专题04 2.6-2.8 弧长和扇形面积（八大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题04 2.6-2.8 弧长和扇形面积（八大模块） 目录： 模块1：求正多边形的中心角 模块2：已知正多边形的中心角求边数 模块3：正多边形和圆综合 模块4：尺规作图 模块5：求弧长 模块6：求扇形面积 模块7：圆锥的侧面积综合 模块8：解答综合题 模块1：求正多边形的中心角 1．正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 3．如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是 ． 4．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形和正三角形都内接于，则的度数为 °． 模块2：已知正多边形的中心角求边数 6．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 7．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 模块3：正多边形和圆综合 11．如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 13．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 模块4：尺规作图 15．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 16．在8×6的正方形网格中，正方形边长为1单位，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点均在格点上； (2)在图2中画一个以点C为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与△ABC面积相等． 17．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 模块5：求弧长 18．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 19．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 20．如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 21．如图，是一个圆形人工湖，弦是湖上的一座桥．已知的长为10，圆周角，则的长为（　　） A． B． C． D． 22．如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（    ） A． B． C． D． 模块6：求扇形面积 23．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，将其抽象绘制成右图所示的两个有公共圆心O的扇形，若， 则阴影部分面积为（   ）    A． B． C． D． 24．如图，是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 25．如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 28．如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 29．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 30．如图，是的切线，切点为B，连接交于点C，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 31．如图， 在中， ，将 绕点 A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ．    32．如图，正方形纸片中，，以A为圆心，以的长为半径在正方形内部作，点P为上一个动点，连接，将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处，连接．当为等边三角形时，则线段，，，围成的阴影部分的周长为 ． 模块7：圆锥的侧面积综合 33．圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ． 34．已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 35．某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 36．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 模块8：解答综合题 37．如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 38．如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 39．如图，已知，点M是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的⊙O的劣弧与、所围成图形的面积是 ． 40．如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 41．在扇形中，半径，点在上，连接，将沿着折叠得到． (1)如图①，若，且与所在的圆相切于点． ①__________； ②求的长； (2)如图②，与相交于点，若点为的中点，且，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 2.6-2.8 弧长和扇形面积 （八大模块） 目录： 模块1：求正多边形的中心角 模块2：已知正多边形的中心角求边数 模块3：正多边形和圆综合 模块4：尺规作图 模块5：求弧长 模块6：求扇形面积 模块7：圆锥的侧面积综合 模块8：解答综合题 模块1：求正多边形的中心角 1．正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【解析】解：∵是正六边形， ∴中心角为：， 故选：C． 2．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 【答案】A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 3．如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是 ． 【答案】 【分析】连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，证明△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质，得出，根据勾股定理得出即可． 【解析】解：连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形， ∴， ∵OB=OC， 为等边三角形， ∴， ， ∴， ， 即弦心距是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 4．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【解析】解：连接、， ∵是圆内接五边形， ∴， ∴， 故选B． 5．如图，正五边形和正三角形都内接于，则的度数为 °． 【答案】 【分析】连接，，，，分别求出正五边形和正三角形的中心角，结合图形计算即可． 【解析】解：连接，，，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴． ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角和弧之间的关系，正多边形与圆的有关计算．掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 模块2：已知正多边形的中心角求边数 6．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【解析】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为， ∴该正多边形的边数为：，故D正确． 故选：D． 7．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【解析】解：∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 8．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【解析】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 9．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【解析】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 10．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【解析】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 模块3：正多边形和圆综合 11．如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的中心角是解题的关键． 根据正六边形的性质得出，再根据圆周角定理即可得到结论． 【解析】解：连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 12．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键． 【解析】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则， ， 是边上的高，， ． ． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为． 故选：A． 13．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 14．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【解析】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 模块4：尺规作图 15．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【解析】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 16．