精品解析：北师大版2024-2025学年七年级数学下册第一次月考数学试题

七年级下学期数学第一次月考试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子不正确是（　　） A. a3+a2＝a5 B. a2•a3＝a5 C. （a3）2＝a6 D. a3÷a2＝a 2. 下列式子可用平方差公式计算的是：（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子正确的是（　　） A. （﹣x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 B. （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab C. （﹣4m2）3＝﹣4m6 D. 4. 黎老师做了个长方形教具，其中长为，宽为，则该长方形教具的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 6. 如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（　　） A. 50° B. 60° C. 140° D. 160° 7. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的关系一定是（ ） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 互为对顶角 9. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 45 B. 90 C. D. 10. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 二、填空题（每题3分，共24分） 11. ______；______；_____． 12. 若，，则______． 13. 已知 ，则 的值为_______． 14. 若与的积不含的一次项，则的值应是_________． 15. 如图，已知∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝60°，则∠4＝_____度． 16. 如图，已知，平分，，则__________． 17. 如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____度． 18. 如图所示，小红用一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则_____． 三、解答题 19. 计算 ： （1） （2） 20. 先化简，再求值 （1），其中． （2），其中， 21. （1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 ．（用式子表达） （2）运用你所学到的公式，计算下列各题： ① ② 22. 如图，要把水渠中水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由 23 如图，已知、，求作．使．（不写作法，保留作图痕迹） 24. 如图，，，，求． 25. 如图，是平分线， ，，你能算出、的度数吗？ 26. 如图所示，B、E分别是线段，上的点，交于，交于，且，．求证：． 27. 观察下面的几个算式，你发现了什么规律？ ① ② ③ （1）按照上面的规律，迅速写出答案． （2）用公式证明上面所发现的规律．(提示：可设这两个两位数分别是、，其中) 则 （3）简单叙述以上所发现规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期数学第一次月考试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子不正确是（　　） A. a3+a2＝a5 B. a2•a3＝a5 C. （a3）2＝a6 D. a3÷a2＝a 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】A. 不是同类项，不能合并，选项错误； B. a2•a3＝a5，正确； C. （a3）2＝a6， 正确； D. a3÷a2＝a，正确. 故答案选：A. 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方. 2. 下列式子可用平方差公式计算是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A，括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误； B，括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误； C，a的符号相同，b的符号相反，符合公式特点，故此选项正确； D，括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误． 故选C． 考点：平方差公式． 3. 下列式子正确的是（　　） A. （﹣x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 B. （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab C. （﹣4m2）3＝﹣4m6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的乘法公式、同底数幂的乘方法则分别进行计算即可得到答案． 【详解】A． (−x−y)(x+y)=−(x+y)2=−x2−2xy−y2，所以A选项错误； B． (a−b)2+4ab=a2−2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2，所以B选项正确； C． (−4m2)3=−64m6，所以C选项错误； D． 9x3y2÷(−x3y)=−27y，所以D选项错误． 故选∶B． 【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算． 4. 黎老师做了个长方形教具，其中长为，宽为，则该长方形教具的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求长方形的周长以及整式加减运算的应用． 【详解】解：∵长方形教具的长为，宽为, ∴长方形教具的周长为． 故选：A. 5. 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可得． 【详解】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，掌握体育常识和垂线段公理是解题关键． 6. 如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（　　） A. 50° B. 60° C. 140° D. 160° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵直线a，b相交于点O，若∠1=， ∴∠2＝（180－40）°＝140 °； 故选C． 7. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可得的值，再根据“对顶角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图所示，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的关系一定是（ ） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 互为对顶角 【答案】B 【解析】 【分析】由对顶角相等，得，根据垂直定义求解； 【详解】解：如图，， ∵， ∴. ∴与互余． 故选：B 【点睛】本题考查互余的定义，垂直的定义，对顶角相等；由图形观察到角之间的位置关系是解题的关键． 9. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 45 B. 90 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．根据完全平方公式，即可以算出的值． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角． 【详解】解：根据定义一个角的补角是150°， 则这个角是180°﹣150°＝30°， 这个角的余角是90°﹣30°＝60°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. ______；______；_____． 【答案】 ①. ②. 1 ③. 10 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，零指数幂和负整数指数幂的意义，根据同底数幂的除法法则可计算第一个算式，逆用积的乘方法则可计算第二个算式，根据零指数幂和负整数指数幂的意义可计算第三个算式． 【详解】解：， ， ． 故答案为：，1，10． 12. 若，，则______． 【答案】52 【解析】 【分析】根据求出结果即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 13. 已知 ，则 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆应用，同底数幂的除法逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】∵，且， ∴， 故答案为：． 14. 若与的积不含的一次项，则的值应是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则，正确化简整式．根据整式的乘法展开，再合并同类项，不含x的一次项，则x的系数为0，求解即可． 【详解】解：， ∵与的积不含的一次项， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝60°，则∠4＝_____度． 【答案】60 【解析】 【详解】∵∠1=70°，∠2=70°， ∴a∥b， 又∵∠3=60°， ∴∠4=∠3=60° 故答案为60 16 如图，已知，平分，，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据算出，然后根据算出，再由平分，可得，然后用外角计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查平行线的性质应用，借助平行线性质，角平分线定义和三角形外角计算角度是解题的关键． 17. 如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____度． 【答案】70 【解析】 【详解】解：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°， 在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°-∠1-∠ACB=70°． 又∵a//b， ∴∠3=∠ABC=70°． 故答案为：70. 18. 如图所示，小红用一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下， ， ， ∵， ， 故答案为： 三、解答题 19. 计算 ： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式分别根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可； （2）原式分别根据平方差公式和多项式乘以多项式法则将括号展开，再合并即可． 【小问1详解】 = = = = 【小问2详解】 = = = 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式和运算法则是解答本题的关键． 20. 先化简，再求值 （1），其中． （2），其中， 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练地进行计算． （1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答； （2）先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 21. （1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 ．（用式子表达） （2）运用你所学到的公式，计算下列各题： ① ② 【答案】（1） （2）① 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键. （1）本题需先根据图中所给的数据，再根据面积公式进行计算，再与两边的图形进行比较，即可求出答案. （2）本题需先根据完全平方公式、平方差公式的求法，分别进行计算，即可求出答案. 【详解】（1） 根据题意得：； 故答案： （2） ； ． 22. 如图，要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由 【答案】过点作渠岸的垂线，与渠岸交点就是开沟的位置，图见解析，理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线中，垂线段最短． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂线段最短等知识，过点作渠岸的垂线，与渠岸交点就是开沟的位置，掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：过点作渠岸的垂线，与渠岸交点就是开沟的位置，如图： 理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线中，垂线段最短． 23. 如图，已知、，求作．使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作∠ABD=∠DBE=α，再作∠CBE=β即可． 【详解】解：如图，∠ABC即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 24. 如图，，，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 先利用同位角相等，得两直线平行，再根据平行线的性质进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，是的平分线， ，，你能算出、的度数吗？ 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，由，，得到，，由是的平分线，得到，，再进一步得到，，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ， ∴，． 26. 如图所示，B、E分别是线段，上的点，交于，交于，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．由，易证得，则，通过等量代换，可求出，即可证得． 【详解】证明：，， ， ， ， 又， ， ． 27. 观察下面的几个算式，你发现了什么规律？ ① ② ③ （1）按照上面的规律，迅速写出答案． （2）用公式证明上面所发现的规律．(提示：可设这两个两位数分别是、，其中) 则 （3）简单叙述以上所发现的规律． 【答案】（1），，， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键. （1）由一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）归纳总结得到的规律用，及表示出来，左右两边化简后可得出左右两边相等，得证. （3）用语言叙述规律即可． 【小问1详解】 ， ， ， ； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 发现的规律为：， 证明： ∴等式左边 ， 右边， ∴左边=右边， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 十位数字相同，个位数字之和为10的两个两位数相乘，他们的乘积为十位数字乘以十位数字加1的100倍加上两个个位数字的乘积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$