋转过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 三角形的高线、角平分线之间的夹角问题 1．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 2．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．    (1)若的面积是24，则的长是 ； (2)若，，求的度数． 4．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，AE是的高，，， 【探究发现】 （1）如图1，若AD是的平分线，求的度数； 【迁移拓展】 （2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 5．（23-24七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系． (1)【问题初探】小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度） 60 70 70 75 80 20 10 30 45 20 20 30 20 30 上表中________，猜想得到与，的数量关系为______ (2)【深入研究】证明（1）中猜想得到的与，的数量关系； (3)【类比运用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为_________度； (4)【学以致用】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，．则的大小为________（用含的式子表示） 多边形的内外角的应用 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的边数为，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形对角线的总条数． 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 与三角形有关的新定义型探究问题 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． (2)如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． (3)如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，直接写出的度数． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【认识概念】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”， 是“远三分线”． 【理解应用】 （1）在中，，，若的三分线与的角平分线交于点，则 ____________； （2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点分别交、于点、，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． （4）在中，是的外角，的近三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，；直接写出 的度数（用含m的代数式表示）． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连接交射线于点，设． (1)如图1，若， ①的度数是 　　； ②当时，的度数是 　　；当时，的度数是 　　； (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 4．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 三角形的三边关系 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（   ） A．1、1、2 B．2、2、4 C．4、4、9 D．6、6、10 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．由三角形的三边关系得出第三边大于3，小于7，即可得到答案． 【详解】解：三角形的两边长分别为2和5， 第三边大于3，小于7， 即只有B选项满足， 故选：B． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 故选：． 4．（23-24八年级上·全国·期中）满足下列条件的三条线段a，b，c，能组成三角形的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 根据三角形三边关系定理分析即可． 【详解】解：①∵，，∴能组成三角形； ②∵，∴不能组成三角形； ③设，∵，∴不能组成三角形； ④∵，，∴能组成三角形； 故选：C． 5．（23-24七年级下·山西晋城·期中）已知三角形两边长分别为7和4，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 ． 【答案】15 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， ，即 ∵第三边为整数， ∴最小整数为4， ∴周长最小为， 故答案为：15． 6．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若三角形的两边分别是6和2，第三边长是偶数，则此三角形的第三边为 ． 【答案】6 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【详解】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系可得： ． 即： ， 由于第三边的长为偶数， 则x为6． ∴第三边为6． 故答案为6 三角形的高线、中线与角平分线 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是D选项， 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则（   ） A．35 B．70 C．90 D．108 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系分别求出，，，，，即可求出的面积． 【详解】解：连接，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 3．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，若有，，则下列结论中错误的是（   ） A．是的平分线 B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线的定义，对选项逐个判断即可．此题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 【详解】解： 是的平分线，A选项正确，不符合题意； 是的平分线，B选项正确，不符合题意； ，C选项正确，不符合题意； ∵从题干条件无法证明 嗯嗯不是的平分线，D选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， D、E分别是边上的点，， 连接交于点F， 连接， 若的面积为4， 则阴影部分的面积 ． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据得到，，再由三角形中线平分三角形面积得到，，则，根据三角形面积之间的关系推出，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：3． 6．（23-24七年级下·江苏南京·期中）设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S5的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】此题考查了图形类的规律探索，三角形的面积公式，连接，设、交于点，先求出，再根据得出，最后根据，即可求出，从而得到答案． 【详解】解：如图，连接，设、交于点，   ， ， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 三角形的稳定性 1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，如图实物图中利用了稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】主要考查了三角形的性质中的稳定性．三角形的特性之一就是具有稳定性．找到图形中有三角形固定的即可． 【详解】解：A、利用了三角形的稳定性，正确； B、利用了四边形的不稳定性，故错误； C、利用了四边形的不稳定性，故错误； D、利用了四边形的不稳定性，故错误， 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东韶关·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 【答案】B 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性．生活中常见的机械臂、升降机等，这是应用了四边形不稳定性进行制作的，便于伸缩． 【详解】解：月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了四边形不稳定性的特性． 故选：B． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是 ．    【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【详解】解：运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性 4．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性． 