专题02 一元二次函数、方程和不等式（三大模块+章末仿真测试卷）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式（三大模块+章末仿真测试卷） 模块一：等式与不等式 1．若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 6．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 7．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 模块二：基本不等式 8．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 10．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 12．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 13．已知正数x，y满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 15．已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 16．已知，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 17．若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（     ） A． B． C． D． 18．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 19．若，且，则的最小值是 . 20．命题“，”为真命题，则a的取值范围为 ． 21．已知正数a，b满足2a+b＝1， (1)求ab的最大值. (2)求的最小值. 22．（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 23．（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 模块三：二次函数与一元二次方程、不等式 24．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 25．不等式的解集为 . 26．不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 27．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 29．二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 30．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 31．若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 32．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 33．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 34．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 35．已知函数，且不等式的解集中有且仅有两个正整数，若关于的不等式的解集是，则的最大值为 . 36．已知命题：存在实数，使成立. （1）若命题为真命题，则实数的取值范围是 ； （2）命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 一、单选题 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a和，其全程的平均速度为v，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 8．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B．a3+b3a2b+b2a C． D． 11．下列说法错误的是（    ） A．命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立” B．已知，，则 C．“成立”是“成立”的充要条件 D．关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 三、填空题 12．已知，，判断a，b大小关系 .（填“>、=、<”） 13．实数x，y满足，，那么的取值范围是 14．若，且，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知集合A=，B= （1）若m=3，求A∪B； （2）设全集为R，若BCRA，求实数m的取值范围. 16．已知a，b为正实数且，求下列式子的最值 (1)求的最大值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 17．某公司有两款产品，根据市场调研，最近30天产品每日收入（单位：万元）与时间（单位：天）的函数为：；产品每日收入（单位：万元）与时间（单位：天）的函数为：.数据显示，在第30天产品的当日收入之和为32万元. (1)从第几天开始产品的日收入超过产品？ (2)在第几天产品的总日收入最多？最多是多少万元？ 18．求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式（三大模块+章末仿真测试卷） 模块一：等式与不等式 1．若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质依次分析选项即可求解. 【解析】对于A，B，取，，则，，故A，B错误； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，取，则，故D错误； 故选：C 2．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【解析】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 3．设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，B，C，通过取特殊值，即可判断出正误；选项B，利用不等式的性质，结合条件，即可判断出正误. 【解析】对于选项A，取，显然满足，但，所以选项A错误， 对于选项B，因为，由不等式的性质知，所以选项B正确， 对于选项C，取，显然满足，但，此时，所以选项C错误， 对于选项D，取，显然满足，此时，所以选项D错误， 故选B. 4．已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质比较大小即可. 【解析】由可得，所以. 故选：A 5．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 【答案】D 【分析】根据题意结合不等式的性质逐项分析判断即可． 【解析】对于A：若，，则，则，故A错误； 对于B：若，，例如， 则，故B错误； 对于C：若，可得， 则，无法得出，故C错误； 对于D：若，则， 可得，则， 所以，故D正确． 故选：D． 6．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论. 【解析】由,得, 因为, 移项得, 所以, 可得, 由,得, 可得, 可得. 综上所述,不等式成立, 故选:D. 7．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【解析】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 模块二：基本不等式 8．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用基本不等式和特殊值验证对选项逐一判断正误即可. 【解析】因为，则由基本不等式，即，故A错误，D正确； 取，则，故B错误； 取，则，，故C错误. 故选：D. 9．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【解析】因为，，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 10．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 11．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【解析】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 12．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 13．