4.2.1合并同类项 教案-2024-2025学年人教版七年级数学上册

七年级上册4.2.1 合并同类项 教案 【学习目标】 1．理解同类项的概念，会判断同类项； 2．掌握合并同类项的方法，能准确合并同类项； 3．通过类比数的运算探究合并同类项的方法，从中体会“数式通性”和类比思想． 【重难点】 重点：同类项的概念；合并同类项的法则，感受“数式通性”和类比思想． 难点：正确判断同类项，准确合并同类项． 【教学内容】 （一）问题引入 数能进行加减运算，整式中的每个字母都表示数，这样，整式与数一样，也可以进行加减运算. 本章引言中的问题(2). 汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要a h，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25a h，香港口岸到西人工岛的全长(单位：km)是72a+96×1.25a.即72a+120a. 如何计算 72a+120a呢？下面我们类比数的运算，讨论整式72a，120a的加法运算. （二）新知探究 探究一： (1) 运用运算律计算：72×2+120×2= ； 72×(-2)+120×(-2)= . 根据分配律可得 72×2+120×2=(72+120) ×2=192×2=384， 72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×(-2)=192× (-2)=-384. (2) 根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理： 72a +120a = . 多项式72a+120a表示72a与120a两项的和，它与(1)中的式子72×2+120×2和 72×(-2)+120×(-2)有相同的结构，并且字母a代表的是一个乘数，因此根据分配律也有72a+120a=(72+120)a=192a. 探究二：填空 (1) 72a-120a = ( ) a； (2) 3m2+2m2 = ( ) m2； (3) 3xy2-4xy2 = ( ) xy2. 对于上面的(1) (2) (3)，利用分配律可得 72a-120a = (72-120)a = -48a； 3m2+2m2 = (3+2)m2 = 5m2； 3xy2-4xy2 = (3-4)xy2 = -xy2. 观察： 72a-120a的项72a和-120a：它们含有相同的字母a，并且a的指数都是1； 3m2+2m2 的项3m2和2m2：它们含有相同的字母m，并且m的指数都是2； 3xy2-4xy2 的项3xy2和4xy2：它们含有相同的字母x，y，并且x的指数都是1，y的指数都是2. 像72a与120a， 3m2与2m2 ，3xy2与4xy2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项. · 考点解析 例 下列各组式子中，是同类项的是( ) ① 2x3y5与x5y3 ② x6y7z与-3x6y7 ③ 6xy与xy ④ x4与34 ⑤ 4x2y与3yx2 ⑥ -100与 A. ①②③ B. ①③④⑥ C. ③⑤⑥ D. 只有⑥ · 总结提升 判别同类项的方法： (1)两相同 ①所含的字母要完全相同； ②相同字母的指数相同. (2)两无关 ①同类项只与字母及其指数有关，与系数无关； ②与字母在单项式中的排列顺序无关。 · 针对练习 1.下列单项式中，ab3的同类项是( ) A. a3b2 B. 3a2b3 C. a²b D. 2ab3 2.下列各选项中，不是同类项的是( ) A.3a2b和-5ba2 B.x2y和xy2 C.6和23 D.5xn和-3 3. 在多项式x3-x+4-6x3-5+7x的每一项中， 与x3， 与-x， 与4分别是同类项. 新知探究 因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以利用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.例如， 4x2 + 2x + 7 + 3x - 8x2 - 2 = 4x2 - 8x2 + 2x + 3x + 7 - 2 (交换律) = (4x2-8x2) + (2x+3x) + (7-2) (结合律) = (4-8)x2 + (2+3)x + (7-2) (分配律) = -4x2+5x+5. 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列. · 考点解析 例 多项式3x2y-4x5y2+2-xy3按字母x的降幂排列正确的是( ) A. 3x²y + 4x5y² + 2 + xy3 B. -4x5y²+3x²y-xy3+2 C. 4x5y2+ 3x²y-xy3+2 D. 2-xy3 + 3x²y-4x5y2 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列. 解：3x2y-4x5y2+2-xy3按字母x的降幂排列为 -4x5y2+3x2y-xy3+2 · 针对练习 1. 