专题01 空间直线与平面（六大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题01 空间直线与平面（六大题型+优选提升题） 平面的基本性质 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）用集合符号表述语句“平面经过直线”： . 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 3．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 4．（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 空间中的位置关系 5．（23-24高二上·上海·期中）斜线与平面所成角的取值范围是 ． 6．（23-24高二上·上海·期中）二面角的平面角的取值范围是 . 7．（23-24高二上·上海崇明·期中）“直线垂直于平面内的所有直线”是“”的 条件． 8．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 9．（23-24高二上·上海·期中）空间中已知直线，直线，直线，若直线直线，直线与直线异面，则直线与直线的位置关系是 . 10．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 11．（23-24高二下·上海·期中）设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 13．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 14．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①．，则    ②．，则 ③．，则    ④．，则 15．（22-23高二上·上海宝山·期中）下列命题正确的是（    ） A．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行. B．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直. C．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. D．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行. 16．（23-24高三上·上海·期中）给出下面四个命题： ①过一个球的球心和球面上任意两个点，有且只有一个平面； ②若直线直线，直线平面，则直线平面； ③若直线直线，直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线垂直于直线在平面内的射影，则直线直线． 则上述结论不正确的有 ．（填原号） 17．（23-24高二上·上海黄浦·期中）对下列命题：①两两相交的三条直线确定一个平面；②已知直线、和平面，若、与所成的角相等，则；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；④三个两两垂直的平面的相应交线也两两垂直，其中真命题的序号是 .（填上所有真命题序号） 判断异面直线的条数、射影问题 18．（23-24高二上·上海·期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 19．（23-24高二上·上海闵行·期中）在正方体各表面上的对角线中，与体对角线垂直的面对角线共有 条. 20．（23-24高二上·上海静安·期中）点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的 心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 求空间中的角度、距离 21．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 22．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    23．（23-24高二上·上海徐汇·期中）设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段 . 24．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 25．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在菱形中，，，为菱形所在平面外一点，，，到直线距离为 . 26．（23-24高二上·上海·期中）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·上海·期中）如图，PA，PB，PC，他们之间每两条的夹角都是，则直线PC与平面PAB所成角的大小为 ．    28．（23-24高二上·上海普陀·期中）定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为 ． 29．（22-23高二上·上海虹口·期中）在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则 ． 空间直线与平面的命题综合辨析 30．（23-24高三上·上海·期中）在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 31．（21-22高二上·上海浦东新·期末）M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题； 题型06 解答综合题 32．（23-24高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 33．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积； (2)设为该圆锥的底面半径，且，为的中点，求二面角的大小（用反三角表示） 34．（2023·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 35．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 36．（20-21高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，且CD＝2AB． (1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为，求二面角P﹣CD﹣B的大小 (2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由． 一、填空题 1．（22-23高二上·上海徐汇·开学考试）已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： . 2．（22-23高二上·上海闵行·开学考试）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 . 