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【解析】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 14．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为. 【解析】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 15．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【解析】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 16．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【解析】由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 17．若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【解析】，， 由基本不等式得，即， 解得. 故选：D 18．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【答案】 2 1 【分析】现将函数进行配凑，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】因为,所以, 所以， 当且仅当, 即时等号成立， 所以. 故答案为：. 19．若，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】变形得到，由基本不等式求出最值. 【解析】因为，则由可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为：. 20．命题“，”为真命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解. 【解析】由题，命题“，”为真命题，即， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以，所以， 故答案为: . 21．已知正数a，b满足2a+b＝1， (1)求ab的最大值. (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）直接利用基本不等式求解； （2）利用”１“的代换得出定值，然后结合基本不等式得最小值． 【解析】（1）∵a，b为正实数， ∴，当且仅当2a＝b且2a+b＝1时等号成立，∴ab的最大值为. （2）∵， 当且仅当，时等号成立， ∴的最小值为8． 22．（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 【答案】（1）12；（2）；（3）6；（4）. 【分析】对于（1），用配凑法及基本不等式的变形即可求解最大值；对于（2）可以先用换元的方法进行化简，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；对于（3）直接利用基本不等式的变形，然后解不等式即可；对于（4）将变成，然后用两次基本不等式求解即可求解最大值. 【解析】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12. （2）, 令,则 则可化为 , 当且仅当,即时等号成立, 的最小值为. （3）， 即， 解得或(舍), 当且仅当且， 即时等号武立， 的最小值为6. （4）正数满足， , 即, , ， ， 当且仅当且, 即时等号成立, 故的最大值为. 23．（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明； （2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明. 【解析】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 模块三：二次函数与一元二次方程、不等式 24．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为，即可求解. 【解析】由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：C 25．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式等价于，即，求解后再检验即可. 【解析】不等式等价于， 即，即， 即为，解得， 经检验是不等式的解集. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 26．不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解的特征即可求解. 【解析】由可得， 解得或， 故不等式的解为或， 故选：B 27．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得对任意恒成立，分离参数得，即，求出的最大值，继而即可求解. 【解析】不等式的解集为， 即对任意恒成立， 所以对任意恒成立，即， ， . 故选：. 28．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【解析】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 29．二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象数形结合得出解集. 【解析】根据函数的图象可得的解集为. 故选：B. 30．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据给定的图象用表示，再代入不等式求解即得. 【解析】由题图知，1和2是方程的两个根，且，则， 即，因此不等式为，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 31．若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 【答案】 【分析】由命题的否定转化为能成立问题，利用分离参数法和基本不等式即可求解. 【解析】由题知命题的否定“”是真命题． 即，即，其中， 因为，当且仅当时等号成立，则 故实数的最大值为 故答案为：. 32．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】利用可以得到，利用韦达定理可构建关于的方程，解方程即可求解. 【解析】由是关于的方程的两个实数根， 则，， 因为，故，即， 所以， 化简得， 解得或 故答案为：或. 33．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为： 34．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【解析】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 35．已知函数，且不等式的解集中有且仅有两个正整数，若关于的不等式的解集是，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】先利用已知求得的范围，再结合方程与不等式的关系，韦达定理及基本不等式即可求解. 【解析】因为，所以， 又因为有且仅有两个正整数解，所以两个正整数解为1和2， 所以，即，所以． 因为，即， 因为不等式的解集为， 所以为的两根， 所以， 所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为4． 故答案为：4． 36．已知命题：存在实数，使成立. （1）若命题为真命题，则实数的取值范围是 ； （2）命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）利用一元二次不等式能成立问题求解即可； （2）利用对勾函数的单调性求得为真的条件，进而得到关于的不等式组，从而得解. 【解析】（1）因为命题：存在实数，使成立， 所以，解得或， 故实数的取值范围为； （2）因为命题：对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 如果是假命题，则；如果是真命题，则； 所以，即实数的取值范围. 故答案为：； 一、单选题 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合特值，排除法得到正确选项；作差比较法或利用不等式的性质分析也可以解决问题. 【解析】法一：已知，， 令，，，， 则，，，故A项不正确； 又，，，故B项不正确； 而，故C项也不正确； 所以排除ABC. 法二：在两边同除以负数得，与A项矛盾； ，与B项矛盾； 由，又，， 故不一定小于，故C项不正确； 由得，，又，两式相乘得， 两边同除以负数可得，，故D项正确. 