代数式3m2n-4m3n2+2mn3-1按m的降幂排列，正确的( ) A. -4m³n2+3m2n+2mn3-1 B. 2mn3+3m2n-4m3n2-1 C. -1+3m2n-4m3n2+2mn3 D. -1+2mn3+3m2n-4m3n2 2. 多项式5x2y+y3-3xy2-x3按y的降幂排列是( ) A. 5x2y-3xy2+y3-x3 B. y3-3xy2+5x2y-x3 C. 5x2y-x3-3xy2+y3 D. y3-x3+5x2y-3xy2 新知探究 1.把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 2.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 合并同类项的实质： “一相加，两不变”，“一相加”指的是系数相加；“两不变”指的是字母不变，字母的指数不变. （三）典例解析 例1 合并下列各式的同类项： （1）xy2-xy2； （2）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2； 解：（1）xy2-xy2 =（1- ）xy2= xy2； （2） 4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 = (4a2-4a2)+(3b2 -4b2)+2ab = (4-4) a2+(3-4) b2+2ab = -b2+2ab 没有同类项的项仍然作为多项式的项，不要遗漏 · 总结提升 合并同类项的方法： · 先找同类项，并用不同的符号进行标记， · 再利用加法交换律，合并所标记的同类项. 注意： (1) 标记同类项时，要连同该项的性质符号一块标记，移动该项时，也要连同它的性质符号一块移动. (2) 如果两个同类项的系数互为相反数，那么它们合并同类项的结果为0. · 针对练习 1.-4a2b+3ab=(-4+3)a2b=-a2b，上述运算依据的运算律是( ) A.加法交换律 B.乘法交换律 C.分配律 D.乘法结合律 2.下列计算正确的是( ) A.3x2-x2=3 B.a+b=ab C.3+x=3x D.-ab+ab=0 3.合并同类项：(1)-2x2y-3x2y+5x²y；(2)3x2+2xy-5x-3y2-6xy 解：(1)原式=(-2-3+5)x2y=0 (2)原式=(3-5)x2+(2-6)xy-3y2=-2x2-4xy-3y2 · 典例解析 例2 （1）求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，其中x= 解： 2x2-5x+x2+4x-3x2-2 = (2+1-3) x2+(-5+4)x-2 = -x-2 当x= 时，原式= - -2=- 例2 (2) 求多项式3a+abc- c2-3a+ c2的值，其中a= -b=2，c=-3. 解：(2) 3a+abc- c2-3a+ c2 = (3-3) a+abc+(- + ) c2 = abc 当a= -b=2，c=-3时，原式= (- ×2×(-3)=1 请你把字母的值直接代入原式求值，与例2的运算过程比较，哪种方法更简便? 以(1)为例： 2x2-5x+x2+4x-3x2-2 =2×()2-5× +() 2+4×-3×()2-2 =2× - + +2-3× -2 = - + +2- -2 =- 通过比较可以看出，先化简再求值的方法更简便. · 针对练习 1.当x=2025时，3x2+x-4x2-2x+x2+2024的值为 . 2.求多项式a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b的值，其中a=0.1，b=0.01. 解：(2) 原式=(a2b-3a2b+2a2b)+(-6ab+5ab) =(1-3+2)a2b+(-6+5)ab =-ab 当a=0.1，b=0.01时，原式=-0.1×0.01=-0.001. · 典例解析 例3 (1)水库水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2cm；第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5cm.这两天水位总的变化情况如何? 解：把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是-2a cm，第二天水位的变化量是0.5a cm.由 -2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a 可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm. 例3 (2)某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg.上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克? 解：把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是-3x kg，下午大米质量的变化量是4x kg.由 5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x 可知，进货后这个商店有大米6x kg. · 考点解析 例 七年级有三个班参加了植树活动，其中一班植树x棵，二班植树棵数比一班的2倍少5，三班植树棵数比一班的一半多10.