3．（22-23高二上·上海浦东新·期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是 . ①直线与直线相交； ②直线与直线平行； ③直线BM与直线是异面直线； ④直线与直线成角. 4．（22-23高二上·上海长宁·期中）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 5．（22-23高三上·上海浦东新·期中）如图，三棱锥的顶点A在平面上，侧棱平面，底面BCD是以B为直角的等腰直角三角形，且平面BCD与平面平行．， E是CD中点，M是线段AE上的动点，过点M作平面ACD的垂线交平面于点N，则点N到点C的距离的取值范围为 ． 6．（22-23高二上·上海黄浦·期中）如图，矩形中，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为 . 二、单选题 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，，、分别是棱、、的中点，点在上且.则以下四个说法： ①平面；②平面； ③、、三点共线；④平面平面. 其中说法正确的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2023·上海崇明·一模）已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 三、解答题 9．（22-23高二下·上海黄浦·期中）如图，是半球的直径，为球心，，，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)若点在底面圆内的射影恰在上，求点到平面的距离. 10．（2022·上海奉贤·一模）如图，在正四棱锥中，，分别为的中点，平面与棱的交点为. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求平面与平面所成锐二面角的大小； (3)求点的位置. 11．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间直线与平面（六大题型+优选提升题） 平面的基本性质 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）用集合符号表述语句“平面经过直线”： . 【答案】 【分析】根据线面关系可得结果. 【解析】因为平面经过直线AC，则. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 【答案】 【分析】根据确定平面的依据，即可求解. 【解析】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面. 故答案为：. 3．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 【答案】 【分析】利用点线面的位置关系判断即可得出结论. 【解析】因为既在平面内又在平面内，所以在两平面的交线上，即; 因为点平面，点平面，平面平面直线l，所以 故答案为： 4．（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【解析】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 空间中的位置关系 5．（23-24高二上·上海·期中）斜线与平面所成角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面的一条斜线的定义和线面角的定义即可求解. 【解析】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为， 又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内， 所以斜线与平面所成角的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·期中）二面角的平面角的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二面角的取值范围可得结果. 【解析】二面角的平面角的取值范围是. 故答案为：. 7．（23-24高二上·上海崇明·期中）“直线垂直于平面内的所有直线”是“”的 条件． 【答案】充要 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】由直线与平面垂直的定义及直线垂直于平面内的所有直线，得， 反之，直线，则直线垂直于平面内的所有直线， 所以“直线垂直于平面内的所有直线”是“”的充要条件. 故答案为：充要 8．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【解析】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高二上·上海·期中）空间中已知直线，直线，直线，若直线直线，直线与直线异面，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交或异面 【分析】根据直线与直线的位置关系判断可得出结论. 【解析】空间直线，直线，直线a与c为异面直线， 则直线b与直线c可能是相交直线或也可能是异面直线. 故答案为：相交或异面 10．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【解析】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 11．（23-24高二下·上海·期中）设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质判断A，根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断B、C、D. 【解析】对于A：若，，则，故A正确； 对于B：若，则或与异面，故B错误； 对于C：若，则或，故C错误； 对于D：若，则或与相交，故D错误. 故选：A 12．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 【答案】平行 【分析】根据题干信息，利用距离构建直角梯形，利用梯形中位线的长度公式，则中位线长度为，则直线上有两个点到平面距离都，从而可以判断直线与平面的位置关系. 【解析】根据题干信息，连结，相交于点.则点为的中点， 分别作平面，平面，平面. 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线， 因为，两点到平面的距离分别为1、3. 则，点到平面的距离也为2，直线在平面的同侧， 所以上有两个点距离都为2，则直线平面. 故答案为：平行. 13．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】 根据线面平行与面面平行的判定的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】由直线且，则或与相交，所以充分性不成立； 反之：若且，根据两平面平行的性质，可得，即必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①．