故选：D. 2．的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【解析】解不等式可得或， 因为或， 故只有C选项中的条件才是“”的充分不必要条件. 故选：C. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，并注意分母不等于0. 【解析】不等式等价于即所以，所以原不等式的解集为. 故选:A. 4．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a和，其全程的平均速度为v，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，求得，结合基本不等式即可比较大小. 【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为， ，故D正确； ，由基本不等式可得， ，故C错误； 又，故B正确； ， ，则，故A正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得，本题考查利用基本不等式比较大小，属中档题. 5．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得：，则，将不等式两边同时乘以即可求解. 【解析】因为，所以，则有， 将不等式的两边同时乘以可得：， 所以， 故选：. 6．若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先把转化为，再将，根据基本不等式即可求出． 【解析】，且， ， ， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为， 故选：D． 7．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】B 【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误. 【解析】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误； 由题得，所以为.所以选项B正确； 设，则，所以选项C错误； 不等式为，所以选项D错误. 故选：B 8．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围. 【解析】解不等式，得或 解方程，得， （1）当，即时，不等式的解为： 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； （2）当，即时，不等式的解为： 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； 综上，可知的取值范围为 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解一元二次不等式及分类讨论解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题. 二、多选题 9．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】使用基本不等式、的代换等方法一一判别即可. 【解析】对A，因为，所以即， 当且仅当时等号成立，A正确； 对B，因为，所以， 结合A选项有，故， 当且仅当时等号成立，B不正确； 对C，因为，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对D，， 由A选项有，则，所以，D正确. 故选：ACD. 10．若，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B．a3+b3a2b+b2a C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论，不等式的性质及对勾函数单调性分别检验各选项即可判断． 【解析】对A：当a＞0，b＞0时，，当且仅当a＝b时取等号，A正确； 对B：a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，故a3+b3≥a2b+b2a，B正确； 对C：，故，C错误； 对D：令，又在上单调递增， 且当时，，故，D正确． 下证在上单调递增： 在上任取，则， 因为，故，故，即， 故在上单调递增. 故选：ABD． 11．下列说法错误的是（    ） A．命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立” B．已知，，则 C．“成立”是“成立”的充要条件 D．关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 【答案】AD 【分析】A.利用存在命题的否定式全称命题，并否定结论来判断； B.利用不等式的性质判断； C.根据充分性和必要性的概念来判断； D.利用判别式和韦达定理来判断. 【解析】A.命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”，A错误； B.，则，又，根据不等式的性质，两式相加得，可推出，B正确； C.由得，对于，有当时，，故“成立”是“成立”的充要条件，C正确； D.关于x的方程有一个正根，一个负根，则，解得，D错误. 故选：AD. 三、填空题 12．已知，，判断a，b大小关系 .（填“>、=、<”） 【答案】 【分析】运用估算法进行求解即可. 【解析】因为，所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为： 13．实数x，y满足，，那么的取值范围是 【答案】 【分析】结合已知条件，利用不等式的性质可求的取值范围. 【解析】解：令，，则，， 由已知可得，， 则，，， 故答案为：. 14．若，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式求解. 【解析】原式 ， 当，且时取等, 故答案为: . 四、解答题 15．已知集合A=，B= （1）若m=3，求A∪B； （2）设全集为R，若BCRA，求实数m的取值范围. 【答案】（1）A∪B；（2）. 【分析】（1）先求出集合A,B,再求A∪B得解；（2）先求出或，再对m分类讨论得解. 【解析】（1）m=3时，B=， A=， 所以A∪B. （2）由题得或， B=， 当m=5时，B=满足已知. 当时，，满足已知. 当时，，，所以. 综上，. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．已知a，b为正实数且，求下列式子的最值 (1)求的最大值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）利用不等式计算即可； （2）根据基本不等式“1”的用法，将小问中分母与构造为相乘可约的形式； （3）根据化简式子，再根据不等式求出最小值. 【解析】（1） 当且仅当取到最大值 （2） 当且仅当，时取到最小值 （3） 当且仅当时取到最小值9 17．某公司有两款产品，根据市场调研，最近30天产品每日收入（单位：万元）与时间（单位：天）的函数为：；产品每日收入（单位：万元）与时间（单位：天）的函数为：.数据显示，在第30天产品的当日收入之和为32万元. (1)从第几天开始产品的日收入超过产品？ (2)在第几天产品的总日收入最多？最多是多少万元？ 【答案】(1)从第21天起的每日收入会超过产品 (2)第天产品的总日收入最多,最多是万元 【分析】（1）根据题意求a的值，并列不等式，运算求解；（2）根据题意结合二次函数分析运算. 【解析】（1）∵，∴， 令，则，解得或（负根舍去）， 所以从第21天起的每日收入会超过产品. （2）的总日收入， 记，则， 故，则， ∵的对称轴为， 当时，，当时，， ∴当时，取到最大值为. 18．求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【解析】（1）解：由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 【答案】(1)“上位点”，“下位点”（答案不唯一） (2)“下位点”，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）依题意可得，从而得到，即可得解. 【解析】（1）因为， 根据题设中的定义可得点的一个 “上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和， 即“上位点”，“下位点”（答案不唯一）； （2）点是点的“下位点”. 证明：点是点的“上位点”，     ， 又均大于，      ，       ， ，即， 所以点是点的“下位点”. （3）若点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”； 即； 所以对任意的都有， ， 所以当时，对任意的存在， 使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$