第11讲 圆的方程（8个知识点+7种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第11讲 圆的方程（8个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 知识点2：圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 4.注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 5.求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 知识点3：点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点4：圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 知识点5：圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心， 4.注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 5.求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程． 知识点6：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 知识点7：由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点8：轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 题型1：圆的标准方程特征的理解与掌握 【例题1】（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·江苏南京）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江西鹰潭）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ． 【变式3】（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）求经过两点，且圆心在轴上的圆的方程． 题型2：点与圆的位置关系的判断 【例题2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【变式2】（24-25高二上·上海·课前预习）点与圆的位置关系有三种，设圆的标准方程，点，则 （1）点M在圆上： ； （2）点M在圆外： ； （3）点M在圆内： ． 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 题型3：与圆有关的最值问题 【例题3】（23-24高二上·河南开封·期中）已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（    ） A．3 B．9 C． D． 【变式1】（22-23高二上·辽宁·期中）平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过A，B，C三点，则圆的半径最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知圆，圆，，分别为圆和上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【变式3】（21-22高二上·福建三明·阶段练习）已知直线过直线和的交点. （1）若直线过点，求直线的斜率； （2）若圆过点及，圆面积存在最小值吗？如果存在，求出面积的最小值和此时圆的方程，若不存在，请说明理由. 题型4：二元二次方程与圆 【例题4】（23-24高二上·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【变式2】（22-23高二上·全国·课后作业）圆C：的圆心是 ，半径是 ． 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 题型5：用待定系数法求圆的方程 【例题5】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知四点共圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·山西太原·期中）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆过三个点，，． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标为，求过点的切线方程． 题型6：与圆有关的轨迹问题 【例题6】（23-24高二上·全国·课后作业）若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知是圆上的动点，，为的中点，则点的轨迹方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知动点到点的距离是它到点的距离的一半，求点的轨迹方程． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 题型7：关于点或直线对称的圆 【例题7】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·贵州遵义·期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 一、单选题 1．（20-21高二上·四川成都·期中）已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（    ）. A． B． C． D． 2．（21-22高一下·四川乐山·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·安徽池州·阶段练习）以，为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山西太原·期中）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 10．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 11．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 三、填空题 12．（23-24高二上·福建三明·期末）已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 13．（21-22高二上·重庆黔江·阶段练习）已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 14．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 16．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)已知、，以线段AB为直径． (2)过点，，． 17．（21-22高二上·山东潍坊·期中）已知 的三个顶点 ， 边 的中线所在直线方程为 ， (1)求实数 ； (2)试判断点 与以线段 为直径的圆的位置关系， 并说明理由． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 19．（22-23高二·安徽·单元测试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆的方程（8个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 知识点2：圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 4.注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 5.求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 知识点3：点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点4：圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 知识点5：圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心， 4.注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 5.求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程． 知识点6：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 知识点7：由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点8：轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 题型1：圆的标准方程特征的理解与掌握 【例题1】（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 【变式1】（23-24高二上·江苏南京）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江西鹰潭）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由题可得，进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和半径，进而可得该圆的标准式方程. 【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以圆心和为直径的圆的标准方程是. 故答案为：. 【变式3】（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）求经过两点，且圆心在轴上的圆的方程． 【答案】 【分析】根据圆心在轴上设出圆心坐标和半径，写出圆的方程，然后把与的坐标代入即可求出和的值，写出圆的方程即可． 【详解】设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为， ∵圆经过两点，， ∴，两式相减，可得，解得, 故， ∴圆的方程为. 题型2：点与圆的位置关系的判断 【例题2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论 【详解】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·上海·课前预习）点与圆的位置关系有三种，设圆的标准方程，点，则 （1）点M在圆上： ； （2）点M在圆外： ； （3）点M在圆内： ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 【答案】，点在这个圆上，点不在这个圆上 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上． 【详解】圆心为，半径为5的圆的标准方程是, 因为，所以点的坐标满足圆的方程， 所以点在这个圆上． 因为，所以点的坐标不满足圆的方程， 所以点不在这个圆上（如图）． 题型3：与圆有关的最值问题 【例题3】（23-24高二上·河南开封·期中）已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】设出坐标，由得到，利用对于任意一点都成立，建立方程求解可得点坐标，可得当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大，此时轴，利用可得答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 设，由得， 化简得， 又因为即， 所以，因为对于任意恒成立， 所以，解得，所以， 所以当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大， 此时轴，所以或， 所以的面积为. 故选：A. 【变式1】（22-23高二上·辽宁·期中）平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过A，B，C三点，则圆的半径最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先判断出C点需在第一象限内.可设.设圆心，半径为r，由，得到，利用基本不等式求出，圆M的面积最小. 【详解】为使圆M的面积尽可能小，则C点需在第一象限内. 可设. 因为，，所以线段AB的垂直平分线方程为. 所以圆心在直线上. 设圆心，半径为r，则， 所以， 所以， 所以（当且仅当，即时等号成立）. 所以. 此时，圆M的面积最小. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知圆，圆，，分别为圆和上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得圆关于轴的对称圆，再利用两圆圆心距减去两圆半径之和，即可求得的最小值. 【详解】 圆，圆心坐标，半径为， 则圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为， 又圆的圆心坐标，半径为， 的最小值为圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和， 即：． 故答案为:． 【变式3】（21-22高二上·福建三明·阶段练习）已知直线过直线和的交点. （1）若直线过点，求直线的斜率； （2）若圆过点及，圆面积存在最小值吗？如果存在，求出面积的最小值和此时圆的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，面积最小值为，方程为. 【分析】（1）先求得点的坐标，由此求得直线的斜率. （2）设圆心的坐标为，结合的中垂线方程求得的关系式，再结合二次函数的性质求得的最小值，从而求得圆面积的最小值以及此时对应的圆的方程. 【详解】（1）由题意可知：联立方程组， 解得，即交点， 又因为直线过点，所以直线的斜率为：. （2）设圆心的坐标为，在的垂直平分线上. ∵，､的中点， ∴的中垂线的方程为，即， ∴即， 半径， 当时，取得最小值. 圆心为，圆的方程为. 题型4：二元二次方程与圆 【例题4】（23-24高二上·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一般二元二次方程表示成圆的充要条件逐一判断每个选项即可得解. 【详解】对于A，，方程表示的图形是一个点； 对于B，，，方程不表示圆； 对于C，，，当时，方程不表示圆； 对于D，，，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是D选项中的方程． 故选：D． 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 【变式2】（22-23高二上·全国·课后作业）圆C：的圆心是 ，半径是 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出答案. 【详解】将圆方程化为标准方程可得，. 所以，圆心，半径. 故答案为：；. 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是圆心坐标为，半径为5的圆的方程 (2)是圆心坐标为，半径为的圆的方程 (3)不是圆的方程，理由见解析 【分析】（1）将方程配方成圆的标准方程的形式，可知其表示的是以为圆心，半径为5的圆； （2）将方程两边除以4，化简可得其表示的是圆心坐标为，半径为的圆； （3）通过配方可知方程无解，即其表示的不是圆的方程. 【详解】（1）原方程可以化为， 即，是圆的方程； 圆心坐标为，半径为5． （2）方程两边除以4，得． 将左边配方，得，是圆的方程； 即圆心坐标为，半径为． （3）因为原方程可以化为，即， 又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程 题型5：用待定系数法求圆的方程 【例题5】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知四点共圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三点求出圆的方程，再把代入方程即可求解 【详解】设过四点的圆的方程为， 将代入可得： ，解得， 所以圆的方程为， 将代入圆的方程得， 解得， 故选：D 【变式1】（21-22高二上·山西太原·期中）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，再待定系数求解即可． 【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为， 因为所求圆过点， 所以，解得： 所以所求圆的方程为： 故选：A 【变式2】（23-24高二·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆过三个点，，． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标为，求过点的切线方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可； （2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求解． 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将三个点，，代入得， 解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程为． （2）圆：的圆心，半径， 当切线斜率不存在时，易知切线方程为， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则依题意可得，解得， 此时切线方程为，即， 综上所述，过点的切线方程为和 题型6：与圆有关的轨迹问题 【例题6】（23-24高二上·全国·课后作业）若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用对称求得，再根据题意给出的几何特征建立方程化简即可. 【详解】设圆的圆心关于直线y＝x－1的对称点是， 则由题意可得，计算可得， 由题知它是圆的圆心，所以a＝2. 设点P的坐标为（x，y），则有，化简得. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知是圆上的动点，，为的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由为的中点，得， 由点在圆上，得，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知动点到点的距离是它到点的距离的一半，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点的坐标为，由题意可得，利用平面内两点间的距离公式可得出关于、所满足的等式，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】解：设动点的坐标为，由题意可得， 所以，，整理可得， 因此，点的轨迹方程为. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】由三角形的角平分线的性质，得到，设点，根据向量的坐标表示，得到，代入圆的方程，即可求解. 【详解】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 题型7：关于点或直线对称的圆 【例题7】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 【变式2】（21-22高二上·贵州遵义·期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先将已知圆的方程化为标准形式，求得圆心坐标(2,2)和半径2，然后可根据直线的位置直接看出(2,2)点的对称点，进而写出方程. 【详解】圆的标准方程为， 圆心(2,2),半径为2， 圆心(2,2)关于直线的对称点为原点, 所以所求对称圆的标准方程为， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 【答案】 【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程. 【详解】由可得， 故圆心坐标为 ，半径为1， 设点P关于直线的对称点为 ， 则有 ，解得，故 ， 所以圆关于直线的对称圆的方程为：. 一、单选题 1．（20-21高二上·四川成都·期中）已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】由题意，， 在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M， 设，则， ∴，即：， 故选：C. 2．（21-22高一下·四川乐山·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为3 设点关于直线的对称点为， 则 ，解之得 则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为 则该圆的方程为， 故选：D． 3．（20-21高二上·安徽池州·阶段练习）以，为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆心为中点，半径为，即可求出圆的标准方程，转化为一般方程即可. 【详解】中点为， ， 所以以，为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为， 整理得：， 所以以，为直径的圆的方程为， 故选：A 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】以为圆心，2为半径的圆的标准方程是, 故选：B 6．（23-24高二上·山西太原·期中）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标. 【详解】圆可化为， 所以圆心坐标为. 故选：D 7．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】化圆的一般方程为标准方程即可得解. 【详解】由可得圆的标准方程：， 故圆的半径为3. 故选：C 8．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为， 因为线段的中点在直线上，则，即， 又因为，且直线的斜率为，则，解得. 故所求圆的方程为. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【答案】AC 【分析】先计算圆P的圆心及半径，在利用点到圆心的距离与半径的大小关系一一判定即可. 【详解】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 易知，，，， 所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内． 故选：AC． 10．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可. 【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确； 对于B，由于，故圆C必定不过，B错误； 对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 【答案】ABD 【分析】根据圆的标准方程、圆的一般方程及点与圆的位置关系判断即可. 【详解】A，圆的方程都能写成一个二元二次方程,A正确； B，圆的一般方程和标准方程是可以互化的，B正确； C，不表示圆，方程可化为，故不表示圆，而表示点，C错误； D，因为点在圆外，所以， 即，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二上·福建三明·期末）已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆心坐标和半径可得. 【详解】因为圆心的坐标为，， 所以该圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（21-22高二上·重庆黔江·阶段练习）已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【答案】 【分析】求出的范围，由直线过圆心可得答案. 【详解】由已知得，解得或， 圆C:，圆心为， 若圆C关于直线对称，则， 解得，所以圆心坐标为 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般方程可求得两圆半径和圆心距，易知，当时的面积最大. 【详解】因为圆化为标准方程为； 圆心，半径， 圆化为标准方程为； 圆心，半径， 可得，； 则面积； 当，即时， 的面积最大，其最大值为． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程； （2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程． 【详解】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 16．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)已知、，以线段AB为直径． (2)过点，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）设圆的一般方程，列方程求解，进而可得圆的方程. 【详解】（1）因为点、， 所以线段AB的中点坐标为，即，所以圆心为， ，即半径为， 所以圆的标准方程为． （2）设圆M的一般方程为， 将A、B、C三点坐标代入圆M的一般方程得，解得， 所以圆M的一般方程为，圆M的标准方程为. 17．（21-22高二上·山东潍坊·期中）已知 的三个顶点 ， 边 的中线所在直线方程为 ， (1)求实数 ； (2)试判断点 与以线段 为直径的圆的位置关系， 并说明理由． 【答案】(1) (2)点C在以AB为直径的圆外，理由见解析 【分析】（1）求出AC的中点坐标代入中线方程即可得解； （2）求出及AB的中点坐标，得到圆的方程，利用点与圆的位置关系判断即可. 【详解】（1）由题意可得，AC的中点坐标为D（2）． 所以． 所以； （2）由已知可得AB的中点坐标为（6，5） 得． 所以以AB为直径的圆的方程为， 因为，． 所以点C在以AB为直径的圆外． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可； （2）设坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用坐标表示M坐标，消参化简即可. 【详解】（1）圆，整理可得标准方程为， 圆的圆心坐标为，半径为2． 设直线的方程为，即， 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 解得， 即的取值范围是； （2）由（1）知直线的方程为，． 设, 将直线与圆的方程联立，可得． 由根与系数的关系可得，所以． 线段的中点的轨迹的参数方程为， 其中，则，即 消去得， 线段的中点的轨迹的方程为，其中． 19．（22-23高二·安徽·单元测试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【详解】（1）解：设圆C的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得， 即圆C的方程为， ∴圆C的标准方程为． （2）解：由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即． ∴圆的标准方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$