，则    ②．，则 ③．，则    ④．，则 【答案】①④ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判断. 【解析】对①，因为，所以， 又因为，所以，①正确； 对②，由，可得或，②错误； 对③，由，可得直线与平面的位置关系可以是平行或相交，③错误； 对④，因为，所以，④正确； 故答案为：①④. 15．（22-23高二上·上海宝山·期中）下列命题正确的是（    ） A．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行. B．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直. C．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. D．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行. 【答案】C 【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案. 【解析】对于A，一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面内的任何直线平行，故A错； 对于B，根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定和该平面垂直，故B错； 对于C，根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则该直线必垂直于三角形的第三边，故C正确； 对于D，两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D错误； 故选：C 16．（23-24高三上·上海·期中）给出下面四个命题： ①过一个球的球心和球面上任意两个点，有且只有一个平面； ②若直线直线，直线平面，则直线平面； ③若直线直线，直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线垂直于直线在平面内的射影，则直线直线． 则上述结论不正确的有 ．（填原号） 【答案】①②③④ 【分析】对于①，由构成平面的定义举出反例即可；对于②，有线面平行的判定定理举出反例即可；对于③，由线面垂直的判定定理举出反例即可；对于④，当直线平面时，即可举出反例. 【解析】对于①，当两点为球的直径的两个端点时，过球心与这两点有无数的个平面，故命题①不正确； 对于②，若直线直线，直线平面，则直线平面或直线平面，故命题②不正确； 对于③，若直线直线，直线直线，直线平面，则可能直线平面，故命题③不正确； 对于④，设是平面的垂线，是平面的斜线（与平面相交但不垂直），此时直线垂直于直线在平面内的射影，但与斜线不垂直，故命题④不正确． 故答案为：①②③④. 17．（23-24高二上·上海黄浦·期中）对下列命题：①两两相交的三条直线确定一个平面；②已知直线、和平面，若、与所成的角相等，则；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；④三个两两垂直的平面的相应交线也两两垂直，其中真命题的序号是 .（填上所有真命题序号） 【答案】③④ 【分析】利用平面的性质、空间中两直线的位置关系、面面垂直的性质判断即可. 【解析】对于①：若三条直线相交与同一点，此时不一定确定一个平面，    如长方体的三条棱、、相交与点，但是这三条直线无法确定平面，故①错误； 对于②：若、与所成的角相等，则与平行、相交、异面， 例如圆锥的母线与底面所成角均相等，但是母线是相交直线，故②错误； 对于③：若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面，故③正确； 对于④：如图所示，平面，，，，，，    在平面内作异于的直线，因为，，所以， 因为，所以，，，所以，则， 又因为，，所以，则， 同理可得：，所以，故④正确； 故答案为：③④ 判断异面直线的条数、射影问题 18．（23-24高二上·上海·期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 【答案】6 【分析】利用正方体的结构特征，结合异面直线的意义求解即得. 【解析】在正方体中的12条棱所在直线中， 与直线相交的棱所在直线有，共6条， 其余6条棱所在直线与直线是异面直线，    所以与直线是异面直线的共有6条. 故答案为：6 19．（23-24高二上·上海闵行·期中）在正方体各表面上的对角线中，与体对角线垂直的面对角线共有 条. 【答案】 【分析】先证平面,继而可得，同理可得其他垂线. 【解析】如图，连接,则 在正方体中，平面,平面, 所以, 又平面,所以平面, 又平面，所以. 同理可得，都与垂直,共条. 故答案为：. 20．（23-24高二上·上海静安·期中）点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的 心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 【答案】外心 【分析】设在平面上的射影为，则平面，连接、、，从而得到，即可得到，即可判断. 【解析】设在平面上的射影为，则平面，连接、、， 则平面，所以，，， 又，所以， 所以， 所以为的外心.    故答案为：外心 求空间中的角度、距离 21．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算． 【解析】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，， 故答案为：．    22．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    【答案】 【分析】先作出直线上的点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度即可. 【解析】   连接交于点，则， 在正方体中，因为底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面. 在正方体中，因为，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线到平面的距离， 又因为正方体的棱长为1，所以. 故答案为：. 23．（23-24高二上·上海徐汇·期中）设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段 . 【答案】或 【分析】根据线面垂直的性质，证得，且，分在平面的同侧和在平面的两侧，两种情况讨论，分别作和，在直角和直角中，结合勾股定理，即可求解. 【解析】如图所示，因为和都是平面的垂线，其垂足分别为， 可得，且， 如图（1）所示，当点在平面的同侧时， 过点作，垂足为，则， 又因为，可得， 在直角中，可得. 如图（2）所示，当点在平面的两侧时， 过点作的延长线的垂线，设，垂足为，则， 又因为，可得， 在直角中，可得. 故答案为：或. 24．