3.2.2第1课时奇偶性的概念学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1课时　奇偶性的概念 探究理解（预习课本P82-84） 图①②：当自变量取一对相反数时，相应的函数值f(x)、g(x)相等； 图③④：当自变量取一对相反数时，相应的函数值f(x)、g(x)也是一对相反数. 知识点一　偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数与奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 知识点二　偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 轴为对称轴的 ；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是 ． (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的 ；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是 ． 知识点三　新知拓展（常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性） 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时 ； 当b≠0时 . 反比例函数y＝(a≠0) 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时 ； 当b≠0时 . 题型一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法★ ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [跟踪训练1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 题型二　奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． [条件探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答？ 1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)或(－∞，0]上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]或[0，＋∞)上对应的函数图象． 2．奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． [跟踪训练2]　已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________． 题型三　利用函数的奇偶性求值 [命题角度1]　利用函数的奇偶性求参数的值 例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝_______，b＝________． (2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． [命题角度2]　利用奇偶性求函数值 例4　 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，求f(2)． 1．已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 2．利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. [跟踪训练4]　(1)若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a的值为________． (2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，则f(1)＋g(1)的值为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$