特训09 直线与圆的位置关系 解答题（五大模块,江苏精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训09 直线与圆的位置关系 解答题（五大模块,江苏精选） 目录： 模块1：基础+重点 模块2：作图题（含坐标系） 模块3：压轴过渡题 模块4：压轴题—在平面直角坐标系中的应用 模块5：压轴题—直线与圆的位置关系几何综合 模块1：基础+重点 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由．    2．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是的切线． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．求的度数．    4．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，⊙D经过点和点B且与边相交于点E． (1)求证：是⊙D的切线； (2)若，求⊙D的半径． 5．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为P．过点D作的切线与AB的延长线交于点E．若，求的度数． 6．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 7．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点D，与交于点E．连接，．作，与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求的度数． 8．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 模块2：作图题（含坐标系） 9．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，．    (1)在上取一点，以为圆心作与线段，均相切．利用无刻度直尺和圆规按上述要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 10．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以AB为直径的与BC交于点D，连接AD． (1)若与AC相切，求的度数； (2)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E(不写作法，保留作图痕迹)． 11．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题∶    (1)在单位长度为1的正方形网格中标出该圆弧所在圆的圆心； (2)请在(1)的基础上，完成下面问题∶ ①的半径为 ；   ②判断直线与的位置关系，并说明理由． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点．    (1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)圆心M的坐标为_______； (3)点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 模块3：压轴过渡题 13．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的直径，是上一点，连接，，交于，过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，直接写出线段的长． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求圆的半径． 15．（21-22九年级上·江苏·期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线． (1)求证：AD是O的切线． (2)若O的半径为4，，求平行四边形OAEC的面积． 16．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD＝8，EB＝4，求⊙O的直径． 17．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 18．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，平分，与相交于点F，延长到点E，使． (1)判断与圆O的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 19．（21-22九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，D为边上的一点以为直径的交于点E，过点C作，垂足为G，交于点F，过点E作，垂足为P，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求四边形的面积． 20．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知中， ，以为直径的⊙O交 于点D，过D作 ，垂足为E，连结， ， ． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若以、的长为方程两个实数根，求b的值； (3)求图中以线段、和弧所围成图形的面积． 模块4：压轴题—在平面直角坐标系中的应用 21．（2024·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的关联直线．例如，点的关联直线为． (1)已知点，若与点的关联直线相切，求的半径： (2)已知点，点．点为直线上的动点．求点到点的关联直线的距离的最大值． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 23．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点P为线段的融合点． (1)已知，， ①在点，，中，线段的融合点是 ； ②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围； (2)已知⊙O的半径为4，，，直线l过点，记线段关于l的对称线段为．若对于实数a，存在直线l，使得⊙上有的融合点，直接写出a的取值范围． 24．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 模块5：压轴题—直线与圆的位置关系几何综合 25．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 26．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 27．（22-23九年级上·江苏南京·期中）在中，，为的中点，为上的一点，以为圆心，长为半径作． (1)当与相切，且时，则的长为______； (2)直接写出与的交点个数及对应的取值范围． 28．（20-21九年级上·江苏南京·期中）【提出问题】 （1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短． 如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明． 【变式探究】 （2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短． 小明给出下列解答，请你补全小明的解答． 小明的解答 如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN． ∵　　，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON． 又　　，∴OP+PQ＞OM+MN． 又OP＝OM，∴PQ＞MN． 【拓展研究】 （3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　　． 29．