精品解析：2023-2024学年北师大版七年级数学下册期末试题

2023-2024学年第二学期七年级数学期末练习卷 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案，其中是轴对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是0.00000025，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（    ） A. B. C. D. 1 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 6. 如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 7. 若，，则（ ） A. B. 11 C. D. 7 8. 某中学将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图示．将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 10. 如图1，在长方形中，点从点出发沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒2个单位匀速运动，秒后又恢复为每秒个单位匀速运动．在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图2所示．则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 11.5 D. 12 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知m＋n＝3，m－n＝2，则________． 12. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 13. 如图，，请你添加一个条件使．则可以添加的条件是__________（添一个即可）． 14. 小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行_________米． 15. 如图，在中，点分别为中点，且，则阴影部分的面积为______． 16. 按如图方式用火柴混搭三角形，三角形的每一条边只用一根火柴棍，火柴棍的根数与三角形的个数之间的关系式为____． 三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简再求值：，其中，． 19. 方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”． （1）画出关于直线的对称图形； （2）若网格上最小正方形的边长为，求的面积； （3）若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 20. 如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种． （1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少? （2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗?为什么? 21. 星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． （1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？ （3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？ （4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？ 22. 如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 24. 如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接.以为直角边且在的上方作等腰直角三角形. （1）若， ①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与数量关系和位置关系； ②当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由； （2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期七年级数学期末练习卷 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是0.00000025，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000025用科学记数法表示为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（    ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求法是解此题的关键． 【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故选：A． 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长为腰或者底边时． 【详解】解：分情况考虑：当是腰时，则底边长是，此时，，能组成三角形，此时腰长是． 当是底边时，腰长是，，，能够组成三角形．此时腰长是． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 5. 如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】B 【解析】 分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝60°，再根据AD∥BC，即可得出∠2＝∠ABC＝60°． 【详解】解：∵∠1＝40°，∠BAC＝80°， ∴∠ABC＝60°， 又∵AD∥BC， ∴∠2＝∠ABC＝60°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 6. 如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据SAS证明△AOC≌△BOD，即可求解． 【详解】解：连接AC，如图， 根据题意得：AO=BO，CO=DO， ∵∠AOC=∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）． 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 若，，则（ ） A. B. 11 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】将完全平方公式变形，再将已知代入即可求解 【详解】，， 故选D 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 8. 某中学将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图示．将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：B 9. 如图，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，根据作图可知，，垂直平分，得到，推出，进而得到，三线合一，推出垂直平分线段，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意； 由作图可知：，垂直平分， ∴，，故选项A正确，不符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， 根据同高三角形的面积比等于底边比可知：；故选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查含30度的直角三角形，中垂线的作图，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 10. 如图1，在长方形中，点从点出发沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒2个单位匀速运动，秒后又恢复为每秒个单位匀速运动．在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图2所示．则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 11.5 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知，CD的长度，当t＝6时，S△ABP＝16，求出BC的长；当t＝a时，S△ABP＝8，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当t＝b时，S△ABP4，从而求得b的值． 【详解】解：从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变， 即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位， ∴CD＝2×（8﹣6）＝4， ∴AB＝CD＝4， 当t＝6时（点P运动到点C），S△ABP＝16， ∴AB•BC＝16，即×4×BC＝16， ∴BC＝8， ∴长方形的长为8，宽为4， 当t＝a时，S△ABP＝8＝×4×BP， ∴BP=4， 即点P此时在BC的中点处， ∴PC＝BC＝×8＝4， ∴2（6﹣a）＝4， ∴a＝4， ∵BP＝PC＝4， ∴m＝BP÷a＝4÷4＝1， 当t＝b时，S△ABP＝AB•AP＝4， ∴×4×AP＝4，AP＝2， ∴b＝13﹣2÷1＝11， 故选：B． 【点睛】本题是动点问题的函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力，解题的关键是函数图象对应动点P的位置关系． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知m＋n＝3，m－n＝2，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平方差公式（m＋n）（m−n）＝m2−n2代入数值即可． 【详解】解：∵m＋n＝3，m−n＝2， ∴（m＋n）（m−n）＝m2−n2＝3×2＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握（a＋b）（a−b）＝a2−b2是解题的关键． 12. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【详解】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3， ∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，与几何有关的就是几何概率．计算方法是面积比或体积比等． 13. 如图，，请你添加一个条件使．则可以添加的条件是__________（添一个即可）． 【答案】∠B＝∠C（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据判定三角形全等的方法添加条件即可． 【详解】解：添加∠B＝∠C， 在△ADC和△AEB中，， ∴（ASA）， 故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 14. 小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行_________米． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图像可以知道小明到家的距离为米，小明返程的时间是分钟，可以求出小明返程的速度． 【详解】解：根据图象可以看出，小明家离学校米，返程所用时间为：(分钟) ∴返程速度为：(米/分钟) 故答案是． 【点睛】本题考查了一次函数图象的认识，根据图像找到对应点的数值是求解的关键． 15. 如图，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质，熟练根据这个性质，逐渐找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案，熟记三角形中线将三角形面积等分，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点分别为的中点， ， 点分别为的中点， ， ， ， ，则， 故答案为：． 16. 按如图方式用火柴混搭三角形，三角形的每一条边只用一根火柴棍，火柴棍的根数与三角形的个数之间的关系式为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形找出火柴棒数与三角形个数之间的规律，根据规律可直接得出搭x个这样的三角形需要（2x+1）根火柴棒． 【详解】结合图形发现：搭第x个图形,需要3+2(x−1)=2x+1(根). ∴火柴棍的根数 (根)与三角形的个数x(个)之间的关系式为：y=2x+1. 故答案为y=2x+1. 【点睛】此题考查函数关系式，解题关键在于找到规律. 三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质和绝对值的意义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质和绝对值的意义是解答此题的关键． 18. 先化简再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，其中包含完全平方公式、平方差公式、去括号的法则、整式的除法等，灵活运用整式混合运算的法则是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式，结合整式的加减法法则，将中括号化简，再根据除法法则得出化简结果，最后将、的值代入即可求解． 【详解】解： ， 把，代入， 可得：原式． 19. 方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”． （1）画出关于直线的对称图形； （2）若网格上最小正方形的边长为，求的面积； （3）若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为5 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接交直线于点Q，此时最小． 【小问1详解】 解：如图，为所作； ； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：如图，点为所作， ． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点Q． 20. 如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种． （1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域概率是多少? （2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗?为什么? 【答案】（1）；（2）公平，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据红色的有4个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【详解】解：（1）∵一个转盘被分成10个相同扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有4个扇形， ∴指针指向红色的概率为：； （2）由图可知：转盘被分成10个相同的扇形， 黄色区域有3块，绿色区域有3块， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，概率一样， ∴这个游戏对甲、乙公平． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． （1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？ （3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？ （4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？ 【答案】（1）玲玲到离家最远的地方需要12时，此时离家30千米；（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时；（3）玲玲在返回的途中最快，速度为：15千米/时；（4）10千米/时． 【解析】 【分析】（1）利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案； （2）休息是路程不再随时间的增加而增加； （3）往返全程中回来时候速度最快，用距离除以所用时间即可； （4）用玲玲全程所行的路程除以所用的时间即可． 【详解】解：（1）玲玲到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米； （2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时； （3）在返回的途中，速度最快，速度为：30÷（15﹣13）＝15千米/时； （4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9）＝10千米/时． 【点睛】本题是一道函数图象的基础题，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，因此本题实际上是考查同学们的识图能力． 22. 如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和、三角形的外角性质： （1）先由三角形的外角性质得，结合，即可证明作答． （2）由得，结合三角形的内角和公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 则 ∵ ∴ 23. 【探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分面积． 【答案】（1）5；（2）；②12 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设， 则， ； （2）①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是 8 ， ， 阴影部分面积， 设， 则， ， ， 又， ， ． 即阴影部分面积是 12 ． 24. 如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接.以为直角边且在的上方作等腰直角三角形. （1）若， ①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与的数量关系和位置关系； ②当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由； （2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系. 【答案】（1）①CF⊥BD，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF⊥BD，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可； （2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD． 【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形， ∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF， ∴△ACF≌△ABD(SAS)， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠FCB=90°， ∴CF⊥BD； ②成立，理由如下：如图2： ∵∠CAB=∠DAF=90°， ∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF， ∴△ACF≌△ABD(SAS)， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD； （2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E， ∵∠BCA=45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC=AE，∠AED=45°， ∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°， ∴∠CAF=∠EAD， 在△ACF和△AED中， ∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF， ∴△ACF≌△AED(SAS)， ∴∠ACF=∠AED=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD． 【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$