3.2.1 课时1 函数的单调性课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 课时1 单调性 1 1.函数单调性的概念及判断 2.函数单调性概念的形成 3.掌握证明简单函数单调性的方法 学习目标 1 2 前面我们学习了函数的定义和表示法,知道函数y=f(x),x∈A是描述了客观世界中变量之间的一种对应关系,也就是事物运动变化规律的数学模型.这样,我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中相应事物的变化规律. 因此,研究函数的性质,如随着自变量的增大函数值增大还是减小,有没有最大值或最小值,函数图像有什么特征等,是认识客观规律的重要方法. 新课导入 2 3 在初中,我们利用函数的图像研究过函数值随着自变量的增大而增大(或减小)的性质,这一性质叫做函数的单调性.接下来我们进一步用符号语言刻画这种性质. 观察函数y=x,y=-x,y=x2的图像,分析自变量变化时,函数值有什么变化规律? 新课导入 2 4 先研究 f (x)=x2的单调性. 图像特征: 从左往右看,y轴左侧部分是下降的,y轴右侧部分是上升的; 两变量的变化关系: 当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大; 符号语言描述: 任意取x1,x2∈(-∞,0],得到f (x1)=x12,f (x2)=x22,当x1<x2时,有f (x1)>f (x2). 这时我们就说函数f (x)=x2在区间(-∞,0]上是单调递减的. 任意取x1,x2∈[0,+∞),得到f (x1)=x12,f (x2)=x22,当x1<x2时,有f (x1)<f (x2). 这时我们就说函数f (x)=x2在区间[0,+∞)上是单调递增的. 知识讲解 3 5 函数f (x) =|x|,f (x) = -x2各有怎样的单调性? y=-x2 y=|x| 知识讲解 3 6 设函数f (x)的定义域为I,区间D⊆I,∀x1, x2∈D,且x1<x2, 如果都有f (x1) < f (x2),那么就说函数f (x)在区间D上单调递增; 如果都有f (x1) > f (x2),那么就说函数f (x)在区间D上单调递减. x y 0 知识讲解 3 7 单调递增 单调递减 特别的,函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们称它是增函数; 函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们称它是减函数. 如果函数y=f (x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 知识讲解 3 9 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合,而且∀x1,x2 ∈A,当x1<x2时都有f (x1)<f (x2),我们能说函数f (x)在区间D上单调递增吗? 你能举例说明吗? 答:不能,如图,取A={1,2,3,4},D=[1,4], ∀x1,x2 ∈A且x1<x2时,都有f (x1)<f (x2), 但f (x)在区间[1,4]上不是单调函数. 知识讲解 3 11 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整个定义域内是单调递增(减)的函数例子吗? 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗? 如f (x)=2x-1,在(-∞,+∞)上为增函数; 如f (x)=-x2-2x,在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减. 如f (x)=x2 -2x,在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增; 如f (x)= -x +1,在(-∞,+∞)上为减函数; 知识讲解 3 12 (1)若f(-1)<f(2),则函数y=f(x)在[-1,2]上单调递增.( ) (2)若y=f(x)为R上的减函数,则f(0)>f(1).( ) (3)若函数y=f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数y=f(x)在 区间(1,3)上单调递增.( ) (4)函数f(x)=x2-4x+1在区间[3,+∞)上单调递增.( ) (5)函数f(x)=x2-4x+1的单调递增区间为:[3,+∞).( ) (6)若函数y=f(x)在区间D上单调递增,则y=-f(x)在区间D上单调递减.( ) √ √ √ 练习1 判断下列说法是否正确 当堂检测 4 13 练习2 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调递增区间和单调递减区间. 解:y=f(x)单调递减区间为:[-5,-2),[1,3); 单调递增区间为:[-2,1),[3,5]. 思考:能不能说单调递减区间为:[-5,-2)∪[1,3)? 当堂检测 4 14 特别提醒: 1.单调区间D⊆定义域I; 2.函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题, 所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间 端点不属于定义域则只能开; 3.遵循最简原则,函数单调区间应尽可能大; 4.函数在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[c,d]上也单调递增 (减), 该函数在[a,b]∪[c,d]上不一定单调递增(减),故在作答函数的单调递 增(减)区间的时候通常不能用“∪”这个符号. 知识讲解 3 15 例题1 根据定义,研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. 【分析】根据函数单调性的定义,需要考察当x1<x2时,f(x1)<f(x2)还是f(x1)>f(x2). 根据实数大小关系的基本事实,只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系. 知识讲解 3 16 例题2 物理学中的玻意耳定律 ,(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试对此用函数的单调性证明. 【分析】根据题意,只要证明函数 是减函数即可. 即当其体积V减少时,压强p将增大. 知识讲解 3 17 例3 根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增. 设元 作差 变形 定号 定论 知识讲解 3 18 用定义证明函数的单调性的步骤: (1)设x1,x2是某个区间上任意两个数且x1<x2; (2)作差: f(x1)-f(x2) ; (3)化简变形: 分解因式:通分、因式分解、配方、有理化等; (4)判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (5)作结论. 知识讲解 3 19 判断函数单调性的常用方法 (1)图象法: 看图象从左向右是上升还是下降; (2)定义法; (3)性质: 若函数y=f(x)和y=g(x)都在区间D上单调递增(减),则函数 y=f(x)+g(x)在区间D上单调递增(减). 若函数y=f(x)在区间D上单调递增(减),则函数y=-f(x)在 区间D上单调递减(增). 知识讲解 3 20 1.单调递增与单调递减的定义: 设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,∀x1, x2∈D,且x1<x2 , 如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增; 如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减. 2.判断函数单调性的方法 (1)图象法:看图象从左向右是上升还是下降 (2)用定义证明函数单调性的步骤: ①取值 ②作差③变形④定号⑤结论 (3)性质:①若函数y=f(x)和y=g(x)都在区间D上单调递增(减),则函数y=f(x)+g(x)在区间D上单调递减(增).②若函数y=f(x)在区间D上单调递增(减),则函数y=-f(x)在区间D上单调递减(增). 3.函数在某区间单调递增(或递减),则该区间为函数的单调递增(或递减)区间的子区间. 课堂小结 6 21 $$