小升初典型奥数：环形路线问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

环形路线问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 第二部分 典型例题 例题1：悦悦和爸爸、妈妈绕环形跑道跑步进行晨练。若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用3分，妈妈跑一圈用4分，悦悦跑一圈用6分，多少分后，悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇？相遇时，他们三人各跑了几圈？ 【答案】12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。 【分析】此题实际上就是求3，4，6的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们在起点第一次相遇的时间；再用他们第一次相遇的时间除以他们各自跑一圈的时间，即可求得各自的圈数。 【解答】解：因为3、4、6的最小公倍数是12， 所以12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇。 12÷3＝4（圈） 12÷4＝3（圈） 12÷6＝2（圈） 答：12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。 【点评】本题考查了公倍数应用题，考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。 例题2：星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】36分钟。 【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，笑笑回到起点用的时间是9分钟的整数倍，则他们第一次同时回到起点就是4和9的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：4和9的最小公倍数是：4×9＝36 那么他们第一次同时回到起点就是36分钟。 答：他们36分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。 例题3：小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过30秒两人相遇。跑道的周长是多少米？ 【答案】300米。 【分析】直接根据数量关系式：路程＝速度和×相遇的时间，列式解答即可。 【解答】解：（4+6）×30 ＝10×30 ＝300（米） 答：跑道的周长是300米。 【点评】此题主要考查速度、时间、路程三者之间的关系解决实际问题。 例题4：小明和小红两人同时从同一地点出发，沿着400米的环形跑道同方向跑步，小明每分钟90米，小红每分钟110米，经过多少分钟小明和小红第一次相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人同向，两人第一次相遇就是小红第一次追上小明需要的时间，用一圈的长度除以他们的速度差，就是经过多少分钟小明和小红第一次相遇． 【解答】解：400÷（110﹣90） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：经过20分钟小明和小红第一次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道的追及问题，根据路程差（一周的长度）÷速度差＝追及时间进行求解即可． 第三部分 高频真题 1．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？ 2．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 3．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 4．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？ 5．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 6．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 7．一个环形跑道长360m，淘淘、壮壮、龙一鸣三人从同一地点同时同方向骑车而行．淘淘每秒行3m，壮壮每秒行4m，龙一鸣每秒行2m．至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？ 8．小明和小华沿着环湖跑道散步，他们从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是80米/分，小华的速度是90米/分，18分钟后两人相距80米。这条跑道长多少米？（两人均未走完一整圈） 9．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 10．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？ 11．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 12．周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？ 13．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？ 14．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 15．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 16．一个池塘绕一圈长1200米，小欣走一圈需要15分钟，小亮走一圈需要12分钟。如果两人从同一起点向相反的方向走，几分钟后两人会第一次相遇？ 17．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 18．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？ 19．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？ 20．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 21．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？ 22．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？ 23．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 24．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 25．