专题03 2.5直线与圆的位置关系（七大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题03 2.5直线与圆的位置关系（七大模块） 目录： 模块1：判断直线与圆的位置关系及应用 模块2：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅰ） 模块3：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅱ） 模块4：三角形的内切圆 模块5：三角形的内心有关的应用 模块6：内切圆与外接圆综合 模块7：解答综合题 模块1：判断直线与圆的位置关系及应用 1．已如的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 3．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，若的半径为6，点到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（　　）      A． B． C． D． 模块2：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅰ） 5．如图，是的直径，，是的切线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，的直径与弦的夹角为25°，过点C的切线与的延长线交于P，则的度数为（    ）°． A．25 B．30 C．35 D．40 8．如图，是的直径，弦平分，过点D作的切线交于点E，若，则 ． 9．如图，P为外一点，与相切于点T，则的半径为 ．    10．如图，是切线，为切点，与交于点，，则度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 12．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ） A．23° B．44° C．46° D．57° 13．如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 14．如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是（    ） A． B． C． D． 模块3：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅱ） 15．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好与相切于点D，连接，若，，则的长为（　　） A．6 B．4.5 C．3 D．2 16．如图，在中，与分别切于点，连接．则的度数为 ． 17．如图， 为的直径， 为的切线，，则的度数为 ． 18．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝40°，则∠ABO的度数为（     ） A．10° B．20° C．30° D．40° 19．如图，为的切线，切点为A， 交于点C，点D在上，若，则 ． 20．如图，是外一点，是的切线，为切点，与相交于点，已知，为上一点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．如图，是的切线，切点为，连接与交于点，点为上一点，连接，．若，则的度数为 ．    22．如图，为的内接三角形，为的直径，切于点B，交的延长线于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，，则的度数为 ． 模块4：三角形的内切圆 24．如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    25．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8、BD=6，则菱形ABCD的内切圆半径为 ． 26．如图，在中，已知，，，是的内切圆，点E、F、D分别为切点，则的长为 ． 模块5：三角形的内心有关的应用 27．如图，在直角三角形中，，，，点为的内心，点为斜边的中点，则的长为 ． 28．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 29．如图，在中，，Ⅰ是的内心，连接并延长至点，使．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 30．如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 31．如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图所示，内切于，切点分别为点，点，点，已知，，连接，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 33．点I为的内心，连交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（    ） A．5 B． C．4 D． 模块6：内切圆与外接圆综合 34．已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．    35．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，B，C，D均在小正方形的顶点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过B，C，D三点的圆的半径为 ． 36．如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 37．如图，在中，，当半径为1的在内自由移动时，圆心在内所能到达的区域面积为6，则的外接圆面积为 ． 模块7：解答综合题 38．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 39．如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 40．如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为1，，求的长． 41．如图，是直径，为上一点，平分交于点，过作的垂线交的延长线于点．求证：为的切线． 42．如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 43．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 44．已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 45．在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 46．如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 2.5直线与圆的位置关系（七大模块） 目录： 模块1：判断直线与圆的位置关系及应用 模块2：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅰ） 模块3：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅱ） 模块4：三角形的内切圆 模块5：三角形的内心有关的应用 模块6：内切圆与外接圆综合 模块7：解答综合题 模块1：判断直线与圆的位置关系及应用 1．已如的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据点到直线的距离与半径之间的大小关系，进行判断即可． 【解析】解：∵的直径为，点到直线的距离为， ∴的半径为， ∵， ∴与的位置关系是相离； 故选A． 2．已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．根据点到直线的距离与圆的半径大小作比较即可． 【解析】解：∵点到直线的距离为，且的半径为， ∴点到直线的距离等于的半径， ∴直线与的位置关系是相切， 故选：A． 3．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可． 【解析】解：∵直线l与圆有公共点， ∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 4．如图，若的半径为6，点到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（　　）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可． 【解析】解：∵的半径为6，点O到某条直线的距离为6， ∴这条直线与圆相切， ∴这条直线可能是； 故选：B． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记：当的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交，②直线l和相切，③直线l和相离． 模块2：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅰ） 5．如图，是的直径，，是的切线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可知，结合即可获得答案． 【解析】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理以及直角三角形两锐角互余，理解并掌握切点的性质定理是解题关键． 6．如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据切线的性质作答即可． 【解析】解：∵，是的两条切线，A，B是切点， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，即切线与半径成角． 7．如图，的直径与弦的夹角为25°，过点C的切线与的延长线交于P，则的度数为（    ）°． A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【分析】连接OC，证明，利用，求出，即可求出． 【解析】解：连接OC， ∵PC切⊙O与点C， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查圆周角定理，切线性质，解题的关键是求出，． 8．如图，是的直径，弦平分，过点D作的切线交于点E，若，则 ． 