第二章 一元二次方程 章末测试题 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程 章末试题 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．一元二次方程4x2+x﹣3＝0中一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．0，﹣3 C．1，﹣3 D．1，0 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 3．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x+1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠1 D．且k≠1 5．m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．已知m，n是不为0的实数，且m≠n，若，则的值为（　　） A．23 B．15 C．10 D．5 7．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 8．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　） A．7 B．3 C．4 D．3或4 9．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 10．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若关于x的一元二次方程x2﹣3cx﹣c+1＝0的一个根为x1＝﹣1，则另一个根为x2＝　 　． 12．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 13．如图，一农户要建一个80m2的矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设垂直于住房墙的一边长度为x m，则根据题意列方程为 　 　． 14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　． 15．已知x1，x2是一元二次方程x2x+n＝0的两个实数根，且x12+x22+（x1+x2）2＝3，，则m＝　 　n＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0（用配方法） （2）2x2+5x﹣1＝0（用公式法） （3）2（x﹣3）2＝x2﹣9 （4）（x+1）（x﹣3）＝12． 17．试判断关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0根的情况． 18．已知x1是关于x的一元二次方程的一个根，且（其中a为实数），求m的值及方程的另一个根． 19．学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 20．关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：•． 21．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）说明：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根． 22．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝1． （1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 23．用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米． （1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值； （2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由． 24．已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． （1）若方程有一根为5，求k的值； （2）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． 25．2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CABDC． 6-10．ACDCB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．﹣2． 12．4． 14．3． 15．；﹣1 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）x2+2x﹣3＝0， x2+2x＝3， x2+2x+1＝4， （x+1）2＝4， x+1＝±2， 解得x1＝1，x2＝﹣3； （2）2x2+5x﹣1＝0， a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∵△＝25+8＝33， ∴x， 则x1，x2； （3）2（x﹣3）2＝x2﹣9， 2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0， （x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣9）＝0， x﹣3＝0，x﹣9＝0， 解得x1＝3，x2＝9； （4）（x+1）（x﹣3）＝12， 方程整理得：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0， 可得x+3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝5． 17．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m ＝1＞0， ∴关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个不相等的实数根． 18．解：由已知得：﹣a2≥0，∴a2≤0，又∵a2≥0，∴a2＝0，∴a＝0∴ 把代入原方程得： 整理得：m2+m﹣2＝0，解这个方程得：m1＝1，m2＝﹣2 当m1＝1时，原方程化为：，解得：； 当m2＝﹣2时，原方程化为：，解得：， ∴m的值为1或﹣2，方程的另一根为：或 19．解：设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40﹣2x）米， 依题意，得：x（40﹣2x）＝182， 整理，得：x2﹣20x+91＝0， 解得：x1＝7，x2＝13． 当x＝7时，40﹣2x＝26＞25，不合题意，舍去； 当x＝13，40﹣2x＝14＜25，符合题意． 答：活动场地的长为14米，宽为13米． 20．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0， 解得m＞3； （2）∵m＞3， ∴m﹣3＞0， ∴• •• ＝﹣2． 21．解：（1）Δ＝（k+2）2﹣4•2k ＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）根据题意得Δ＝（k﹣2）2＝0， 解得k＝2， 则方程变形为x2﹣4x+4＝0 所以x1＝x2＝2． 22．解：（1）由题意：a≠0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（a+2）2≥0， ∴原方程有两个实数根． （2）答案不唯一，满足b2﹣4ac＝0（a≠0）即可，例如： 令a＝1，b＝0，则原方程为x2＝0， 解得：x1＝x2＝0． 23．解：（1）根据题意得：x•96， 解得：x＝8或12， 答：x＝8或12； （2）矩形的面积不能为101平方厘米， 理由是：假设矩形的面积可以为101平方厘米， 则x（20﹣x）＝101， x2﹣20x+101＝0， △＝（﹣20）2﹣4×1×101＜0， 此方程无解， 所以矩形的面积不能为101平方厘米． 24．（1）解：xk±1， 解得x1＝k+1，x2＝k﹣1， 当k+1＝5时，k＝4； 当k﹣1＝5时，k＝6， 综上所述，k的值为4或6； （2）证明：∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1） ＝4＞0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． 25．解：（1）20+2×4 ＝20+8 ＝28（个）； （40﹣4）×28 ＝36×28 ＝1008（元）． 答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元； （2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵每个模型盈利不少于25元， ∴x＝10． 答：每个模型应降价10元。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$