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 30．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点．    (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为___________． (2)已知M是内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是___________，最小值是___________； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为___________． 31．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】已知中，，点是的中点．作，分别交、于点、，连接． （1）如图1，若，求证：    ①连接，证明：； ②证明：： （2）如图2，试探索②中的结论在一般情况下是否仍然成立；    【解决问题】（3）如图3，已知中，，，，点是的中点，过、两点的圆分别交边、于点、，连接，则面积的最大值为______．    32．（22-23九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N是线段上一点．对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，我们称点是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．在平面直角坐标系中，已知的半径为2． (1)若点，点N是的中点，点，则点P的“平移点”的坐标是_____，点P的“移对点”Q的坐标是______； (2)如图，点，点N是OM的中点，点．在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若点是上一点，N是线段OM上一点，且，P是外一点，点Q为点P的“移对点”，连接PQ．当点M在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差． 33．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，点是（半径为）上的一点． (1)尺规作图：请你用两种不同方法作的内接等边；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在劣弧上任意取一点，连接、、，请你直接写出、、之间的数量关系______； (3)等边的三个顶点将分成三段弧，将这三段弧沿等边的三边向圆内折叠，则这三段弧折叠后重合部分的面积为______．（用含的代数式表示） 34．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则___________； (2)如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点； (3)如图4，，，，是上的四个点，，，求的值． 35．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 直线与圆的位置关系 解答题（五大模块,江苏精选） 目录： 模块1：基础+重点 模块2：作图题（含坐标系） 模块3：压轴过渡题 模块4：压轴题—在平面直角坐标系中的应用 模块5：压轴题—直线与圆的位置关系几何综合 模块1：基础+重点 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由．    【答案】相切，见解析 【分析】本题主要考查切线的判定定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【解析】解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 2．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是的切线． 【答案】见解析 【分析】连接OD，如图，根据等腰三角形的性质，由得，由得，则，于是根据平行线的判定得到，加上，所以，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【解析】证明：连接OD，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴直线DE是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．求的度数．    【答案】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质．根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠，求出，根据切线性质求出是解题的关键． 【解析】解：∵切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 4．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，⊙D经过点和点B且与边相交于点E． (1)求证：是⊙D的切线； (2)若，求⊙D的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1 ）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是⊙D的切线； （2 ）连接，推出是等边三角形，得到，，求得，得到，于是得到结论． 【解析】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆D的半径， ∴是⊙D的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴⊙D的半径． 故答案是2． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为P．过点D作的切线与AB的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据垂径定理，得到，再根据圆周角定理和切线的性质定理，利用直角三角形两锐角互余即可得解． 【解析】解：连接， ∵AB是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，以及直角三角形两锐角互余．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径． 【解析】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 7．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点D，与交于点E．连接，．作，与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、切线的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接．先得出，进而得出，则，即可得出，即可得出结论； （2）连接，先推出，得出，再根据，得出，则，即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， 在平行四边形中 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 8．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等，得出，根据等边对等角，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论； （2）根据勾股定理，得出，进而得出，设圆的半径为，则，，再根据勾股定理，即可求出的半径． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵交的延长线于点， ∴点，在圆上， ∴，且是圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∵中，， ∴在中，， ∴，即，且点在圆上， ∴是的切线． （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，设圆的半径为， ∴，且， ∴，即，解得，， 故的半径为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合运用，涉及等边对等角、对顶角相等、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，．    (1)在上取一点，以为圆心作与线段，均相切．利用无刻度直尺和圆规按上述要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作图-复杂作图：涉及角平分线的性质、勾股定理、切线的判定与性质． （1）作的平分线交于O点，则根据角平分线的性质得到O点到的距离等于，然后根据切线的判定方法可判断与边相切； （2）先利用勾股定理得到，再根据切线长定理得到，所以，设的半径为r，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【解析】（1）解：如图，为所作：    （2）解：依题意， ∵，，， ∴在中，， ∵， ∴为的切线， ∵与相切于D， ∴ ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， 即的半径为． 模块2：作图题（含坐标系） 10．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以AB为直径的与BC交于点D，连接AD． (1)若与AC相切，求的度数； (2)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E(不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由过切点的直径垂直于切线可得是等腰直角三角形，即可求得的度数； （2）根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可知，作出的角平分线与的交点即为的中点． 【解析】（1）解：与AC相切，AB为直径， ， ， 是等腰直角三角形 （2）解：如图，作的角平分线交于点，则点即是劣弧的中点 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，掌握相关定理并能灵活运用是解决本题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题∶    (1)在单位长度为1的正方形网格中标出该圆弧所在圆的圆心； (2)请在(1)的基础上，完成下面问题∶ ①的半径为 ；   ②判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②是的切线，理由见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线与的垂直平分线，交于点O，则O点即为的圆心； （2）①在中，利用勾股定理即可求解；②连接，利用勾股定理的逆定理得，进而可求解． 【解析】（1）解：连接，，，作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，交线段的垂直平分线于点， O点即为的圆心， 如图所示，点O即为所求：    （2）①在中，， ， 的半径为：， 故答案为：； ②是的切线，理由如下： 连接，如图：    由①得：, 在中，， ， ，，即：， 是直角三角形，且， ， 是的切线． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、确定圆心及切线的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理及切线的判定是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点．    (1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)圆心M的坐标为_______； (3)点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)相切，理由见详解 【分析】本题考查作图−复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点M． （2）根据图形即可得出点M的坐标． （3）连接，利用勾股定理判定，则直线为的切线． 【解析】（1）解：如图，点M即为所求． （2）解：由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． （3）解：直线与相切． 理由：连接， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线． 模块3：压轴过渡题 13．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的直径，是上一点，连接，，交于，过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得到，由圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，得出，根据切线的性质得到，求得，进而可求证结论． （2）证明是等边三角形，得出，利用切线的性质及勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：连接，如图：    ， ， 是的直径， ， ，由垂径定理得垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 为的切线，是半径， ， ， 即，是的半径， 是的切线． （2）解：在中，， ， 又， 是等边三角形， ， 在中，又为的切线， ，， ， ， ， 在中， . 【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定及性质、垂径定理、等边三角形、勾股定理，掌握切线的判定及勾股定理是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，角平分线定义，等边对等角，直角三角形的性质，勾股定理是求线段长的常用方法． 对于（1），连接，根据角平分线的定义和等边对等角得出，再根据得出，可得结论； 对于（2），设半径为r，则，再根据勾股定理可得答案． 【解析】（1）连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）设的半径为r，可知， 在中，， 即， 解得． 所以的半径是3． 15．（21-22九年级上·江苏·期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线． (1)求证：AD是O的切线． (2)若O的半径为4，，求平行四边形OAEC的面积． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】（1）连接OD，证明，可得，根据切线的性质可得，进而可得，即可证明AD是O的切线； （2）根据平行四边形OAEC的面积等于2倍即可求解． 【解析】（1）证明：连接OD． ∵四边形OAEC是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵AB与相切于点B， ∴， 又∵OD是的半径， ∴AD为的切线． （2）∵ 在Rt△AOD中， ∴平行四边形OABC的面积是 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 16．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD＝8，EB＝4，求⊙O的直径． 