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 26．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2019次相遇在哪边？ 27．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 28．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟． （1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？ （2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？ 29．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 30．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 31．环形跑道长400米，莉莉和强强背向而行，莉莉的速度为6米/秒，强强的速度为4米/秒。当莉莉正面和强强相遇时，立刻转向跑；当莉莉追上强强时，强强立即转向跑，两人第11次碰头时离起点多少米？（按较短计算） 32．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 33．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 34．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答） （2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？ 35．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？ 36．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 37．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 38．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？ 39．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 40．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？ 41．一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小金每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，小强第一次追上小金时比小金多跑了多少米？ 42．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答） 43．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 44．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 45．学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？ 46．甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿A﹣B﹣C﹣D﹣A的方向行走．甲的速度每分钟50米，乙的速度是每分钟46米．则甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？ 47．王刚与李明在600米的环形操场上跑步．两人同时出发，反向而行．王刚每秒跑7米，李明每秒跑8米．多少秒后两人相遇？ 48．李强和王刚在环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，相背而行。李强每秒跑4米，王刚每秒跑6米，经过40秒两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）相遇时，李强比王刚少跑多少米？ 49．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。 （1）爷爷一共走了多少分钟？ （2）环形跑道一周长多少米？ 50．甲乙丙三人绕操场步行一圈。甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，如果三人速度不变，并且同时同地出发绕操场步行。那么当他们第一次在出发点相遇时，三人分别走了多少圈？ 51．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？ 参考答案与试题解析 1．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？ 【答案】990米。 【分析】两人同时从同一地点出发，反向而行．李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，每秒两人共跑5+6＝11（米），然后根据速度×时间＝路程解答即可。 【解答】解：（5+6）×90 ＝11×90 ＝990（米） 答：天鹅湖的周长是990米。 【点评】本题考查了行程问题，根据总路程＝速度和×相遇时间进行解答即可。 2．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 【答案】180秒。 【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上张老师时，那么李老师比张老师正好多行360米，然后除以速度差即可。 【解答】解：360÷（6.5﹣4.5） ＝360÷2 ＝180（秒） 答：经过180秒李老师正好比张老师多跑一圈。 【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。 3．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是400÷10＝40米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和为40米/秒，列出方程求解即可． 【解答】解：400÷10＝40（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒，则 x+x+4＝40 2x+4＝40 2x＝36 x＝18 答：原来甲的速度是18米/秒． 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力． 4．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？ 【答案】AD。 