3.2.2 第2课时奇偶性的应用学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时　奇偶性的应用 函数奇偶性与单调性的关系 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ；若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ． 2．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为 ． 3．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为 ． 题型四　利用奇偶性与单调性比较大小 例5　 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，比较f (－5)与f(3)的大小． 例6　 若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 利用奇偶性与单调性比较大小的方法 (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． [跟踪训练5]　1.设偶函数f(x)的定义域为R，若在区间[0，＋∞)上函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为________． 2.若偶函数f (x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f (-), b=f ,c=f 的大小关系是(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b 题型五　利用奇偶性求函数解析式 [命题角度1]　定义法求函数解析式 例7　 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． 例8　 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　. [命题角度2]　方程组法求函数解析式 例9　 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 1．定义法求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 2．方程组法求函数解析式的策略 已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换成－x，构造方程组求解． [跟踪训练4]　(1)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________． (2)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝________． 题型六　利用奇偶性与单调性解不等式 例8　设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 利用奇偶性与单调性解不等式的方法 (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式． (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． [跟踪训练6]　已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，求满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围． 1 学科网（北京）股份 学科网（北京）股份有限公司 $$