【详解】解：由题意可得： 生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 5．（23-24八年级上·北京西城·期中）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，被称为“天下黄河第一桥”的兰州中山桥是兰州历史最悠久的古桥，为增加坚固性，后来又增加了五座弧形钢架拱梁，其中拱梁采用了三角形结构，应用的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形，熟练掌握三角形的特性是解题的关键，根据三角形的特性“三角形具有稳定性”即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：三角形的特性：“稳定性”， 故答案为：三角形的稳定性． 三角形的内角和定理 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）在中，，则 ， °； 【答案】 60 100 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形三角和定理，根据三角形内角和为，用分别乘以各自的占比即可求出答案． 【详解】解∶在中，， ∴， ， 故答案为：60，100． 2．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，，P是内一点，且，则 °． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题综合考查了三角形的内角和定理．对相等的角进行等量代换转化为一个角是解答本题的关键．由已知条件根据三角形的内角和定理，求得，再根据和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图， 图②是其示意图， 其中，都与地面平行，，， 当 度时，． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，平行的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据三角形外角的性质及，求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，由折叠的性质得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图进行标注： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：92． 5．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）在中，和分别是和的角平分线，且和相交于点F，的度数为，的度数为；连接，则的度数为 ． 【答案】/128度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念， 首先得到，然后证明出是的角平分线，求出，，进而求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵和分别是和的角平分线， ∴是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键．设，，得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 直角三角形的性质 1．（23-24八年级上·甘肃陇南·期中）在中，，则的度数为 ． 【答案】/34度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出结果即可． 【详解】解：当为直角时，， 当为直角时，， ∵比的3倍还多， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，，，若，则 °．    【答案】30 【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握垂直的定义， 根据垂直的定义和直角三角形的性质 即可求解 【详解】解： 故答案为：30 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，则 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质．设，则，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含的代数式表示出的度数，在，用含的代数式表示出的度数，再结合可求出的度数． 【详解】解：，设，则， ． 平分， ， 在，， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ． 【答案】/42度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，等角的余角相等是解题的关键；利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB，从而可求得∠EDF； 【详解】， ， 故答案为：； 6．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为 ． 【答案】9或15/15或9 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，分类讨论思想，掌握角度的计算，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，根据分类讨论：第一种情况：；第二种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 依题意得：，（）， ∴有以下两种情况： 第一种情况：如图所示，， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为9或15． 故答案为：9或15． 三角形的外角定理 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的一个外角等于，则的度数是 ． 【答案】/75度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，求解即可． 【详解】解：∵的一个外角等于， ∴； 故答案为：． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形外角的定义及性质是解题的关键，根据三角形的外角的性质可得，再根据角平分线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，直线AC分别交a和b于点B和C．若，，则∠2的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求解．由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到，于是得到． 【详解】解：如图， ， ， ， ． 故答案为： 4．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，，则与的关系式是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质和三角形的外角性质、利用等量代换是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，根据“两直线平行，内错角相等”可得，利用三角形的外角性质及等量代换即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 整理得：， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 【答案】/20度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则 °． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，三角形外角性质根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， …… ， ， ， 故答案为：． 多边形的内角与外角 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）n边形的内角和等于，则 ． 【答案】9 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，利用多边形的内角和定理即可列方程求解，理解定理是关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）正十二边形的每一个内角 ，每一个外角 【答案】 150 30 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了正边形的内角和外角，解题的关键是掌握多边形的外角和是360度，正多边形各个外角相等，各个内角也相等，据此即可解答． 【详解】解：正十二边形的每一个外角， 正十二边形的每一个内角， 故答案为：150，30． 3．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 【答案】10 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，设多边形的边数为n，根据多边形的内角和及外角和列得方程，解得n的值即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为， 依题意得：， 解得：， ∴这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】16 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．设这个多边形的边数是，根据已知条件列出关于的方程式即可作答． 【详解】解：设这个多边形的边数是， ， 解得：． 故答案为：16． 5．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如果一个多边形的内角和为，那么从一个顶点可以引对角线的条数是 ． 