精品解析：福建省龙岩第一中学2023-2024高一上学期第二次月考数学试题

龙岩一中2026届高一上学期第二次月考 数学 满分：150分 时间：120分钟 命题：邱星明 审题：刘文娟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A，再利用交集的定义求解即得． 【详解】依题意，，而， 所以． 故选：B 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 3. 若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将命题“”是假命题，转化为命题“”是真命题，利用判别式法求解. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以命题“”是真命题， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是 故选：D 4. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简命题q，再利用必要条件的定义列式求解即得. 【详解】解不等式，得，即， 由是的必要条件，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5. 已知正数、满足，求的最小值是（ ） A. B. 9 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】因为，均为正数，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可. 【详解】函数是上的增函数，则在上单调递增，故， 此时满足函数在上也是单调递增； 最后，只需在处满足， 综上：的取值范围是. 故选：D 7. 已知定义在R上的函数在上单调递减，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意判断出函数图象的对称轴以及在上单调递增，由可知,化简结合解一元二次不等式，可得答案. 【详解】定义在R上的函数满足，则函数图象关于直线对称； 又在上单调递减，则在上单调递增， 则由不等式可得，即， 即，解得或 ， 即的解集为， 故选：A. 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，再根据题意可得的值域是的值域的子集，对的符号分类讨论，根据集合间的包含关系可解得答案. 【详解】因为， 所以，可得的值域为； 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集； 显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此，解得； 当时，在上为减函数，所以，即； 因此，解得； 综上可得，实数的取值范围是 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出两函数值域的包含关系，再对的符号分类讨论，利用集合间的包含关系可得结论. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是； 对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是； 对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是. 故选：BC 10. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法比较大小即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 11. 若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ） A. “影子函数”可以是奇函数 B. “影子函数”的值域可以是 C. 函数是“影子函数” D. 若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数” 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义举例判断． 【详解】，在其定义域内，对任意的，存在，使得成立，是“影子函数”，它也是奇函数；A正确； 若“影子函数”值域是R，则当满足时，不存在，使得，B错误； ，对任意的，，是唯一的，C正确； 若，，，不是“影子函数”，如，，或时，都有，不唯一，D错误． 故选：AC． 12. 已知函数，若，记，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为5 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，确定时m的范围，进而可得，将m作为自变量，表示，结合二次函数知识，即可判断答案. 【详解】依题意，函数在上递减，在上递减，其图象如图： 当，时，， 由，得 ，且，因此，， 对于AB，，当时，， 当时，，AB正确； 对于CD，， 函数在上单调递增，当时，，无最大值，C错误，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递减区间即可. 【详解】由题可知开口向上，对称轴为，所以的单调递减区间为 故答案为： 14. 函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合分式函数的意义求出值域. 【详解】依题意，函数的定义域为，而，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 15. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，可得，根据偶函数的性质可知，当时，由可得，进而可得. 【详解】当时，得， 又函数是定义在上的偶函数， 故当时，由可得， 综上的解集为， 故答案为： 16. 对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则A中所有元素的和是__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据给定的定义，利用列举法表示出集合即可得解. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，，因此， 所以A中所有元素的和是. 故答案为：15 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，． （1）求； （2）若集合，，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，求集合A、B，运用集合交集运算求； （2）根据交集为空集，结合（1）中所求，列出对应的不等式，求解即可． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 ，， ，有或， 解得或，即的取值范围是． 18. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 【答案】（1）偶函数，证明：因为且定义域为R，所以是偶函数. （2） 【解析】 【分析】(1)根据奇偶性的定义即可证明； (2)讨论的符号，列出方程组即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得， 解之可得或(舍)， 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得（舍）， 综上，的解为. 19. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合恒等式求出即可得解. （2）令，结合集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 二次函数，则 ，而，于是，， 解得，则，又，解得， 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，不等式 令，则，由， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 20. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）证明：任取、，且，即， 则， ，，，，，，. ，，因此，函数在区间上是减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式； （2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，化简得，因此，； （2）略； （3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以，解得. 因此，不等式的解集为. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 21. 某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元．（注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用） （1）将y表示为x的函数； （2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）， （2）月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元 【解析】 【分析】（1）由时，，代入求得，由利润=销售收入－生产投入－促销费用，列出函数关系，即可得出结果； （2）由（1）知，利用基本不等式即可求得最大利润. 【小问1详解】 由题意知当时，，代入 则，解得，． 利润， 又因为， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知， 因为时，， 因为，当且仅当时等号成立 所以， 故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元 22. 已知函数． （1）若函数在上是单调递减，求a的取值范围； （2）当时，函数在上的最大值记为，试求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）采用换元法，令，将转化为，结合二次函数的单调性，分类讨论，可求得答案. （2）令,可得,则函数在上的最大值问题即为的最大值问题；然后分类讨论b的取值范围，结合二次函数性质，比较函数值大小，即可确定函数最值. 【小问1详解】 由题意函数在时单调递减， 令 ，则在时单调递减， 若，则在时单调递减，符合题意； 若时，需满足 ，即； 若时，需满足 ，即； 综合以上可知 a的取值范围为； 【小问2详解】 当时，, 令,则, 则函数在上的最大值问题即为的最大值问题； 当时，， 此时的最大值为； 当时，由，可得， 此时 ， 此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 此时的最大值为； 当时，， ， 此时的最大值为； 当时，， ， 此时的最大值为； 综合上述可得的最大值， 即函数在上的最大值为， 当时，；当时，； 故的最小值为. 【点睛】本意考查了函数的单调性问题以及函数的最值问题，综合性较强，计算量较大，解答时要能综合利用函数的相关知识解答，解答的关键是能明确分类讨论的思路,确定参数的范围，进行比较函数值大小，确定函数最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩一中2026届高一上学期第二次月考 数学 满分：150分 时间：120分钟 命题：邱星明 审题：刘文娟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数、满足，求的最小值是（ ） A. B. 9 C. D. 4 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数在上单调递减，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ） A. “影子函数”可以是奇函数 B. “影子函数”的值域可以是 C. 函数是“影子函数” D. 若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数” 12. 已知函数，若，记，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为5 D. 的最小值为3 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的单调递减区间为__________. 14. 函数的值域为__________. 15. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为__________. 16. 对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则A中所有元素的和是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，． （1）求； （2）若集合，，求实数m的取值范围． 18. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 19. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 20. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 21. 某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元．（注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用） （1）将y表示为x的函数； （2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 22. 已知函数． （1）若函数在上是单调递减，求a的取值范围； （2）当时，函数在上的最大值记为，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $