精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末检测题

北师大版七年级数学下册期末检测题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列事件是不可能事件的（ ） A. 守株待兔 B. 旭日东升 C. 水中捞月 D. 水滴石穿 2. 2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000s处理器，这款处理器是华为采用5nm制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 将含角的三角板按如图所示的方式摆放在一矩形纸片上，使得，则（ ） A. B. C. D. 5. 星期天早上，小明与小红相约到江边大道徒步锻炼，小明因有事耽误，比小红迟出发0.4小时，于是跑步前进，他们从大桥（A）到无名地（B）．他们徒步的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．则下列说法中，错误的是（ ） A. 小明比小红先到目的地． B. 小红在徒步的前0.4小时内，徒步的平均速度是100米/分钟 C. 小明跑步1小时追上小红． D. 小明比小红早0.5小时到达目的地． 6. 如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 已知x满足，则的值是（ ） A 512 B. 516 C. 520 D. 1032 8. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝（　　），△APE的面积等于8cm2． A. 2秒 B. 2或秒 C. 秒 D. 2或或秒 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 计算： =___________． 12. 如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为_____． 13. 一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为 ____________________． 14. 如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ____________． 15. 在△ABC中，，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，，F为AD上的动点，则的最小值为___． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式． 排碳计算公式： 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 （1）设家居用电二氧化碳排放量为，耗电量为，则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为______； （2）在上述关系式中，耗电量每增加，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从增加到时，二氧化碳排放从______增加到______； （3）小明家本月家居用电大约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量． 18. 如图，已知分别平分与且，请填写理由说明． 解：因分别平分与（已知）， 所以，（ ）． 因为（已知）． 所以∠ ＝∠ （等量代换）． （完成以下说理过程） 19. 在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同． （1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率． （2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球概率． （3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为? 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出的中线； （2）在网格中画出关于直线m对称的； （3）在网格中画出关于直线m对称的． 21. 如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 22. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． （1）试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） （2）如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） （3）如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 24. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． （1）利用多项式与多项式相乘的法则．计算：________； （2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取________张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是________（用含a，b的代数式表示）； （3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图．并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为________； （4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？________（直接写出答案） 25. （1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线 m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版七年级数学下册期末检测题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列事件是不可能事件（ ） A. 守株待兔 B. 旭日东升 C. 水中捞月 D. 水滴石穿 【答案】C 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A.守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合题意； B. 旭日东升是必然事件，故选项不符合题意； C.水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，故选项符合题意； D. 水滴石穿，一定能达到，是必然事件，故选项不符合题意； 故选：C. 2. 2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000s处理器，这款处理器是华为采用5nm制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中是正整数，等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0)． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 4. 将含角的三角板按如图所示的方式摆放在一矩形纸片上，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，根据等边对等角，结合平行线的性质，得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5. 星期天早上，小明与小红相约到江边大道徒步锻炼，小明因有事耽误，比小红迟出发0.4小时，于是跑步前进，他们从大桥（A）到无名地（B）．他们徒步的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．则下列说法中，错误的是（ ） A. 小明比小红先到目的地． B. 小红在徒步的前0.4小时内，徒步的平均速度是100米/分钟 C. 小明跑步1小时追上小红． D. 小明比小红早0.5小时到达目的地． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的方法解答．根据题意和函数图象逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知： 小明比小红先到目的地，故选项A说法正确，不符合题意； 小红在徒步的前0.4小时内，徒步的平均速度是：（米分钟），故选项B说法正确，不符合题意； 小明跑步小时追上小红，故选项C说法错误，符合题意； 小明到达目的地所需时间为：（小时）， （小时），即小明比小红早0.5小时到达目的地，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出， ，，即可求出结果． 【详解】解：连接， ， ， ∴， 设， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 7. 已知x满足，则的值是（ ） A. 512 B. 516 C. 520 D. 1032 【答案】C 【解析】 【分析】将所求式子化为，再整体利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是注意观察式子的形式，利用整体思想进行运算． 8. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案． 【详解】过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵直角三角形，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理． 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝（　　），△APE的面积等于8cm2． A. 2秒 B. 2或秒 C. 秒 D. 2或或秒 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：当点P在AC上，已知△APE的面积等于8，根据三角形面积公式求得AP，即可求出t．当点P在BC上， 已知△APE的面积等于8， 根据三角形面积公式求得EP，分P在E左边和右边两种情况，分别求出t． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当点P在AC上， 由题意得：AP＝2t， ∵BC＝8，点E是BC的中点， ∴CE＝4， ∵△APE的面积等于8， ∴AP•CE＝AP×4＝8， ∵AP＝4， ∴t＝2； ②如图2，当点P在BC上， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝4， ∴EP•AC＝EP×6＝8， ∴EP＝， ∴t＝3+4﹣＝，或t＝3+4+＝； 综上所述，当t＝2或或时，△APE的面积等于8， 故选：D． 【点睛】此题考查了速度路程问题，解题的关键是分情况构造三角形，利用三角形的面积求出对应的边长和时间． 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 计算： =___________． 【答案】 【解析】 【分析】先运用平方差公式，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的运用，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 12. 如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为_____． 