【答案】67 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【解析】连接， ∵过点D作的切线交于点E， ∴， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，P为外一点，与相切于点T，则的半径为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【解析】解：如图，与相切于点T， 故答案为：5． 10．如图，是切线，为切点，与交于点，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，根据是切线，可得，结合即可求解． 【解析】解：是切线， ， ， ． 故选B． 11．如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，结合题意，即可求得的周长． 【解析】是的切线， ． 的周长 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理，理解切线长定理是解题的关键． 12．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ） A．23° B．44° C．46° D．57° 【答案】B 【分析】连接，由切线的性质可得由圆周角定理可求得的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案． 【解析】解：连接，如图， 为的切线， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键． 13．如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可． 【解析】、分别切于、， ，， ， 、分别切于、，切于， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理，掌握圆的切线垂直经过切点的半径以及切线长定理是解题的关键． 14．如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理．连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出，得到答案． 【解析】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 故选：A． 模块3：利用切线的性质、切线长定理求解（Ⅱ） 15．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好与相切于点D，连接，若，，则的长为（　　） A．6 B．4.5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了由圆的切线定理，直角三角形两锐角互余以及含直角三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 连接，由圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质可得出，进一步可得出，再利用含直角三角形的性质可得出答案． 【解析】解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 16．如图，在中，与分别切于点，连接．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可求出的度数，根据切线的性质可得，可求出的度数，由此即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵与分别切于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图， 为的直径， 为的切线，，则的度数为 ． 【答案】/56度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，先根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据，求出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可． 【解析】解：∵ 为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ 为的切线， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 18．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝40°，则∠ABO的度数为（     ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【解析】∵AB为圆O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°， ∵∠ADC＝40°， ∴∠AOB＝2∠ADC＝80°， ∴∠ABO＝90°−80°＝10°． 故选：A． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 19．如图，为的切线，切点为A， 交于点C，点D在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理．熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 由题意知，，则，由圆周角定理可得，计算求解即可． 【解析】解：∵为的切线，切点为A， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．如图，是外一点，是的切线，为切点，与相交于点，已知，为上一点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理，根据切线的性质可得：， 利用圆周角定理可得是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， 故选C． 21．如图，是的切线，切点为，连接与交于点，点为上一点，连接，．若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，切线的性质等知识点．连接，由切线的性质得出，由圆周角定理可得出答案． 【解析】解：连接，   为的切线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22．如图，为的内接三角形，为的直径，切于点B，交的延长线于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，连接，根据切线的性质，推出，等边对等角，得到，求出的度数，利用外角的性质，求出的度数即可． 【解析】解：连接， ∵切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选D． 23．如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，，则的度数为 ． 【答案】70度/ 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是根据切线的性质求出，然后根据三角形外角的性质求出，最后根据圆周角定理求出结果即可． 【解析】解：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：度． 模块4：三角形的内切圆 24．如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，掌握内切圆与内心和勾股定理是解题的关键． 【解析】解：设与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，    ∴，，，， 由勾股定理得，， ∴， 即， 解得，即的半径为， 故答案为：． 25．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8、BD=6，则菱形ABCD的内切圆半径为 ． 【答案】/2.4 【分析】根据菱形的性质，可得AC⊥BD， ，再由勾股定理可得，然后设菱形ABCD的内切圆半径为r，根据三角形的面积，即可求解． 【解析】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ， ∵AC=8、BD=6， ∴AO=4，DO=3， ∴ ， 设菱形ABCD的内切圆半径为r， ∴ ， ∵， ∴ ，解得： ， 即菱形ABCD的内切圆半径为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，内切圆，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 26．如图，在中，已知，，，是的内切圆，点E、F、D分别为切点，则的长为 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理求得，再根据三角形的内切圆性质证得四边形是正方形，再利用等面积法求得、，再利用勾股定理求解即可． 【解析】解：∵，，， ∴， ∵是的内切圆，点E、F、D分别为切点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 连接，， ∵， ∴， 解得：，则， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、正方形的判定与性质、勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的内切圆和正方形的判定与性质，作辅助线，利用等面积法求解是解答的关键． 模块5：三角形的内心有关的应用 27．如图，在直角三角形中，，，，点为的内心，点为斜边的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据三角形内切圆的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据线段的和差可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式可得，据此在中，利用勾股定理即可得． 【解析】如图，设内切圆与的切点分别为点，连接， 则， 在中，， ， 点为斜边的中点， ， 设，则， ， ， ，解得， ， ， ，即， 解得， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键． 28．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【解析】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 29．