【答案】4 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考核知识点：多边形的内角和．解题关键点：熟记多边形内角和公式． 根据n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数，再求从一点引对角线的条数． 【详解】解：设这个正多边形的边数是n， 则， 解得：． 则这个正多边形是正七边形． 所以，从一点引对角线的条数是：． 故答案为：4． 6．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 【答案】或或9 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：以五边形为例，如图所示：    剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减 设新多边形的边数为， 则， 解得： ∴原多边形可能有或或9条边． 故答案为：或或9． 三角形的内外角与直角三角板 1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图所示，将含角角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角板中角度的求解，三角形外角性质，先根据三角形外角性质求出的度数，再利用平角定义求解即可． 【详解】解：如图， ，， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）一副三角板如图摆放，，与交于点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的性质和三角形外角性质，掌握相关的知识是解题关键．由，可得，根据，并结合图形可得，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 故选：B． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理可得的度数，进而由对顶角的性质可得的度数，最后根据平行线的性质即可得到的度数，掌握对顶角和平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·全国·期中）小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中是一个角()等于的直角三角板，是一个角（）等于的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段上，与相交于点F，且． (1)判断，的位置关系，并说明理由； (2)直接写出图中等于的角． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，，． 【知识点】内错角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，三角形内角和定理等； （1）由三角形内角和定理得，由内错角相等，两直线平行即可得证； （2）由邻补角的定义及对顶角的性质得，由平行线的性质得，由角的和差即可求解； 掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； 理由如下： ，， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 故图中等于的角有，，． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板的三个内角分别是和，按如图1叠放在一起，改变三角形的位置（其中点A位置始终不变），可以摆成不同的位置，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，； (2)如图3中，当 时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出α的度数及平行的直线． 【答案】(1)当，理由见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)有8种情况，详见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题是一副三角板运动的问题，考查了平行线的性质和判定及三角形的内角和，根据三角形内角和及平行线所得角的关系求角的度数，难度不大，但比较麻烦，容易丢解，要依次按顺序旋转． （1）根据三角形的外角，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的判定方法，求解即可； （3）分8种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1），理由如下： 如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①如图4，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ②如图，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ③如图6，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ④如图7，当时；理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； ⑤如图8，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ⑥如图7，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ⑦如图10，当时； ∵， ∴与重合， ∴， ∴当时，； ⑧如图11，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴当时，． 6．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则___________，___________； (2)现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)现固定，将绕点A以每秒3度的速度顺时针旋转，如图3所示，设旋转时间为秒（，旋转过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)、 (2) (3)满足条件的t的值为或或． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数求解即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （3）分、、三种情况，分别根据旋转的性质、平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过E作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：、 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵和的角平分线交于点，， ∴， ∴ （3）解：如图3-1，当时，此时， ∴， ∴， ∴； 如图3-2，当时，此时， ∴， ∴； 如图3-3，当时，此时， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转变换、角平分线的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 三角形的高线、角平分线之间的夹角问题 1．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 【答案】(1)16 (2)11 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形的中线的概念计算； （2）根据三角形的周长公式得到，，进而求出． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质，熟练掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是 的中线，， ， 是的中线， ； （2）解：是 的中线， ， 与的周长差为3， ， ， 的周长为37，， ， ， ． 2．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．    (1)若的面积是24，则的长是 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角定理和外角定理，理解三角形的中线、高和角平分线，熟练掌握三角形的内角定理和外角定理是解决问题的关键． （1）根据的面积是24得，进而得，再根据为的中线可得的长； （1）先根据三角形外角定理得，进而根据角平分线定义得，然后在中可求出，继而可得的度数． 【详解】（1）为的高，的面积是24，， ， 即， ， 为的中线， ， 故答案为：12． （2）是的外角， ， ，， ， 为的角平分线， ， 在中，， ， ． 4．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，AE是的高，，， 【探究发现】 （1）如图1，若AD是的平分线，求的度数； 【迁移拓展】 （2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）12°；（2）45° 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】解：（1），，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ； （2）和的角平分线交于点G， ，， ，， ， 即， 是的高， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线，掌握相关性质以及定义是解题的关键． 5．（23-24七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ （2）∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系． (1)【问题初探】小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度） 60 70 70 75 80 20 10 30 45 20 20 30 20 30 上表中________，猜想得到与，的数量关系为______ (2)【深入研究】证明（1）中猜想得到的与，的数量关系； (3)【类比运用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为_________度； (4)【学以致用】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，．则的大小为________（用含的式子表示） 【答案】(1)， (2)证明过程见详解 (3) (4) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和、外角和定理，角平分线的性质的综合，掌握三角形内角和、外角和定理的运用是解题的关键． （1）根据三角形的内角和，外角和定理，表格信息即可求解； （2）运用三角形的内角和可得，根据角平分可得，运用外角的性质可得，再运用三角形的内角和定理即可求解； （3）解析思路同（2）； （4）根据题意可得，，过点作于点，延长线交于点，设交于点，由（1）结论可得，，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据上述说明猜想，， 理由： ， ∴， 故答案为：，； （2）证明：根据题意， ， ∴， ∴（1）中猜想正确； （3）解：∵平分，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：根据题意可得，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，延长线交于点，设交于点， ∵，平分， ∴，， ∴由（1）可知，， ∵， ∴， 整理得，， 故答案为：． 多边形的内外角的应用 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的边数为，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形对角线的总条数． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了求多边形内角和与外角和的综合，求多边形对角线的总条数，掌握多边形对角线的总条数计算公式是解题的关键．根据题意，求出每个外角的度数，再用外角和除以外角的度数得到边数，代入多边形对角线的总条数计算公式求解即可； 【详解】解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得， ， 解得， ∴， ∴这个多边形对角线的总条数， 答：这个多边形对角线的总条数为． 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了120米 (2)这个多边形的内角和是． 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形， ∴，（米）； 答：小明一共走了120米； （2）解：根据题意得： ， 答：这个多边形的内角和是． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【知识点】用代数式表示式、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【详解】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 与三角形有关的新定义型探究问题 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． (2)如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． (3)如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)45° (2)的度数为或或； (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质．新定义的应用，解题的关键是能对新定义的理解和运用． （1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答． （2）先证明，是“优雅三角形”，结合①当“优雅角”为；②当另两个角中有优雅角这两个情况，分别得出的度数为，的度数为，以及的度数为，即可作答． （3）进行角的运算得，结合平分以及是“优雅三角形”， 三角形的内角和定理等性质，进行分类讨论，再逐一列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：， “优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得： ， 故答案为：； （2）解：交于点， ， ∵点在线段上 ∴ ∵，是“优雅三角形”， ∴①当“优雅角”为时，另一个角为，则，的度数为， ②当另两个角中有“优雅角”时， 即另两个角之和为， 根据“优雅三角形”的定义， 设另两个角的小的角为，则另两个角的大的角为 则 ∴ 另两个角分别为：，， 若，则的度数为， 若，此时点与点重合 则的度数为 综上所述，的度数为或或； （3）解：，， ， ， ∴ ∵平分交于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是“优雅三角形”， ①当，， ∵， ∴， 解得，； ②当，， ∵ ∴ ∵是的外角，且 ∴与相矛盾 ∴无解，故不符合题意； ③当，， ∵ ∴ ， 解得， ∴ ∵， ∴ 此时，符合条件 ∴， ④当，， ∵， ∴ ∴， 解得，； ⑤当，， ∴ ∴， 解得，； ⑥当，， ∵， ∴与矛盾 ∴无解，故不符合题意； 综上，的度数为：， 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【认识概念】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”， 是“远三分线”． 【理解应用】 （1）在中，，，若的三分线与的角平分线交于点，则 ____________； （2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点分别交、于点、，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． （4）在中，是的外角，的近三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，；直接写出 的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）或；（2）；（3），（4）m或 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）分两种情况：①当为近三分线时，如图所示，求得，再利用角平分线的定义求得，最后在中利用三角形的内角和定理即可；②当为远三分线时，如图所示，然后分别根据三分线和角平分线的定义及三角形的内角和定理即可求解； （2）利用、分别是近三分线和近三分线，求得，然后再利用三角形的内角和定理即可求解； （3）如图2，在中，利用三角形的内角和定理求，再利用、分别是的远三分线和远三分线，求得，进而在中利用内角和定理求，结合，即可求得． （4）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当分别是“近三分线”，可得，可求解；情况二：如图， 是“远三分线”，时，可得可求解． 【详解】解：（1）分两种情况： 当为近三分线时，如图所示，， ， 平分，， ， ； 当为远三分线时，如图所示，， ， 平分，， ， ， 故答案为：或． （2）如图1，、分别是近三分线和近三分线， ，， ， ， ， ， 在中，， ． （3）如图2，在中，，， ． 、分别是的远三分线和远三分线， ， ， 在中，， ， ； ， ． （4）如图当是“近三分线”， ，，， ， 即， ，， ； 如图，当是“远三分线”， ，，， ， 即， ，， ． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连接交射线于点，设． (1)如图1，若， ①的度数是 　　； ②当时，的度数是 　　；当时，的度数是 　　； (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 【答案】(1)①；②， (2)的值是或或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）①利用角平分线的定义求出，根据平行线的性质可得出答案； ②当时，利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数； 当时，求出，然后根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）分三种情况进行讨论：①当时，②当点在左边，时，③当点在右边，时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：①，平分， ， ， ； ②当时， ， ，， ； 当时， ， ， ， ； 故答案为：①； ②，； （2）解：①当时，如图， ，， ， ， ， ， ； ②当点在左边，时， ，，， ，， ， ， ； ③当点在右边，时， ，，， ，， ，， ， ； 综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．本题利用角平分线的定义求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 4．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． ( 2 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