【分析】根据路程＝速度×时间，相遇时间相同，两次相遇所走的路程比就是速度比，甲的速度是乙的速度的3倍，甲走过的路程也就是乙走过路程的3倍；第一次相遇，两点总路程为正方形两个边长，所以甲走了个边长，乙走了个边长，即在CD中点相遇，从第二次相遇开始，两点两次相遇间走过的路程和是正方形4个边长，甲走3个边长，乙走1个边长，第二次相遇在AD中点，第三次相遇在AB中点，第四次相遇在BC中点，第五次相遇在CD中点，和第一次相遇地点相同，所以，每4组为一个循环，计算2018除以4的余数，便可知道第2018次相遇在哪边。 【解答】解：设正方形边长为a， 因为甲的速度是乙的速度的3倍， 所以时间相同，甲、乙的路程比为3：1， 第一次相遇，两点路程和为2a，则甲走了a，乙走了a，相遇地点为CD中点； 第二次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AD中点； 第三次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AB中点； 第四次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为BC中点； 第五次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为CD中点； …… 可以发现，每四次循环一次， 2018÷4＝504……2 所以，第2018次相遇地点和第二次的相同，即AD中点。 答：它们第2018次相遇在AD边上。 【点评】本题主要考查了环形跑道多次相遇问题，根据速度比得出两点的路程比，结合正方形四边相等的特性，得出前几次相遇的地点，发现变化规律，是本题解题的关键。 5．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】小红的爸爸妈妈同时从起点出发，到他们第一次在起点相遇的时间，是他们各自跑一圈所用时间6分钟和8分钟的最小公倍数。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是： 2×2×2×3＝24 答：他俩24分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】在起点处相遇，就是爸爸用若个8分和妈妈用若干个6分相好相等，从出发到第一次在起点处相遇的时间就是6分和8分的最小公倍数。 6．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看作相遇问题来解答．第一次相遇时，他俩跑过的路程和是环形跑道一圈的长度，即400米，所以根据速度和＝路程÷相遇时间求出速度和，再减去小丽的速度即可． 【解答】解：400÷40﹣4.5 ＝10﹣4.5 ＝5.5（米/秒） 答：小华每秒跑5.5米． 【点评】此题属于环形跑道上的相遇问题，考查了“路程÷相遇时间＝速度和”这一知识的灵活应用． 7．一个环形跑道长360m，淘淘、壮壮、龙一鸣三人从同一地点同时同方向骑车而行．淘淘每秒行3m，壮壮每秒行4m，龙一鸣每秒行2m．至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程÷速度＝时间这一关系式，先求得淘淘、壮壮、龙一鸣三人骑车1圈所用的时间分别是多少；求至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发；就相当于求他们骑车1圈所用的时间的最小公倍数，然后分解因数解答即可． 【解答】解：360÷3＝120（秒） 360÷4＝90（秒） 360÷2＝180（秒） 120＝30×2×2 90＝30×3 180＝30×2×3 120，90和180的最小公倍数是：30×2×2×3＝360 360秒＝6分钟 答：至少经过6分钟，三人再次从原出发点同时出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用；关键是求出三人骑车1圈所用的时间分别是多少． 8．小明和小华沿着环湖跑道散步，他们从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是80米/分，小华的速度是90米/分，18分钟后两人相距80米。这条跑道长多少米？（两人均未走完一整圈） 【答案】3140米。 【分析】两人均未走完一整圈，说明两人还没相遇，那么他们走的路程和加上相距的80米就是跑道的长度。根据“路程＝速度×时间”，先分别求出他们两人所走的路程，再加上两人相距的80米，由此解答。 【解答】解：80×18+90×18 ＝（80+90）×18 ＝3060（米） 3060+80＝3140（米） 答：这条跑道长3140米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 9．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 【答案】0.5分钟。 【分析】根据题意，王老师和张老师围着环形跑道向相反方向跑的过程，可以看作相遇问题，第一次相遇二人共行路程和为跑道全长360米；利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入，进行计算即可。 【解答】解：360÷（330+390） ＝360÷720 ＝0.5（分钟） 答：经过0.5分钟两人第一次相遇。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 10．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？ 【答案】30分钟。 【分析】由于每相遇一次，快者都比慢者多行300米，则甲乙每次相遇时间是：300÷（120﹣100）＝15分钟，甲丙每相遇一次需要300÷（120﹣70）＝6分钟，乙丙每相遇一次需要300÷（100﹣70）＝10分钟，则他们同时相遇需要的时间应是6、10、15的公倍数。6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。 【解答】解：300÷（120﹣100） ＝300÷20 ＝15（分钟） 300÷（120﹣70） ＝300÷50， ＝6（分钟） 300÷（100﹣70） ＝300÷30 ＝10（分钟） 6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。 答：至少30分钟后，三人又可相聚。 【点评】首先根据路程差÷速度差＝追及时间分别求出三人相遇一次需要的时间是完成本题的关键。 11．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 【答案】（1）； （2）20。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追击时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝20（分钟） 答：20分钟后小明超出老师一整圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 12．周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？ 【答案】至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。 【分析】可以通过求3、4、6的最小公倍数的方法求出再次相遇时间，然后用最小公倍数除以李凯跑一圈各自用的时间，就可求出它们各自跑的圈数 【解答】解：3、4、6的最小公倍数是12，所以至少12分钟后三人在起点再次相遇； 李凯跑了：12÷6＝2（圈） 答：至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。 【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。 13．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？ 【答案】7.5分钟。 【分析】如果甲比乙多跑1圈，那么甲就比乙多跑300米，然后除以两者的速度差即可。 【解答】解：300÷（280﹣240） ＝300÷40 ＝7.5（分钟） 答：经过7.5分钟甲比乙多跑1圈。 【点评】解答本题关键是明确甲比乙多跑300米，然后根据“路程差÷速度差＝追及时间”解答即可。 14．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 【答案】爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【分析】张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的，说明爸爸的速度是张伟速度的，并且张伟和爸爸相向而跑，他们相遇时两人的路程和是跑道的。据此解答。 【解答】解：400300（米） （400﹣100）400 ＝100400 ≈57+400 ＝457（米） （400﹣100）300 ＝100300 ≈43+300 ＝343（米） 答：爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【点评】本题考查环形跑道问题，理解同向而跑与相向而跑的意思是解本题的关键。 15．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【答案】7。 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。 【解答】解：400÷24（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒。 x+x+2 2x+2 2x x＝7 答：甲原来的速度是7米/秒。 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。 16．一个池塘绕一圈长1200米，小欣走一圈需要15分钟，小亮走一圈需要12分钟。如果两人从同一起点向相反的方向走，几分钟后两人会第一次相遇？ 【答案】。 【分析】用一圈的长度除以两人的速度和就得相遇时间。路程÷时间＝速度。据此解答。 【解答】解：1200÷15＝80（米/分） 1200÷12＝100（米/分） 1200÷（100+80） ＝1200÷180 （分钟） 答：分钟后两人会第一次相遇。 【点评】明确相遇问题数量间的关系是解决本题的关键。 17．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周即300米，所以两人相遇所用时间是300÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了300÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米． 【解答】解：300÷（5﹣4.4）×4.4 ＝300÷0.6×4.4 ＝2200（米）， 2200÷300＝7（圈）…100（米） 答：两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前100米． 【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第一次相遇所需时间是完成本题的关键． 18．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？ 【答案】200秒。 【分析】小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒，则小军每秒比小虎多跑（6﹣4＝2）米，又两人同时同地同向而行，那么小军第一次追上小虎时，小军正好比小虎多跑了一周即400米，则距离差÷速度差＝追及时间。据此解答即可。 【解答】解：400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小军第一次追上小虎。 【点评】在环形跑道上的追及问题，根据所行距离差÷速度差＝追及时间进行解答。 19．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？ 【答案】20秒。 【分析】根据“小明和小红的速度和×相遇时间＝环形跑道的长度”可得：用200除以两个人的速度和即可。 【解答】解：200÷（5.2+4.8） ＝200÷10 ＝20（秒） 答：经过20秒两人第一次相遇。 【点评】解答本题关键是明确两人第一次相遇共行了200米。 20．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 【答案】20分钟。 【分析】如果两人同时同地出发，同方向而行，小红超出小丽一整圈，看作单位“1”，然后用1除以两人的速度差就是追及时间。 【解答】解：1÷（1÷4﹣1÷5） ＝1 ＝20（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，20分钟后小红超出小丽一整圈。 【点评】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。 21．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？ 【答案】这个环形跑道长500米。 【分析】根据题意得，环形跑道，反向而行则最后还是会相遇，同时出发则两人相遇时用的时间相等，两人都跑了50秒，跑道的长度等于小明行驶的路程加上小亮行驶的路程，可以用速度和乘时间；列式为（4+6）×50，据此解答即可。 【解答】解：（4+6）×50 ＝10×50 ＝500（米） 答：这个环形跑道长500米。 【点评】本题主要考查了行程问题。相遇问题：路程和＝速度和×时间；追及问题：路程差＝速度差×时间。 22．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？ 【答案】见试题解答内容 【分析】A、B的起始位置有两种可能 （1）A在B后50米，已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒，所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上． （2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒 【解答】解：A、B的起始位置有两种可能 （1）A在B后50米： 已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒， 所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上． （2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒 答：出发25秒或75秒后，AB二人第一次在同一边上． 