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】首先取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1C1，根据题意得到为二面角的平面角，再利用余弦定理计算其余弦值即可. 【解析】取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1C1，如图所示： 因为长方体中， 所以，即 ， 所以，，且. 所以为二面角的平面角， 故答案为：. 25．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在菱形中，，，为菱形所在平面外一点，，，到直线距离为 . 【答案】 【分析】作，垂足为，可得就是到直线的距离.根据线面垂直的性质可得，，根据勾股定理即可求解. 【解析】如图，作，垂足为， 因为，即平面，且平面， 所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为,,所以. 因为平面，平面，所以. 所以. 故答案为:. 26．（23-24高二上·上海·期中）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作交于，连接，作，，证明为二面角的平面角，以及，；在，中分别求出，，再在中，利用余弦定理求解即可. 【解析】如图，作交于，连接，作，， 因为，，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，平面，所以， 又，， ，，所以， 所以， 同理，所以， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，， 所以. 故选：. 27．（23-24高二上·上海·期中）如图，PA，PB，PC，他们之间每两条的夹角都是，则直线PC与平面PAB所成角的大小为 ．    【答案】 【分析】本题首先可以结合题意绘出图像，过上一点作平面，根据线面角的定义即可得出就是直线与平面所成的角，然后通过题意得出，再然后通过线面垂直的判定与性质得出，最后设，通过勾股定理求出、的长，根据即可得出结果. 【解析】如图，结合题意绘出图象：    过上一点作平面，过点作，， 则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以，， ，平面，所以平面， 且平面，则， 同理可证，因为， 所以，所以， 所以点在的平分线上，， 设，则，， 故， 直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 28．（23-24高二上·上海普陀·期中）定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角的平面角的定义，构造要求二面角的平面角，借助直角三角形，求出二面角的大小． 【解析】根据题意，设点在锐二面角内， 过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为， ，，则直线，同理：， 而，平面，则平面， 设平面与直线的交点为，平面， 则有，，， 连接、、，则是二面角的平面角或其补角， 依题意，不妨设，则，， 如图：    在中，，，则， 在中，，，则， 则，所以锐二面角的大小为. 故答案为：. 29．（22-23高二上·上海虹口·期中）在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则 ． 【答案】1 【分析】由已知得，由此即可求出答案． 【解析】连接， 在长方体中，面 与面所成的角为， 同理与面所成的角为， 与面所成的角为， ． 故答案为：1． 空间直线与平面的命题综合辨析 30．（23-24高三上·上海·期中）在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【分析】由题意根据平面具有延展性可知二面角的大小实质为面与平面所成的二面角判断①；将平面沿直线翻折到平面内，过点做，，此时，的值最小，判断②. 【解析】 对于①，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，①正确; 对于②，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下， 过点做，，此时，的值最小. 由题可知， 则， 故，又故的最小值为，故②正确. 故选：A. 31．（21-22高二上·上海浦东新·期末）M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题； 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理可知①为真命题，利用线面垂直可得②为真命题. 【解析】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以， 因为平面ABD，平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确； 如图，取中点，则（菱形对角线垂直）， 又，且两直线在平面内，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以②正确； 故选：． 题型06 解答综合题 32．（23-24高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小. 【解析】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点Q在直线DC上. （2）根据正方体的性质可知， 所以异面直线与所成角为， 由于分别是的中点， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 33．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积； (2)设为该圆锥的底面半径，且，为的中点，求二面角的大小（用反三角表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出圆锥的母线，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解； （2）如图，由题意可得、，则为二面角所成角.在中，解三角形即可求解. 【解析】（1）由题意知，平面，平面， 所以，所以圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积； （2）如图，连接，为的中点，，则， 又为等腰三角形，，所以， 所以为二面角所成角. 在等腰直角中，，所以， 在中，，得， 所以. 34．（2023·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据直线与平面夹角的定义即可知即为直线与平面所成的角，然后利用线段长直接求解即可. （2）利用面面平行的判定定理直接证明即可；根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【解析】（1）    因为平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 又，，， 为中点，可得，， 所以， 即直线与平面所成的角的正切值为. （2）由题知，平面，平面， ，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以就是直线到平面的距离， 又为中点， 则， 即直线到平面的距离为. 