【答案】55°##55度 【解析】 【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=70°， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF和∠DEF的度数是解题的关键． 13. 一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值，用56减去行驶路程乘以每千米油耗即可得到对应的关系式，再求出时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， 当时，得，解得 ∴， ∴y与x的关系式为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵把沿折叠， ∴， 如图，若， ∴， ∴ ∵把沿折叠， ∴； 如图，若， ∴ ∵把沿折叠， ∴ 综上所述，的大小为或． 故答案为：或． 15. 在△ABC中，，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，，F为AD上的动点，则的最小值为___． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，连接BE，BF，首先证明EF＋CF的最小值为AE的长，然后求出AE的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BE，BF． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴FC＝FB， ∵E在AB的垂直平分线上， ∴EA＝EB， ∴EF＋CF＝EF＋BF≥BE， ∴EF＋CF的最小值为BE，即AE的长， ∵AE：EC＝3：2， ∴设AE＝3k，EC＝2k， ∵AE＋EC≥AC， ∴5k≥10， ∴k≥2， ∴AE的最小值为6， ∴EF＋CF的值的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）1；（2），5 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的四则混合运算，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简各项后，再进行加减运算即可； （2）将原式利用平方差公式和完全平方公式将括号再计算除法，得到最简结果后把x和y的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ， 当，时，原式． 17. 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式． 排碳计算公式： 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 （1）设家居用电的二氧化碳排放量为，耗电量为，则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为______； （2）在上述关系式中，耗电量每增加，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从增加到时，二氧化碳排放从______增加到______； （3）小明家本月家居用电大约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量． 【答案】（1） （2），， （3）小明家用电的二氧化碳排放量是，天然气的二氧化碳排放量是，自来水的二氧化碳排放量是，开私家车的二氧化碳排放量是 【解析】 【分析】本题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解． （1）根据家居用电二氧化碳排放量耗电量可得此题结果； （2）由家居用电的二氧化碳排放量耗电量可解得此题结果； （3）分别按照表中提供信息分别进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵家居用电的二氧化碳排放量耗电量， ∴耗电量每增加，二氧化碳排放量增加， 当耗电量时二氧化碳排放量为；当耗电量时二氧化碳排放量为； 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 答：小明家用电的二氧化碳排放量是，天然气的二氧化碳排放量是，自来水的二氧化碳排放量是，开私家车的二氧化碳排放量是 18. 如图，已知分别平分与且，请填写理由说明． 解：因为分别平分与（已知）， 所以，（ ）． 因为（已知）． 所以∠ ＝∠ （等量代换）． （完成以下说理过程） 【答案】角平分线的定义；1，2，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，熟记平行线的判定方法并灵活运用是解本题的关键． 证明，．可得．可得．证明．可得． 【详解】证明：∵分别平分与（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；1，2． 19. 在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同． （1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率． （2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率． （3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为? 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算，即可得到答案； （2）根据概率公式计算，即可得到答案； （3）设向袋中加黑球的数量为，结合概率的性质，通过求解分式方程，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，小球共8只， 从袋中随机地摸出1只球，共8种情况， 白球3只， 从袋中随机地摸出1只球，摸出白球的概率； 【小问2详解】 结合（1）的结论，得：从袋中随机地摸出1只球，共8种情况， 黑球2只， 从袋中随机地摸出1只球，摸出黑球的概率； 【小问3详解】 设向袋中加黑球的数量为， 从袋中随机地摸出1只球，共种情况， 摸出红球的概率为，且红球3只， ， ， 时，， 是方程解， 向袋中加4只黑球，可以使摸出红球的概率变为． 【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率和分式方程的性质，从而完成求解． 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出的中线； （2）在网格中画出关于直线m对称的； （3）在网格中画出关于直线m对称的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点D，连接即可； （2）先作出点A、B、C关于直线m的对称点、、，然后顺次连接即可； （3）先作出点G、E关于直线m的对称点、，点F与点重合，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的的中线； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 21. 如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是添加正确的辅助线，在射线作点M， ，先根据等腰三角形的性质和已知条件证明和，从而证明，即可得到． 【详解】解：，理由如下， 如下图所示，在射线作点M， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． （1）试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） （2）如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） （3）如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【答案】（1），见解析 （2）不变化 （3）或，见解析 【解析】 【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （2）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （3）利用分类思想，结合平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：； 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解： ，不会变化，其证明与第一问相同． 【小问3详解】 证明：或； 理由：当点P在下侧时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P在上侧时，同理可得：． 24. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． （1）利用多项式与多项式相乘的法则．计算：________； （2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取________张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是________（用含a，b的代数式表示）； （3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图．并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为________； （4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？________（直接写出答案） 【答案】（1） （2）4， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则解题； （2）利用完全平方公式解题； （3）由图可知型卡片的面积为，是一个边长为的正方形的面积减去张型卡片的面积，即，据此得到等量关系； （4）根据图形列等量关系，，再结合计算解题即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵， ∴应该取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是， 故答案为：4， 【小问3详解】 选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图．则中间正方形D的面积可以表示为，正方形D的边长为， ∴由此可检验的等量关系为， 故答案为： 【小问4详解】 解：设 ， 由题意可得，， 则， ∵， ∴，即， ∵， ∴恒成立， ∴， 即， 故答案： 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，完全平方公式与图形面积，多项式乘法的应用，因式分解的应用，数形结合是解题的关键． 25. （1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线 m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）求出，证明，可得，，进而可得结论； （2）求出，证明，可知，，进而可得结论； （3）同（2）可得，则，，求出，证明即可． 【详解】（1）证明：∵，垂直直线，垂直直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）成立， 理由：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同（2）可得， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$