【答案】（1）见解析；（2）10 【分析】（1）连接OE，由角平分线的定义可得∠1＝∠2，由OA＝OE，得到∠1＝∠3，则∠2＝∠3，可以推出OE∥AF，再由AF⊥FG，即可得到OE⊥FG，由此即可证明； （2）设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，AB＝CD＝8，然后在Rt△OBE中利用勾股定理求解即可． 【解析】解：（1）证明：连接OE，如图， ∵AE平分∠FAH， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OE， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OE∥AF， ∵AF⊥FG， ∴OE⊥FG， ∴直线FG是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝8， 在Rt△OBE中，OB＝8﹣r，BE＝4，OE＝r， ∴（8﹣r）2+42＝r2，解得r＝5， ∴⊙O的直径为10． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 17．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【解析】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 18．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，平分，与相交于点F，延长到点E，使． (1)判断与圆O的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）证明，由全等三角形性质以及角平分线的定义证明，得到即可得到结论； （2）证明，求出，再根据所对的直角边是斜边的一半求出即可得到答案． 【解析】（1）解：是半圆O的直径， ， ， 在和中， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是半径， 与圆O相切； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 19．（21-22九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，D为边上的一点以为直径的交于点E，过点C作，垂足为G，交于点F，过点E作，垂足为P，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析，（2）45 【分析】（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED＝90°，∠OED＝∠ADE，由余角的性质可得∠DEB+∠OED＝90°，进而可得∠BEO＝90°，可得结论； （2）连接PF，先证四边形CFPE是菱形，可得CF＝EP＝CE＝PF，由“AAS”可证△ACE≌△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理可求CF的长，即可求解． 【解析】证明：（1）连接OE， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ADE， ∵AD是直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠EAD+∠OED＝90°， 又∵∠DEB＝∠EAD， ∴∠DEB+∠OED＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． （2）连接PF， ∵CG＝12，AC＝15， ∴AG＝＝＝9， ∵∠CAE＝∠EAP，∠ACB=90°， CG⊥AB， ∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE， ∴CF＝CE， ∵CE＝EP， ∴CF＝PE， ∵CG⊥AB，EP⊥AB， ∴CF∥EP， ∴四边形CFPE是平行四边形， 又∵CF＝CE， ∴四边形CFPE是菱形， ∴CF＝EP＝CE＝PF， ∵∠CAE＝∠EAP，∠EPA＝∠ACE＝90°，CE＝EP， ∴△ACE≌△APE（AAS）， ∴AP＝AC＝15， ∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6， ∵PF2＝FG2+GP2， ∴CF2＝（12﹣CF）2+36， ∴CF＝（负值舍去）， ∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45． 【点睛】本题考查了圆的综合题，切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知中， ，以为直径的⊙O交 于点D，过D作 ，垂足为E，连结， ， ． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若以、的长为方程两个实数根，求b的值； (3)求图中以线段、和弧所围成图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】连接，，可证得是三角形中位线，进一步得出结论； (2)在正三角形中求得，在直角三角形中求得，根据根与系数的关系求得b的值； (3)根据圆周角定理求出，求出的面积，由（2）求出的长，从而求出的面积，再求出扇形的面积，进而求得结果． 【解析】（1）证明：如图，连接，， ∵是直径， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴是⊙O的切线； （2）解：在中， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，过D作 ， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵、 分别是弧所对的圆周角与圆心角， ∴， ∴ 由（2）得 ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定圆周角定理，扇形面积公式，30°直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有知识． 模块4：压轴题—在平面直角坐标系中的应用 21．（2024·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的关联直线．例如，点的关联直线为． (1)已知点，若与点的关联直线相切，求的半径： (2)已知点，点．点为直线上的动点．求点到点的关联直线的距离的最大值． 【答案】(1)的半径为 (2)点到点的关联直线的距离的最大值为 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，一次函数与几何综合等，正确推出点的关联直线经过定点是解题的关键． （1）根据关联直线的定义得直线，令其与相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于、，先求出、的坐标，进而得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）先求出直线直线的解析式为，设点M的坐标为，则点M的关联直线为，推出点M的关联直线经过定点，进而得到当点与点重合时，最大，即 点到点的关联直线的距离最大，然后利用勾股定理求解即可； 【解析】（1）解：点， 点的关联直线是， 当时，，当时，， 直线与轴的交点，与轴的交点 ，， ， 与点的关联直线相切，令切点为，连接，则， ∴，则， 的半径为； （2）直线过点，， 设直线的解析式为，则，解得：， 直线解析式为 点在直线上， 设点坐标为． 点的关联直线为． 直线过定点，则． 如图所示，过点作直线的垂线，垂足为， 点到直线的距离． ∴当点与点重合时，最大，即 点到点的关联直线的距离最大， 点到点的关联直线的距离的最大值为． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3) (4) 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 【解析】（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点P为线段的融合点． (1)已知，， ①在点，，中，线段的融合点是 ； ②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围； (2)已知⊙O的半径为4，，，直线l过点，记线段关于l的对称线段为．若对于实数a，存在直线l，使得⊙上有的融合点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，弄清定义，根据题意能够确定线段的融合点的轨迹是解题的关键． （1）①分别求出的线段垂直平分线与x轴的交点为，直线的垂直平分线与x轴的交点为，直线的垂直平分线与x轴的交点为，再根据定义判断即可； ②线段的融合点在以A、B为圆心，为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段的融合点； （2）由（1）可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以T为圆心的圆环与圆O有交点，临界情况是圆内含时，当时，a的最大值为，最小值为，当时，a的最大值为，最小值为，由此可求出答案． 【解析】（1）解：①∵，， ∴的线段垂直平分线与x轴的交点为， ∴是线段的融合点； ∵，， 设直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴， 解得， ∴直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴不是线段的融合点； ∵，， 设直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴， 解得， ∴直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴是线段的融合点； 故答案为：，； ②线段的融合点在以A、B为圆心，为半径的圆及内部， ∵，， ∴， 当与圆相切时，或， ∴时，直线上存在线段的融合点； （2）由（1）可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部， ∵，， ∴， ∵⊙O上有的融合点， ∴圆O与圆、有交点， ∴圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以T为圆心的圆环与圆O有交点，临界情况是圆内含时， 当时，a的最大值为， 最小值为， ∴， 当时，a的最大值为，最小值为， ∴， 综上所述：a的取值范围为或． 24．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【解析】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 模块5：压轴题—直线与圆的位置关系几何综合 25．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图①，连接，由菱形，可得，，由是的外接圆，可得，则是线段的垂直平分线，即，由，可知三点共线，进而结论得证； （2）如图②，连接，证明是等边三角形，，，同理（1）可知，是线段的垂直平分线，则，，即，进而结论得证； （3）由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，进而可知当时，与菱形的边有五个公共点． 【解析】（1）证明：如图①，连接， ∵菱形， ∴，， ∵是的外接圆， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即， ∵， ∴三点共线，即圆心O在直线上； （2）证明：如图②，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 同理（1）可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴与相切； （3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点， 当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点， ∴当时，与菱形的边有五个公共点， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）①；（3） 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（I）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考(I)的方法，得出到直线的距离与的关系，然后根据到直线的距离随线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【解析】（1）解：连接，在中，设，则． 在中，， ∴，即．解得． （2）（I）解：过点分别作，连接，    ∵过圆心，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 设，则， 在中， 在中， ∴，即． 解得， ∴，即． （II）过点分别作，连接，如图：    由（I）知：， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵到的距离， 类比平面直角坐标系内的几何意义， ∴的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过作，交于，交于，过作于，作于，连接，过作于，如图：    由（II）知，， 四边形是矩形， 小与相交且与相离， 即 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”、勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”、矩形的性质和判定、圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键． 27．（22-23九年级上·江苏南京·期中）在中，，为的中点，为上的一点，以为圆心，长为半径作． (1)当与相切，且时，则的长为______； (2)直接写出与的交点个数及对应的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，与有2个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有4个交点； 当时，与有5个交点； 当时，与有6个交点； 当时，与有4个交点． 【分析】（1）过点分别作的垂线分别交于点，在等腰中，求得，在中，求得，进而求得，在中，求得，即可求出答案． （2）为定点，为上的动点，且为的半径，可知的最小值和最大值，再分六种情况进行讨论，即可得出答案． 【解析】（1）解：如图所示，过点分别作的垂线分别交于点，连接 在等腰中， 在中，为中点， 且为中点 为中点， 同理可知 在中， 故答案为： （2）解：由（1） 可知，最小为，为定点，为上的动点，且为的半径，可知最长为5， 当时，与有2个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有4个交点； 当与边相切时，当时，与有5个交点； 当时，与有6个交点； 当（点与点重合）时，与有4个交点． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的性质等知识，解题关键是要理解为定点，为上的动点，且为的半径，分类讨论解决动点问题． 28．（20-21九年级上·江苏南京·期中）【提出问题】 （1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短． 如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明． 【变式探究】 （2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短． 小明给出下列解答，请你补全小明的解答． 