35．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明出和，从而证明出面面平行； （2）证明出线面垂直，从而得到面面垂直，作出辅助线，再由面面垂直得到线面垂直，得到点到平面的距离为的长，求出答案. 【解析】（1）连接，因为正三棱柱中，分别是的中点， 所以，，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故，， 又，，所以，， 故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）因为为等边三角形，为的中点，故⊥， 又三棱柱为直三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 过点作⊥于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 故点到平面的距离为的长， 因为，是的中点， 所以， 由勾股定理得， 故， 点到平面的距离为. 36．（20-21高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，且CD＝2AB． (1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为，求二面角P﹣CD﹣B的大小 (2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）先由题设条件与线面垂直的判定定理证得CD⊥AD，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，由此可求得二面角P﹣CD﹣B的大小； （2）先由三角形相似证得CO＝2AO，进而得到，从而证得PA//EO，再由线面垂直的性质证得EO⊥底面ABCD，由此可证平面EBD⊥平面ABCD． 【解析】（1）∵AB⊥AD，CD//AB，∴CD⊥AD， 又PA⊥面ABCD，面ABCD，∴PA⊥CD， 又面PAD，则CD⊥面PAD， 又面PAD，∴CD⊥PD， ∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角， ∵直线PB与CD所成的角为，CD∥AB， ∴直线PB与AB所成的角为，即， 故在直角三角形PBA中，PA＝AB，又AB＝AD， ∴在直角三角形PDA中，PA＝AD， ∴∠PDA＝45°，即二面角P﹣CD﹣B为45°. （2）当点E在线段PC上，且PE：EC＝2：1时，平面EBD垂直平面ABCD． 理由如下： 连结AC、BD交于O点，连EO． 由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，则， ∴PA∥EO， ∵PA⊥底面ABCD， ∴EO⊥底面ABCD， 又EO在平面EBD内， ∴平面EBD⊥平面ABCD． . 一、填空题 1．（22-23高二上·上海徐汇·开学考试）已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： . 【答案】 ，并且与相交 【分析】由异面直线的定义、充要条件的判断结合空间中点线面的位置关系即可得出答案. 【解析】当异面时，在上的射影是直线，可能平行或相交： 过上的射影是直线，可能平行或相交： 但当直线与直线，同时成立时，则： 而当直线与､直线与，均相交时，则与可能相交； 故能确定与是异面直线的充分条件是，并且与相交 （或，并且与相交）. 故答案为：，并且与相交. 2．（22-23高二上·上海闵行·开学考试）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 . 【答案】2 【分析】作出辅助线，得到为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线的条数. 【解析】设立方体的棱长为1，过作直线， 若直线与平面中的直线所成角的最小值为， 即与平面所成角为， 为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 连接，由题意得，直线与直线所成角为， 直线与直线所成角为. 此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 两个圆锥相交得到两条交线. 故答案为：2 3．（22-23高二上·上海浦东新·期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是 . ①直线与直线相交； ②直线与直线平行； ③直线BM与直线是异面直线； ④直线与直线成角. 【答案】③④. 【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，确定各点位置，根据异面直线的定义可判断①②③，根据异面直线所成角的定义，求出直线与直线所成的角，判断④. 【解析】如图，将正方体的平面展开图，复原为正方体， 对于①，平面，平面,平面, 故直线与直线是异面直线，①错误； 对于②，平面，平面,平面, 故直线与直线是异面直线，②错误； 对于③，平面平面,平面,平面, 故直线BM与直线不相交，连接,则,而相交， 故不平行，否则，则，不合题意， 故直线BM与直线是异面直线，③正确； 对于④，连接,则为正三角形，则, 由于，则即为直线与直线所成角， 即直线与直线成角，④正确， 故答案为：③④. 4．（22-23高二上·上海长宁·期中）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 【答案】. 【分析】根据图形，作出二面角的平面角，利用正方形、正三角形计算求解即可. 【解析】过点A作底面的垂线，垂足为B， ，分别为上下底面正方形的中心，连接，交于，连接，如图， 由题意可知， 即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，， ， 由三角形都为正三角形知，，， 设正方形边长为，则，， ，， , ，. 故答案为： 5．（22-23高三上·上海浦东新·期中）如图，三棱锥的顶点A在平面上，侧棱平面，底面BCD是以B为直角的等腰直角三角形，且平面BCD与平面平行．， E是CD中点，M是线段AE上的动点，过点M作平面ACD的垂线交平面于点N，则点N到点C的距离的取值范围为 ． 【答案】； 【分析】由题设可证则△、△都为等腰直角三角形，结合△BCD是以B为直角的等腰直角三角形，将几何体补全为正方体且一个底面在上，进而确定与所成角为，并有，应用余弦定理、勾股定理求的范围即可. 【解析】由平面，面，则面，面， 所以，又且△BCD是以B为直角的等腰直角三角形， 故，则△、△都为等腰直角三角形， 将补全为正方体如下图示，其中一个面在上且棱长为1， 所以，在等边△中E是CD中点，故， 过M作面ACD垂线交面于N，且面，面，则， 因为，面，面，故， 又，面，故面，面， 所以，面面，面面，且， 易知：过M作面ACD垂线在面内，即面，而面， 综上，点必在对角线上，且与所成角为，，则， 在中，令，由， 故， 所以，则， 所以. 