【点评】本题主要考查环形跑道的追及问题，关键利用路程差、速度差和追及时间之间的关系做题． 23．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 【答案】6分钟。 【分析】由已知条件可知，二人第一次相遇时，乙比甲多跑一周，即600米，又知乙每分钟比甲多跑（400﹣300）米，即可求第一次相遇时经过的时间。 【解答】解：600÷（400﹣300） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：经过6分钟两人第一次相遇。 【点评】明确当两人第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周是完成本题的关键。 24．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲的速度是乙的3倍，即甲乙的速度差是50×2＝100米．现在现在甲在乙前面100米，那么甲的追及距离是1000﹣100＝900米，然后再除以甲乙的速度差可得多少分钟后两人相遇． 【解答】解：（1000﹣100）÷（50×2） ＝900÷100 ＝9（分钟） 答：9分钟后两人相遇． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是求出追及距离和速度差． 25．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么相遇的时候正好行了环湖路一圈的长度，然后除以两个人的速度和就是相遇时间． （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，依依超出妈妈一整圈正好是840米，然后除以以两个人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）840÷（108+92） ＝840÷200 ＝4.2（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而跑，4.2分钟后相遇． （2）840÷（108﹣92） ＝840÷16 ＝52.5（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同向而跑，52.5分钟后依依超出妈妈一整圈． 【点评】此题主要考查了环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同． 26．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2019次相遇在哪边？ 【答案】CB边。 【分析】根据路程＝速度×时间，相遇时间相同，每次相遇所走的路程比就是速度比，乙的速度是甲的速度的4倍，乙走过的路程也就是甲走过路程的4倍；第一次相遇，两点总路程为正方形两个边长，所以甲走了个边长，即在AD相遇，同理求出之后每次相遇甲走的路程，看相遇点的规律，据此得出结论。 【解答】解：方法1：[2+4×（2019﹣1）]÷（1+4）÷4 ＝（2+4×2018）÷5÷4 ＝（2+8072）÷5÷4 ＝8074÷5÷4 ＝403.7（圈） 故甲与乙第2019次相遇时甲共移动了403.7圈，即相遇点在CB边上。 方法2：设正方形边长为a， 因为乙的速度是甲的速度的4倍， 所以相同时间乙走的路程是甲走的路程的4倍， 第一次相遇，两点走的总路程为2a，则甲走了：2aa，相遇点在AD上，距离A点a； 第二次相遇，两点走的总路程为4a，则甲走了：4aa，aaa，此时相遇点在DC上，距离D点a﹣aa； 第三次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，aa＝a，此时相遇点在C点； 第四次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，此时相遇点在CB上，距离C点a； 第五次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，aaa，a﹣aa，此时相遇点在BA上，距离B点a； 第六次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，aaa，a﹣aa，此时相遇点在AD上，距离A点a； …… 可以发现，第六次相遇地点与第一次相遇地点相同，5次为一个循环， 2019÷5＝403……4 所以，第2019次相遇与第四次相遇点相同，在CB边上。 答：它们第2019次相遇在CB边上。 【点评】本题主要考查了环形跑道和多次相遇问题，抓住时间相同时速度比等于路程比，求出前几次相遇点的位置，总结规律，是本题解题的关键。 27．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 【答案】62.8米。 【分析】当猫和老鼠第一次相遇时，两者行驶的路程和应该是圆的周长，先依据C＝πd，求出圆的周长，再依据“时间＝路程÷速度”，求出两者第一次相遇时需要的时间，然后求出两者的速度差，最后根据“路程＝速度×时间”即可解答。 【解答】解：3.14×50÷（21.98+9.42）×（21.98﹣9.42） ＝157÷31.4×12.56 ＝5×12.56 ＝10×6.28 ＝62.8（米） 答：当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了62.8米。 【点评】本题解答起来虽然比较复杂，但是只要明确数量间的等量关系，代入数据即可解答。关键在于明白两者行驶的路程和应该是圆的周长，根据圆的周长公式求出圆的周长，再根据关系式：路程＝速度×时间，解决问题。 28．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟． （1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？ （2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把环形跑道的长度看作单位“1”，用1分别除以甲乙的时间，表示出甲乙的速度，两人分别在圆形跑道的直径两端上；然后用（相遇时的路程）除以两人的速度和就是相遇时间； （2）同理，甲第一次追上乙，就比乙多行圈（追及距离），然后用除以两人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）（1÷4+1÷6） ＝1.2（分钟） 答：相向而行，1.2分钟后相遇． （2）（1÷4﹣1÷6） ＝6（分钟） 答：同向而行，6分钟后甲能够追上乙． 【点评】环形跑道问题，只要注意行驶的方向，不论是相遇还是追及，都要结合共行的路程和追及距离解答． 29．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设最慢的速度为x千米/分钟，则最快的速度为1.2x千米/分钟．