24.2.1 点和圆的位置关系 课件 2024-2025学年人教版九年级数学上册

24.2.1 点和圆的位置关系 第二十四章 圆 自主探究 活动1:探索点与圆的位置关系 通过阅读教材，由生活例子归纳,在同一平面内,点与圆有哪些位置关系,点与圆的位置关系怎样用数量体现? 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 . 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 圆内 圆上 圆外 D 自主探究 例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 例题解析 变式：点M到⊙O上点的最小距离为3cm,最大距离为19cm,那么⊙O的半径为______________. 11cm或8cm O M M 变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标. 自主探究 活动2:过不共线三点作圆 问题1:如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ 问题2:如何过两点A、B作一个圆（关键如何确定圆心）？ 过两点可以作多少个圆？ 问题3:过不在同一直线上的 三点能不能确定一个圆 （关键如何确定圆心）？ 提升:过不在同一直线上的 n个点能确定多少个圆？ 位置关系 有且只有 定理： 不在同一直线上的三个点确定一个 圆. A B C D E G F ●o 归纳总结 点O就是所求作的位置. O N M F E A B C 练一练 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ 你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法: 1、在圆弧上任取三点A、B、C; A B C O 2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心; 3、以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. 1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心： 定义： ●O A B C 外接圆　 内接三角形 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边垂直平分线的交点. 性质： 自主探究 活动3:三角形与圆的关系 通过以上的活动探究发现过不在同一条支线上的三点可以作圆,说明圆与三角形存在对应关系. ●O ●O ●O 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C A B C C A B ┐ 例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 变式 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°， AB＝4，求⊙O的半径为______． 例题解析 D 活动4:探究反证法 思考:通过以上的活动探究发现过不在同一条直线上的三点可以作圆,哪过在同一条直线上的三点能作一个圆吗? l1 l2 A B C P 自主探究 反证法的定义 要点归纳 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∠A+∠B+∠C>180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 例题解析 ∠A+∠B+∠C=180° 1.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A . 上 外 上 2.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ） A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外 B 当堂检测 3.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径为 . 5 4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 70° 5.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A．点P B．点Q C．点R D．点M B 6.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 D C B A O 7.如图，已知 Rt△ABC 中 ，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径. 解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，则O是斜边AB 的中点， 连接OC，则OA=OB=OC. ∵∠C=90°，AC=12 cm，BC=5 cm， ∴ 则OA=6.5 cm. 8.如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点， ∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； (2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中，∠DOA＝90°，∠DAO＝30° ∴OA＝ OD ＝ ,AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 位置关系数量化 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 一个三角形的外接圆是唯一的. 注意：同一直线上的三个点不能作圆 点P在圆环内 r≤d≤R R r P d>r 点在圆外 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 课堂小结 $$