这三个班一共植树多少棵？ 解：根据题意，得：二班植树(2x-5)棵，三班植树(x+10)棵，所以这三个班一共植树(单位：棵) x+2x-5+ x+10 = (1+2+ )x+ (-5+10) = x+ 5 （四）课堂练习 1.合并下列各式的同类项： (1)5x+4x； (2) y- y+2y； (3)-7ab+6ab； (4)10y2-0.5y2； (5)mn2+3mn2； (6)-3x2y+3xy2+2x2y-2xy2. 解：(1) 9x； (2) y； (3) -ab； (4) 9.5y2； (5) 4mn2； (6)-x2y+xy2. 2.先化简，再求值： (1) 3a+2b-5a-b，其中a=-2，b=1； (2) 3x-4x2+7-3x+2x2 +1，其中x=-3. 点拨：式子中含有同类项，要先化简，再求值。 解：(1) 3a+2b-5a-b =(3-5)a+(2-1)b =-2a+b 当a=-2，b=1时， 原式=-2 ×(-2)+1=5 (2) 3x-4x2+7-3x+2x2 +1 =(3-3)x+(-4+2) x2+7+1 =-2x2+8 当x=-3时， 原式=-2×(-3) 2+8=-18+8=-10. 3.如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的，求阴影部分的面积. 点拔：圆的面积公式为S=πr2. 解：阴影部分的面积=πR2- πR2= πR2 （五）随堂检测 1．下列选项中，与xy2是同类项的是(　　) A．－2xy2 B．2x2y　　 C．xy　　 D．x2y2 2．下列计算正确的是(　　) A．3a＋4b＝7ab B．13xy－13yx＝0 C．5x2＋3x3＝8x5 D．4x2y－5y2x＝－xy 3．已知多项式ax＋bx合并后的结果是0，则下列说法正确的是(　　) A．a＝b＝0 B．a＝b＝x＝0 C．a＋b＝0或x＝0 D．a－b＝0 4．设M，N都是关于x的五次多项式，则M＋N是(　　) A．十次多项式 B．五次多项式 C．次数可能大于5 D．可能为单项式，次数不大于5 5．若3xm＋5y2与x3yn的和是单项式，则mn＝_______． 3xm＋5y2与x3yn是同类项→m+5=3，n=2→m=-2→mn＝4 6．把(a－b)看成一个字母，合并同类项8(a－b)2－7(a－b)＋(a－b)2－5(a－b)的结果为____________________． 8(a－b)2－7(a－b)＋(a－b)2－5(a－b) ＝[8(a－b)2＋(a－b)2]＋[－7(a－b) －5(a－b)] ＝9(a－b)2－12(a－b) 7. 已知关于x，y的多项式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-2的值与字母x的取值无关，求a，b的值. 解：2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-2 =(2-2b)x2+(a+3)x+(-1-5)y+(6-2) =(2-2b)x2+(a+3)x-6y+4 因为多项式的值与x的取值无关 所以2-2b=0，a+3=0， 所以a=-3，b=1. 8.有这样一道题:“当x=，y=2025时，求多项式7x3-6x3y+3x2y+3x3+6x3y-3x2y-10x3+3的值.”小聪同学说:“就算不给出x=，y=2,025，也能求出多项式的值.”他的说法有道理吗？请说明理由. 解：有道理.理由如下： 原式=(7+3-10)x3+(-6+6)x3y+(3-3)x2y+3 =3 该多项式的值与x，y的取值无关，所以小聪同学的说法有道理. （六）课堂小结 （七）教学反思 参考答案 （一）新知探究 归纳 1．相同 相同字母的指数 2．常数项 探究 答案：7 3 －4 思考： 1．所含字母相同，相同字母的指数也相同(同类项)． 2．把同类项的系数相加，相同字母及指数不变． 归纳总结 1．同类项 2．和 不变 （二）例题解析 例1．解：(1)－8a2b+3a2b+6ab2－2ab2 =(－8+3)a2b+(6－2)ab2 =－5a2b+4ab2 (2)3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5 =3x2y+5x2y－4xy2+2xy2+5－3 =(3+5)x2y+(－4+2)xy2+(5－3) =8x2y－2xy2+2. 例2．解：x4－5x2+2x3－x4+5x2－2x3+2x－1 =(x4－x4)+(－5x2+5x2)+(2x3－2x3)+2x－1 =2x－1， 当x=2 022时，原式=2×2 022－1=4 043. 变式训练 1．解：(1)原式＝－2x3－9x2－8x＋1＝－67 (2)原式＝2x2－xy＋10y2＝16 2．解：－ax2－2bxy＋x2－x－2xy＋y ＝(1－a)x2＋(－2b－2)·xy－x＋y， 因为多项式中不含二次项， 所以1－a＝0，－2b－2＝0， 则a＝1，b＝－1， 因此5a－8b＝13 （三）当堂练习 1．A 2．B 3．C 4．D 5．4 6．9(a－b)2－12(a－b) 7． 学科网（北京）股份有限公司 $$