速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，说明35分钟速度最快的运动员比速度最慢的运动员多行7千米．根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员35分钟行的距离，根据此路程之差等于7千克即可列方程求出速度最慢的运动员的速度． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最快运动员的速度是1.2千米/分钟．设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米，根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员所行的路程，据此即可列方程解答． 【解答】解：（1）设最慢的运动员的速度为x千米/分钟，则最快的运动员的速度为1.2x千米/分钟 1.2x×35﹣x×35＝7 35×（1.2x﹣x）＝7 35×0.2x＝7 35×0.2x÷35＝7÷35 0.2x＝0.2 0.2x÷0.2＝0.2÷0.2 x＝1 答：最慢运动员的速度是1千米/分钟． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最块运员的速度是1.2千米/分钟 设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米 1.2y﹣y＝1 0.2y＝1 0.2y÷0.2＝1÷0.2 y＝5 35+5＝40（分钟） 答：经过40分钟，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米． 【点评】关键明白，第一次相遇时，快者比慢者多行1周，即7千米；第二次相距1千米时，快者比慢者多行了2千米．根据路程、速度、时间三者之间的关系即可列方程解答． 30．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 【答案】3：1。 【分析】假设环形运动场的周长是300米，反向而行，3分钟后第一次相遇，则两人共行了300米，然后根据“路程和÷相遇时间＝速度和”求出两个人的速度和；同向而行，则6分钟相遇，可知甲比乙多行300米，根据“路程差÷相遇时间＝速度差”求出两个人的速度差，然后根据和差问题公式和比的意义进一步解答即可。 【解答】解：假设环形运动场的周长是300米， 甲乙的速度和为：300÷3＝100（米/分） 甲乙的速度差为：300÷6＝50（米/分） 甲的速度为：（100+50）÷2＝75（米/分） 乙的速度为：（100﹣50）÷2＝25（米/分） 75：25＝3：1 答：甲、乙两人的速度比是3：1。 【点评】完成本题要注意两人同向行时是追及问题，反向行时是相遇问题。 31．环形跑道长400米，莉莉和强强背向而行，莉莉的速度为6米/秒，强强的速度为4米/秒。当莉莉正面和强强相遇时，立刻转向跑；当莉莉追上强强时，强强立即转向跑，两人第11次碰头时离起点多少米？（按较短计算） 【答案】0米。 【分析】第一次相遇是正常的相遇，相遇的时间是400÷（6+4）＝40s，据此求出莉莉和强强二人的路程；但是第二次相遇是追及，追及的时间是400÷（6﹣4）＝200s，可求二人各走的路程，得出莉莉刚好走3圈，强强刚好走2圈。同理，算出第三次、第四次的路程。发现，他们是4次为一个周期循环，用11除以4得出余数，余数3刚好是第三次相遇时的情况，回到了原点。据此解题。 【解答】解：第一次相遇： 400÷（6+4） ＝400÷10 ＝40（秒） 莉莉走的路程：40×6＝240（米） 强强走的路程：40×4＝160（米） 第二次相遇：追击问题，追击路程是400米。 400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 相遇后莉莉走了：200×6＝1200（米） 1200÷400＝3（圈） 强强走了：200×4＝800（米） 800÷400＝2（圈） 第三次相遇时，他们回到了起点处。 第四次相遇：追击问题，在起点处相遇。 第五次就是重复第一次的过程，以此类推。 据此，他们是4次为一个周期， 11÷4＝2（个周期）……3 余数是3，表明第三次相遇时，回到了起点处。 故两人第11次碰头时离起点0米。 答：两人第11次碰头时离起点0米。 【点评】本题的重点是求出一共走的时间，进而求出走的路程，从而确定离起点的距离。 32．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 【答案】6米。 【分析】兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，则两人速度和是每秒1.3+1.2＝2.5（米），两人每共行一周就相遇一次，则相遇第10次需要时间30×10÷（1.3+1.2）＝120（秒），第十次相遇，妹妹已经走了120×1.2＝144 （米）；144÷30＝4（圈）……24（米），然后用30减去24即可解决问题。 【解答】解：第十次相遇时妹妹已经走的路程： 30×10÷（1.3+1.2）×1.2 ＝300÷2.5×1.2 ＝144（米） 144÷30＝4（圈）……24（米） 30﹣24＝6 （米） 答：妹妹还需走6米才能回到出发点。 【点评】此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程。 33．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即7：9；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的（），然后根据分数除法的意义解答即可． 【解答】解：50÷（） ＝50 ＝400（米） 答：学校环形跑道的周长是400米． 【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可． 34．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答） （2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差＝环形场地的路程，列出方程即可求解； （2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程＝环形场地的路程，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有 3x+150＝200×3， 3x+150＝600 3x＝450 x＝150 150+200＝350（米） 答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米． （2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2 ＝（600﹣360）÷1.2 ＝240÷1.2 ＝200（米）， 200﹣150＝50（米）． 答：乙的速度至少要提高每分钟50米． 【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度． 35．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？ 