小明的解答 如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN． ∵　　，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON． 又　　，∴OP+PQ＞OM+MN． 又OP＝OM，∴PQ＞MN． 【拓展研究】 （3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　　． 【答案】（1）见解析；（2）OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；（3）见解析；（4）1≤r＜4． 【分析】（1）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论； （3）作直线l的垂线垂足为P，在垂线上与点A同侧截取PT＝MN＝1，连接AT，作AT的垂直平分线交直线PT于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求； （4）作到直线BC距离为2的直线l，则l∥BC，当P点在AC边上时，此时r最大，作AP的垂直平分线、并过P作l的垂线，与垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长度为半径作圆，设OA＝r，过A作AH⊥OP于点H，AE⊥BC于点E，证明△OAP为等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA＝4，当A、O、P三点共线时，此时r最小，求出r的最小值，即可得⊙O的半径r的取值范围． 【解析】解：（1）证明：在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB， 在△OPB中，PB＞OP﹣OB， ∴PB＞OP﹣OA，即PB＞PA， ∴点A即为⊙O上使P、A两点间距离最短的点； （2）证明：在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ， ∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON， ∴OP+PQ＞ON． 又 ON＝OM+MN， ∴OP+PQ＞OM+MN． 又OP＝OM， ∴PQ＞MN． 故答案为：OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN； （3）作图不唯一，如图： （4）如图，作到直线BC距离为2的直线l，则l∥BC， ∵P点到BC的距离为2， ∴P点在直线l上， 又∵点P为⊙O上到BC的距离最小的点， ∴OP⊥l， ∴点P为⊙O与直线l的切点， ∴圆心O在过点P且垂直于BC的直线上， 当P点在AC边上时，此时r最大，作AP的垂直平分线、并过P作l的垂线，与垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长度为半径作圆，设OA＝r，过A作AH⊥OP于点H，AE⊥BC于点E， ∵AH⊥OH，OH⊥BC． ∴AH∥BC， ∴∠HAP＝∠C＝30°，∠APH＝60°， ∵OA＝OP， ∴△OAP为等边三角形， ∴OA＝AP， ∵AC＝8，∠C＝30°，AE⊥BC，EF＝2， ∴AE＝4，AF＝2， ∵l∥BC， ∴AP＝AC＝4， ∴OA＝4， 即r最大为4， 当A、O、P三点共线时，此时r最小，如图： ∵A、O、P三点共线， ∴AP为⊙O的直径， ∴r＝1， ∵P在△ABC内部， ∴半径的取值范围是1≤r＜4． 故答案为：1≤r＜4． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，切线的性质，三角形三边的关系，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 29．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】(1)4或5秒 (2)存在， (3)①4；② 【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题． （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （3）①设与相切于点，连接，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：，，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，根据，可得，，再求出，根据，即可解决问题． 【解析】（1）解：根据题意得：， ∵的面积等于， ∴， 整理得：， 解得， 即或5秒时，的面积为20． （2）解：如图，连接， 经过点， ， ∵， ， ， 解得或（舍去）， 当时，⊙P经过点． （3）解：①如图，设与相切于点，连接，则， ， ∵为半径，且， ∴，，， ， ， ， ， 时，与相切．     ②由①得：，， 如图，连接，取的中点M，连接，作于N，则，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴,，, ∴, ∴， ∴, ∴， 即线段的最大值为。 故答案为： 【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题． 30．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点．    (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为___________． (2)已知M是内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是___________，最小值是___________； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为___________． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，直线l垂直平分．，在中即可求解； （2）①根据题意分两种情况画出图形，然后根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而可得弦长度的取值范围；②如图，连接并延长，交与点E，过M作的垂线，在的垂线上取一点使得，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D， 得到垂直平分，，在中即可求解； 【解析】（1）解：如图，连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，    ∵点P与点O关于直线l对称，半径为， ∴直线l垂直平分．， ． 在中， ， ． 在中， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图1，点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D，    ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最大值，此时有最小值，即有最小值， ，， ，， ， 在中，，， ， ； 如图2：点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D，    ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最小值，此时有最大值，即有最大值， ，， ，， 在中，， ， ； ②如图，连接并延长，交与点E，过点M作的画弧，交射线与点F，过点O作的画弧，交的垂线与点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D，    得到垂直平分， ，在中，， ， 在中，，， ， ； 故答案为：，，； 【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键． 31．