故答案为： 6．（22-23高二上·上海黄浦·期中）如图，矩形中，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为 . 【答案】 【分析】如图所示，作于，在底面投影为，于，在底面投影为，将立体图形还原到平面图形，设，根据相似得到各线段的长度，得到的函数表达式，计算二次函数的最值得到答案. 【解析】如图①，作于，在底面投影为，， 同理，于，在底面投影为，， ，故，还原到平面图形如图②所示： 易知是中点，是中点，， 设，， 同理可求得，， ， 当且仅当 取得最小值. 故答案为: . 【点睛】本题考查了二面角的问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中通过立体和平面的转化，将二面角的三角函数值转化为二次函数是解题的关键. 二、单选题 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，，、分别是棱、、的中点，点在上且.则以下四个说法： ①平面；②平面； ③、、三点共线；④平面平面. 其中说法正确的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用空间中线线，线面，面面，三点共线知识求解. 【解析】对于：连接，，则，连接，，因为：， 易得：，交于点，即：平面，故错误； 对于：由可知、在平面上，连接，由题意知：， 所以：四边形为平行四边形，所以：，且平面，不在平面上， 所以：平面，故正确； 对于：由知、、三点共线是正确的. 对于：由知平面，又因为：平面， 所以：平面平面是错误的，故错误. 综上所述：正确，错误，故C选项是正确的.    故选：C. 8．（2023·上海崇明·一模）已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可. 【解析】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为， 如图所示： 对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面 ，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题； 对于，点M在正方体内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得，，M在同一平面内，与和异面矛盾，所以假设错误，所以命题是假命题. 故选：A. 三、解答题 9．（22-23高二下·上海黄浦·期中）如图，是半球的直径，为球心，，，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)若点在底面圆内的射影恰在上，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 (1)由面面垂直的判断定理可知，要证平面平面，只需证一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线即可，根据，结合题意只需证明，即四边形是菱形即可； (2)由(1)可得平面，结合已知条件可得点P在底面圆内的射影是与的交点Q，在中，由勾股定理计算，求出，再根据即可求解. 【解析】（1）证明：连接，如图，是半圆上的两个三等分点， 则有， ∵， ∴都是正三角形. ∴， 四边形是菱形，， ∵，平面， ∴平面，平面 ∴平面平面. （2）由(1)知，平面PON， 所以平面平面OMNB，平面PON∩平面OMNB=ON， 则点P在底面圆内的射影在ON上， 又点P在底面圆内的射影在BM上， 点P在底面圆内的射影是ON与MB的交点Q， ， 故， 在中，由余弦定理，可得， 故，故， 在中，， 故， 故. 由，可得， 即，所以， 点到平面的距离为. 【点睛】 10．（2022·上海奉贤·一模）如图，在正四棱锥中，，分别为的中点，平面与棱的交点为. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求平面与平面所成锐二面角的大小； (3)求点的位置. 【答案】(1) (2) (3)点的位置为线段PC靠近P的三等分点. 【分析】（1）作出辅助线，找到异面直线与所成的角是∠OEA（或补角），利用余弦定理求出； （2）作出辅助线，找到平面与平面所成锐二面角为，经过计算得到； （3）证明出A、Q、G三点共线，利用第二问的求出的，和题干中的条件确定点的位置. 【解析】（1）连接AC，BD，相交于点O， 因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO， 因为四棱锥是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD，连接OE， 因为为的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD， ∠OEA（或补角）即为异面直线与所成角的大小， 因为正四棱锥中，，所以△PAB是等边三角形， 所以，由勾股定理得：，所以， 因为，E为PB的中点，所以， 在△AOE中，由余弦定理得：， 所以异面直线与所成角的大小为 （2）连接EF，与OP相交于点Q，则Q为OP，EF的中点， 因为分别为的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以EF∥平面ABCD， 设平面与平面相交于直线，故EF∥∥DB，连接QA， 则因为AE=AF，所以AQ⊥EF，又因为OA⊥BD， 故∠QAO即为平面与平面所成锐二面角，其中，，所以，故， 即平面与平面所成锐二面角的大小为 （3）延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G， 过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD， 设GM=CM=x，则AM=4-x，由第二问知：， 所以，即，解得：， 故，所以点的位置为线段PC靠近P的三等分点. 11．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可；（2）将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可;（3）该图像不好建立空间直角坐标系，就利用几何法画出二面角，然后计算各个线段的长度，利用余弦定理得到，然后利用余弦定理得到，最后利用的取值范围求出二面角的取值范围即可. 【解析】（1）在矩形中，连接与相交于点， 则 在翻折后点为中点，还是有 故三棱锥外接球球心为点，半径 所以外接球表面积. （2）由题可知， 所以 因为， 则 因为 故 所以 （3）过点作的垂线，与相交于点，在平面上，过点做的垂线，与相交于点； 则二面角为 显然， 所以有， 由题可知，， 故，，， 由余弦定理可知 所以有 在中，利用余弦定理得 又因为，的取值范围是 所以有， 得 因为 所以 即二面角的取值范围是. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$