【答案】晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。 【分析】如果同向而行150秒相遇，则相遇时晓晓比星星正好多行一周，然后用300除以150就是他们的速度差。如果背向而行30秒相遇，则相遇时晓晓和星星正好行了一周，然后用300除以30就是它们的速度和，再根据和差公式可得晓晓和星星的速度。 【解答】解：300÷150＝2（米/秒） 300÷30＝10（米/秒） （10+2）÷2 ＝12÷2 ＝6（米/秒） 10﹣6＝4（米/秒） 答：晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。 【点评】首先根据相遇问题及追及问题公式求出它们的速度和与速度差是完成本题的关键。 36．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）分钟；（2）40分钟。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）小明超出爷爷一整圈，即400米，把400米看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（1÷8+1÷10） ＝1 （分钟） 答：相背而行，分钟后相遇。 （2）1÷（1÷8﹣1÷10） ＝1 ＝40（分钟） 答：相向而行，40分钟后小明超出爷爷整整一圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 37．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，分别表示出壮壮的速度（）和爸爸的速度（），然后根据路程和÷速度和＝相遇时间，解答即可． 【解答】解：2小时＝120分钟，1.5小时＝90分钟 1÷（） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时出发，相背而行，至少分钟后相遇． 【点评】此题属于行程问题，明确把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答． 38．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲乙两人第一次相遇．甲行了AC，乙行了BC；第二次相遇，甲行了全程加上BD，乙行了全程加上AD，因此，这个路程和是三个全程，所以全程加上BD是AC的三倍．根据“若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处”说明A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍，据此解答即可． 【解答】解：A与D之间的距离为：60×2＝120（千米）， 甲行第二次相遇时，甲行的路程为：60×3＝180（千米）， B、D之间的距离为：（180﹣120）÷2＝30（千米）， 从A地到B地的全程是：30+120＝150（千米）， 答：从A地到B地的全程是150千米． 【点评】本题主要考查了行程问题中的路程、速度与时间的关系，解答本题的关键是理清二次相遇时甲行的路程是第一次的三倍以及A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍． 39．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）6分；（2）30分。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”，分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程÷速度和＝相遇时间”，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程差÷速度差＝追击时间”，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 ＝6（分） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，6分钟后首次相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝30（分） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，30分钟后小明超出爷爷一整圈。 【点评】本题考查了环形跑道的相遇和追及问题，熟练运用：路程、速度、时间三者的关系是解题的关键。 40．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？ 【答案】不能相遇。 【分析】本题中两人如果能相遇时，两个人的总路程等于环形跑道的长度；小敏的速度加上妈妈的速度得到两人一分钟行走的路程，再乘行走的时间，求出两人的总路程，然后与环形跑道的长度比较即可。 【解答】解：（65+75）×8 ＝140×8 ＝1120（米） 1120米＜1260米 答：8分钟后她们两人不能相遇。 【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。 41．一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小金每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，小强第一次追上小金时比小金多跑了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】小强第一次追上小金时小强比小金多跑了1圈，即400米，由此求解． 【解答】解：环形跑道上，小强第一次追上小金时小强比小金多跑了1圈，即400米． 答：小强第一次追上小金时小强比小金多跑了400米． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度得出是解题关键． 42．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答） 【答案】见试题解答内容 【分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即400米，设笑笑每分钟跑x米，在20分钟跑20x米，淘气跑了240×20米，然后根据笑笑跑的路程﹣淘气跑的路程＝400米列出方程求解． 【解答】解：设笑笑每分钟跑x米，则： 20x﹣240×20＝400 20x﹣4800＝400 20x＝5200 x＝260 答：笑笑每分钟跑260米． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度得出是解题关键． 43．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两人同时同地出发反向跑步，两人在第一次相遇时，由于小强的速度比小明的速度快，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方；据此画图即可； （2）在环形跑道上同时同地同向而行，当小明第一次遇时，也就是小明和小强共跑一圈，先求出两人的速度和，再依据时间×速度＝路程列方程即可解答． 