在8×6的正方形网格中，正方形边长为1单位，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点均在格点上； (2)在图2中画一个以点C为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与△ABC面积相等． 【答案】见解析. 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答；（2）根据△ABC的面积求得正方形的面积，然后确定边长，即可作出． 【解析】（1） （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，正确求得正方形的面积，进而确定边长是关键． 17．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【解析】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 模块5：求弧长 18．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【解析】解：根据题意得． 故选：D． 19．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【解析】解： ． 故选：C． 20．如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，再代入弧长公式计算即可． 【解析】解：， ， ， 的长为：． 故选：C． 21．如图，是一个圆形人工湖，弦是湖上的一座桥．已知的长为10，圆周角，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了弧长计算以及圆周角定义，正确掌握弧长公式是解题关键．根据圆周角定理可得，再根据弧长公式计算即可． 【解析】解：如图，设圆心为，连接，，则， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧的长为：． 故选：B． 22．如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理及弧长公式，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先根据切线的性质得出，再根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，继而根据弧长公式求解即可． 【解析】连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径是9， ∴， 故选：B． 模块6：求扇形面积 23．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，将其抽象绘制成右图所示的两个有公共圆心O的扇形，若， 则阴影部分面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键． 阴影部分面积为扇形的面积与扇形的面积之差． 【解析】解： 故选：B． 24．如图，是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，连接，则根据垂径定理可得出，继而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，代入扇形的面积公式求解即可． 【解析】解：连接，   ， 故 即可得阴影部分的面积等于扇形的面积， 又 ， ， 故 即阴影部分的面积为 故选D． 25．如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【解析】连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 26．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【解析】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 27．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【解析】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 28．如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积．据图形可得，阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，代入面积公式进行计算即可． 【解析】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 29．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接多边形的性质，扇形的面积，如图，连接，，证明即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】如图，连接，， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．如图，是的切线，切点为B，连接交于点C，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质和扇形面积的计算，由条件可求得的度数，根据切线性质得出，则可求得长，再利用可求得答案． 【解析】解：， ， 是的切线， ， 在中，， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 31．如图， 在中， ，将 绕点 A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分不是规则图形，也不是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求，利用割补法，则阴影部分的面积扇形扇形即可求解． 【解析】解：由旋转的性质可知，， ∴阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故答案为：． 32．如图，正方形纸片中，，以A为圆心，以的长为半径在正方形内部作，点P为上一个动点，连接，将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处，连接．当为等边三角形时，则线段，，，围成的阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】首先根据正方形的性质和折叠的性质得到，然后根据等边三角形的性质得到，，然后利用弧长公式求出，进而求解即可． 【解析】∵四边形是正方形 ∴ ∵将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴阴影部分的周长为． 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，弧长公式，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 模块7：圆锥的侧面积综合 33．圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可． 【解析】解：设圆锥的母线长为， ∵圆锥的侧面积为，底面半径为3， ∴． 解得：， 故答案为：8． 34．已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【解析】解：由题意，得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 35．某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解． 【解析】设侧面展开扇形的圆心角为，则， ． 故答案为：． 36．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的高为：． 故答案为：． 模块8：解答综合题 37．如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 38．如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，，求得，推出是等边三角形，得到，，根据弧长公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接， ∵是的切线， 为直径， ∴； （2）解：由（1）知， ∴ ∵ ∴，， 是等边三角形， 的长为， 39．如图，已知，点M是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的⊙O的劣弧与、所围成图形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． （1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与、所围成图形的面积进行计算． 【解析】（1）如图，为所作； （2）∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴的劣弧与、所围成图形的面积 故答案为： 40．如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等． （1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证； （2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可． 【解析】（1）证明：连接， ，点是的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ， 图中阴影部分的面积是． 41．在扇形中，半径，点在上，连接，将沿着折叠得到． (1)如图①，若，且与所在的圆相切于点． ①__________； ②求的长； (2)如图②，与相交于点，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（）①由折叠可得，由切线的性质可得，利用四边形的内角和可得，进而利用邻补角的性质即可求解；②如图①，过点作于，由折叠可得，，得到，再解直角三角形可得的长； （）如图②，连接，设，可得，，进而得到，又由折叠可得，，得到，即得，再由平行线的性质可得，进而由等腰三角形的性质得到，最后根据得，求出，得到，再利用弧长公式计算即求解． 【解析】（1）解：①由折叠可得，， ∵与所在的圆相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图①，过点作于，则， 由折叠可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：如图②，连接，设， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长． 【点睛】本题考查了折叠的性质，切线的性质，邻补角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$