如图，在中，，Ⅰ是的内心，连接并延长至点，使．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意连接，利用内心性质可知，再利用等腰三角形性质得，利用外角和定理即可得到本题答案． 【解析】解：连接，   ， ∵在中，，Ⅰ是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查内心定义，角平分线性质，等腰三角形性质，外角和定理等． 30．如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【解析】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形，    由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：D． 31．如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心与内心，三角形内角和定理，圆周定理，连接，，由点是的内心，，结合三角形内角和定理得出，再根据点也是的外心，结合圆周角定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：如图，连接，， ，点是的内心，， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 点也是的外心， ， 故选：B． 32．如图所示，内切于，切点分别为点，点，点，已知，，连接，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，连接、，利用切线的性质得到，则根据四边形内角和计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【解析】解：∵， ∴， 而， ∴， 连接、， ∵O内切于，切点分别为点D，点E，    ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质和圆周角定理． 33．点I为的内心，连交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到M，使得，连接．求出，证明是的中位线即可解决问题； 【解析】解：延长到M，使得，连接． ∵I是的内心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 模块6：内切圆与外接圆综合 34．已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．    【答案】5 【分析】连接、、、、、，根据题意得到，即，进而得出，即可求解． 【解析】解：如图，连接、、、、、，    ∵的内切圆半径，、、为切点，，   ，   ，   ， ，   ，   ，   ，， 即，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查圆的外接三角形，等腰三角形的性质，圆的切线定理，准确作出辅助线是解题的关键． 35．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，B，C，D均在小正方形的顶点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过B，C，D三点的圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据直角坐标系找到BC、CD的垂直平分线，交点即为圆心A点，再根据勾股定理即可求出半径的长． 【解析】如图，作BC、CD的垂直平分线交于A点 故A点是B，C，D三点的圆的圆心 故半径为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查直角坐标系与圆的应用，解题的关键是根据直角坐标系找到圆心的位置． 36．如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【解析】解：连接交于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 37．如图，在中，，当半径为1的在内自由移动时，圆心在内所能到达的区域面积为6，则的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】先判断出是直角三角形，进而判断出的面积是6，再判断出，进而求出的三边，再用切线长定理得出，，，最后用，求出，，进而求出，，即可得出结论． 【解析】解：如图，， 设，，， ， 是直角三角形，且， 由题意，，，和的两边相切，此时，点所能到达的区域是，连接、、， 圆心在内所能到达的区域的面积为6， ， ，，， ，， ， ， 设，则，， ， 或（舍， ，，， 设切点分别为、、、、、， 连接、、、、、， 得矩形、矩形、矩形， ，，， 根据切线长定理四边形是正方形， ， 根据切线长定理， 设，， 则， ， ， ， ， 解得，， ，，， ， 的外接圆的半径， 的外接圆面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，切线长定理，求出，是解本题的关键． 模块7：解答综合题 38．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可． 【解析】解：∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 39．如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 【答案】65°． 【分析】根据切线的性质得到∠OAC=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠B=25°，进一步计算即可求解． 【解析】解：∵AC为⊙O的切线， ∴∠OAC=90°． ∵OA=OB，∠B=25°， ∴∠OAB=∠B=25°． ∴∠BAC=∠OAC-∠OAB =90°-25° =65°． 【点睛】本题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 40．如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为1，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求． （2）设，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解析】解：（1）如图，直线即为所求． （2）连接，． 是的内切圆，，，是切点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，设， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 41．如图，是直径，为上一点，平分交于点，过作的垂线交的延长线于点．求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可． 【解析】证明：连接， 平分， ， ， ， ， ，又， ，又为的半径， 为的切线． 42．如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)与相切，理由见详解 【分析】(1)首先利用角平分线的作法得出，进而以点O为圆心，为半径作即可； (2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可． 此题考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键. 【解析】（1）解：如图所示： （2）解：相切；过O点作于D点； 平分， ，即， 与直线相切． 43．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明； （2）根据，的半径为2，求出，进而求出． 【解析】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， 44．已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。 【解析】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 在和中， ， 。 （2）平分， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ， ，， 设，， 由勾股定理得：，， ，， ，即：， 解得：， 为直径， 的半径为。 45．在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)； (2)半径为4 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【解析】（1）解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． （2）如图：连接，   直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 46．如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图①，连接，由菱形，可得，，由是的外接圆，可得，则是线段的垂直平分线，即，由，可知三点共线，进而结论得证； （2）如图②，连接，证明是等边三角形，，，同理（1）可知，是线段的垂直平分线，则，，即，进而结论得证； （3）由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，进而可知当时，与菱形的边有五个公共点． 【解析】（1）证明：如图①，连接， ∵菱形， ∴，， ∵是的外接圆， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即， ∵， ∴三点共线，即圆心O在直线上； （2）证明：如图②，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 同理（1）可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴与相切； （3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点， 当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点， ∴当时，与菱形的边有五个公共点， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$