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】已知中，，点是的中点．作，分别交、于点、，连接． （1）如图1，若，求证：    ①连接，证明：； ②证明：： （2）如图2，试探索②中的结论在一般情况下是否仍然成立；    【解决问题】（3）如图3，已知中，，，，点是的中点，过、两点的圆分别交边、于点、，连接，则面积的最大值为______．    【答案】（1）①见解析  ②见解析（2）仍然成立（3） 【分析】（1）证明，求出，同理求出，根据勾股定理求出即可； （2）延长至，使，连接、，证明四边形是平行四边形，得出，，在中，由勾股定理得：，即可得出答案； （3）连接、，则，根据勾股定理，设，，求出，代入，由二次函数的性质即可求出答案． 【解析】（1）①连接，    ∵是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，，， ∵． ∴， ∴ ②∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）仍然成立． 理由：延长至，使，连接、，    ∵、互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）连接、， ∵，过、两点的圆分别交、于点、， 是圆的直径，      由②知 设，， 当时，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了圆的综合问题、勾股定理、二次函数的最值、三角形的面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质应用，熟练运用性质进行推理和计算是解题的关键． 32．（22-23九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N是线段上一点．对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，我们称点是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．在平面直角坐标系中，已知的半径为2． (1)若点，点N是的中点，点，则点P的“平移点”的坐标是_____，点P的“移对点”Q的坐标是______； (2)如图，点，点N是OM的中点，点．在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若点是上一点，N是线段OM上一点，且，P是外一点，点Q为点P的“移对点”，连接PQ．当点M在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差． 【答案】(1)， (2)作图见解析， (3)PQ长的最大值与最小值的差是 【分析】（1）根据题中所给的“平移点”和 “移对点”的定义即可解答； （2）先画出点，以点N为圆心，长为半径画弧，交于x轴交于点Q，点Q即为所求，先求出点的坐标，根据中心对称的定义即可求出点Q的坐标； （3）连接并延长，过点Q作的平行线，交的延长线于点A和点B，先根据中位线定理得出，再根据平行四边形的性质得出，最后根据三角形三边之间的关系，即可得将最大值和最小值表示出来． 【解析】（1）解：∵，， ∴点P的“平移点”的坐标是，即：， ∵点N是的中点， ∴， 点关于点N的对称点坐标为：， ∴P的“移对点”Q的坐标是： 故答案为：，． （2）作图如下． 连接PQ． ∵，， ∴点P的“平移点”的坐标是，即：， ∴， 过点N作于H，则四边形是矩形． ∴，， ∵，， ∴且． ∴． ∴点Q在x轴上且． ∴． ∴． （3）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∵点， 设点P的坐标为， ∴ ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 连接并延长，过点Q作的平行线，交的延长线于点A和点B， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴长的最大值与最小值的差为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，解题的关键是正确理解题意，明白“平移点”和“移对点”的定义，根据题意做出辅助线，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的性质，中心对称的性质． 33．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，点是（半径为）上的一点． (1)尺规作图：请你用两种不同方法作的内接等边；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在劣弧上任意取一点，连接、、，请你直接写出、、之间的数量关系______； (3)等边的三个顶点将分成三段弧，将这三段弧沿等边的三边向圆内折叠，则这三段弧折叠后重合部分的面积为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）方法1，以为圆心为半径作圆，与圆交于点，；再以，分别为圆心，为半径作圆，与圆交于点、；以为圆心，为半径作圆与圆交于；连接、、即为所求三角形； 方法2，以圆上任意一点为圆心，长为半径作圆；以为圆心，长为半径作圆，与圆交于点，圆与圆交点，；连接，；作和的垂直平分线分别交圆于点，点；连接、、即为所求三角形； （2）在上截取，连接，证明，即可得； （3）过作交于点，由，分别求出圆的面积与面积即可求解． 【解析】（1）解：如图：方法1，以为圆心为半径作圆，与圆交于点，；再以，分别为圆心，为半径作圆，与圆交于点、；以为圆心，为半径作圆与圆交于；连接、、即为所求三角形； 方法2，以圆上任意一点为圆心，长为半径作圆；以为圆心，长为半径作圆，与圆交于点，圆与圆交点，；连接，；作和的垂直平分线分别交圆于点，点；连接、、即为所求三角形； （2）在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）过作交于点， 在中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的内接三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 34．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则___________； (2)如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点； (3)如图4，，，，是上的四个点，，，求的值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由切线的性质得出，由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案； （2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论； （3）作于点E，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值． 【解析】（1）解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是折线段的中点， ∴， 故答案为：3； （2）如图，延长到M使，连接， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点H是折线段的中点； （3）如图，作于点E， 由（2）可知E为折线段中点，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆的综合知识，掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键． 35．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【解析】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$