【解答】解：（1）150＞130，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方； （2）设x分钟后两人第一次相遇， （150+130）x＝5600 280 x＝5600 x＝20 答：20分钟后两人第一次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据“路程÷速度和＝相遇时间”解决问题． 44．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑一个来回所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发． 【解答】解：240×2＝480（米） 480÷4＝120（秒）， 480÷5＝96（秒）， 480÷3＝160（秒）， 120、96、160的最小倍数是480； 答：至少经过480秒三人又同时从出发点出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用． 45．学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？ 【答案】10分钟。 【分析】首先用小林每分钟跑的路程减去小方每分钟跑的路程，求出两人的速度之差是多少；然后根据“路程÷速度＝时间”，用250除以两人的速度之差，求出经过几分钟小林超过小方1圈即可。 【解答】解：250÷（150﹣125） ＝250÷25 ＝10（分钟） 答：经过10分钟小林超过小方1圈。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之差是多少。 46．甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿A﹣B﹣C﹣D﹣A的方向行走．甲的速度每分钟50米，乙的速度是每分钟46米．则甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】要使两人在同一边行走，甲乙两人相距距离必须要小于一条边的长度．水池边长：1600÷4＝400米，甲追上乙需要的时间：400÷（50﹣46）＝100分钟，此时甲行了50×100＝5000米，共走了5000÷400＝12条…200米，所以出发之后还要行走200÷50＝4分钟，共计走了100+4＝104分钟；此时甲乙两个人相距400×2﹣104×（50﹣46）＝384米，乙还剩400﹣384＝16米，所以第一次在同一条边上走了16÷46分钟． 【解答】解：1600÷4＝400（米） 400÷（50﹣46）＝100（分钟） 50×100＝5000（米） 5000÷400＝12（条）…200（米） 200÷50＝4（分钟） 100+4＝104（分钟） 故甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟． 400×2﹣104×（50﹣46） ＝800﹣416 ＝384（米） 400﹣384＝16（米） 16÷46（分钟） 答：甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟，第一次在同一边上行走了分钟． 【点评】本题考查环形跑道问题，要理解整个行走过程，理解在一条边上行走的条件． 47．王刚与李明在600米的环形操场上跑步．两人同时出发，反向而行．王刚每秒跑7米，李明每秒跑8米．多少秒后两人相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人反向而行，求相遇时间，就用总路程除以速度和，先把两人的速度相加，求出速度和，再用总路程除以速度和即可求解． 【解答】解：600÷（7+8） ＝600÷15 ＝40（秒） 答：40秒后两人相遇． 【点评】本题考查了环形跑道的相遇问题，相遇时间＝总路程÷速度和． 48．李强和王刚在环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，相背而行。李强每秒跑4米，王刚每秒跑6米，经过40秒两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）相遇时，李强比王刚少跑多少米？ 【答案】（1）400米，（2）80米。 【分析】这是典型的相遇问题。速度和乘时间等于总路程。速度差乘时间等于少跑的路程。 【解答】解：（1）（4+6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：这个环形跑道长400米。 （2））（6﹣4）×40 ＝2×40 ＝80（米） 答：相遇时，李强比王刚少跑80米。 【点评】此类题目的关键是要建立相遇问题的数学模型，速度和乘时间等于总路程。速度差乘时间等于少跑的路程。 49．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。 （1）爷爷一共走了多少分钟？ （2）环形跑道一周长多少米？ 【答案】（1）20分钟； （2）1800米。 【分析】（1）爷爷相遇后8分钟走的路程就是相遇时小强走的路程，用90乘8求出该路程，则两人相遇时的时间是（720÷60）分钟，再加上8分钟就是爷爷一共走的时间。 （2）根据速度乘时间等于路程，即可求出跑道的周长。 【解答】解：（1）8+90×8÷60 ＝8+12 ＝20（分） 答：爷爷一共走了20分钟。 （2）90×20＝1800（米） 答：环形跑道一周长1800米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 50．甲乙丙三人绕操场步行一圈。甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，如果三人速度不变，并且同时同地出发绕操场步行。那么当他们第一次在出发点相遇时，三人分别走了多少圈？ 【答案】甲走了12圈，乙走了15圈，丙走了10圈。 【分析】甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，则三人第一次相遇在出发点的时间是5、4、6的最小公倍数，5、4、6最小公倍数是60，即60分钟后在出发点第一次相遇，由此即能求出相遇时各行了多少周。 【解答】解：[5、4、6]＝60 甲：60÷5＝12（周） 乙：60÷4＝15（周） 丙：60÷6＝10（周） 答：甲走了12圈，乙走了15圈，丙走了10圈。 【点评】本题关键是明确三人在出发点第一次相遇的时间是5、4、6的最小公倍数是完成本题的关键。 51．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为两人是反向跑步，第二次相遇就是两人共跑了2圈，每一圈用时100÷2＝50秒，然后根据“速度和×相遇时间＝路程”列式可求出跑道长（5+3）×50＝400（米）． 【解答】解：（5+3）×（100÷2） ＝8×50 ＝400（米） 答：跑道长400米． 【点评】此题属于相遇问题，考查了“速度和×相遇时间＝路程”这一知识．关键是求出一次相遇时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$