精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末综合试题

北师大版七年级数学下册期末试题 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 如图手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ） A. 不可能抽到 B. 可能抽到 C. 很有可能抽到 D. 一定能抽到 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一副三角板的一边重合，得到四边形，过点作直线AE//BC，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8 A. y随x的增大而增大 B. 质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm C. 不挂物体时，弹簧的长度为6cm D. 质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm 6. 如图，已知，要使得，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（　　） A. B. C. D. 7. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（　　） A. （m﹣60）° B. （180﹣2m）° C. （2m﹣90）° D. （120﹣m）° 10. 如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值必（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为________． 12. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有____________个. 13. 计算： _______ 14. 如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒4度和每秒1度的速度同时逆时针旋转，转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在直线垂直时，的值为______． 15. 如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；⑧；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是______．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：． （2）先化简再求值：，其中． 17. 数学课上，老师给出如下问题： 直线、相交于点O，，平分，射线，求的度数． 小丽：以下是我的解答过程（部分空缺）． 解：如图1，因为射线，所以． 因为与互补，，所以． 因为平分，所以． 因为是直线下方的一条射线，所以． （1）请补全小丽的解答过程； （2）小聪说：“小丽解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种情况，并解答． 18. 如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC距离相等． 19. 已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）琳琳家离药店距离为________km； （2）琳琳邮寄物品用了________min； （3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 20. 已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE． 21. 口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： （1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 22. 如图所示，若 MP和 NQ 分别垂直平分AB和 AC． （1）若△APQ的周长为12，求 BC的长； （2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数． 23. 已知：如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，平分，且，求的度数． 24. （1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 25. 如图，已知，点D是BC上一点，． 图1 图2 （1）如图1，若，，求证： ① ② （2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版七年级数学下册期末试题 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 如图手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ） A. 不可能抽到 B. 可能抽到 C. 很有可能抽到 D. 一定能抽到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断． 【详解】解：5张红桃、4张梅花、3张黑桃共12张牌， 即，梅花、黑桃共7张牌， 从中一次随机抽出8张，红桃这种花色一定能抽到，是必然事件， 故选：D． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方、平方差公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 4. 如图，一副三角板一边重合，得到四边形，过点作直线AE//BC，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，由可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质，以及三角板的性质，解题的关键是掌握相关基本性质． 5. 已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8 A. y随x的增大而增大 B. 质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm C. 不挂物体时，弹簧的长度为6cm D. 质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm 【答案】C 【解析】 6. 如图，已知，要使得，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的证明条件，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．根据证明即可． 【详解】解：在，中， ， ， 故选B． 7. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零即可得出答案． 【详解】∵ ， 又∵计算的结果不含项， ∴． ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 8. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质和内角和定理，掌握相关的知识是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得，根据内角和定理可得，根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（　　） A. （m﹣60）° B. （180﹣2m）° C. （2m﹣90）° D. （120﹣m）° 【答案】A 【解析】 【分析】如图连接AE．证明△ADC≌△ADE（SAS），推出A，D，E，B四点共圆，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AE． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠ABC＝60°， ∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°， ∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°， ∴∠ADC＝∠ADE， ∵AD＝AD，DC＝DE， ∴△ADC≌△ADE（SAS）， ∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE， ∴∠DEA＝∠DBA， ∴A，D，E，B四点共圆， ∴∠DBE＝∠DAE＝∠DAC＝（m﹣60）°， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 10. 如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值必（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系． 根据题意可知应付款为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用． 【详解】解：由题意得：， 化简得：， 故答案为：． 12. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有____________个. 【答案】1 【解析】 【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得． 【详解】解：设布袋里红球有x个， 由题意得：，解得：， 经检验是原方程的解． ∴布袋里红球有1个， 故答案为：1． 【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键． 13. 计算： _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 14. 如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒4度和每秒1度的速度同时逆时针旋转，转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在直线垂直时，的值为______． 【答案】25或85 【解析】 【分析】将AC与DF平移至一点，用追击问题的思想，找到等量关系即可求解． 【详解】∵a//b， ∴BC//EF ， 将AC与DF平移至一点，如简图 旋转360°停止 ∵4t=360° ∴t=90s停止 初始角度差为 再AC未追上FD时 解得t=25 AC追上FD后 解得t=85 综上所述：t=85或t=25 故答案为：t=85或t=25 【点睛】此题考查图形旋转的性质，可以看作是追击问题来求解，找到等量关系是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；⑧；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是______．（填序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又BE、AE都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明，再根据全等三角形的性质得到，然后证明，从而证明①②⑤正确，AB与CD不一定相等，所以③④不正确． 【详解】解：， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ， 故①正确； 如图，延长交延长线于， ， ， 平分 ， 在与中， ， ， ，， ，， 在与中， ， ， ， ，故②正确； ， ，即点为的中点， 与不一定相等， 与不一定相等，故③错误； 若，则是斜边上的中线，则， 与不一定相等， 与不一定相等，故④错误； ，， 的取值范围为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②⑤； 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：． （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2）；2024 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的化简求值． （1）先化简绝对值，计算负整数次幂，再计算乘除法，最后计算加减法． （2）先运用平方差公式以及完全平方公式化解，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：（1）原式 ． (2)原式 ∵， 原式 17 数学课上，老师给出如下问题： 直线、相交于点O，，平分，射线，求的度数． 小丽：以下是我的解答过程（部分空缺）． 解：如图1，因为射线，所以． 因为与互补，，所以． 因为平分，所以． 因为是直线下方的一条射线，所以． （1）请补全小丽的解答过程； （2）小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种情况，并解答． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了互补，角平分线， （1）根据垂直的定义得，再根据互补得，根据角平分线的定义得，根据是直线下方的一条射线即可得； （2）根据垂直的定义得，再根据互补得，根据角平分线的定义得，根据是直线下方的一条射线即可得 掌握互补，角平分线，角的和差关系，分情况讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图1所示， 因为射线，所以． 因为与互补，，所以． 因为平分，所以． 因为是直线下方的一条射线，所以； 故答案为：，，，． 小问2详解】 解：如图所示， 因为射线，所以． 因为与互补，，所以． 因为平分，所以． 因为是直线下方的一条射线，所以． 18. 如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用角平分线的性质，作∠ABC的平分线与直线l的交点解答即可． 【详解】（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）如图所示：点P即所求． 【点睛】本题考查轴对称作图，及角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题关键． 19. 已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）琳琳家离药店的距离为________km； （2）琳琳邮寄物品用了________min； （3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 【答案】（1）2.5； （2）20； （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． （1）因为琳琳从家直接到药店，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为药店离琳琳家的距离； （2）观察函数图象的横坐标，可得琳琳在邮局停留的时间； （3）根据“速度=路程÷时间”即可得出步行的速度； 【小问1详解】 由图象可知，琳琳家离药店的距离为， 故答案为：2.5； 【小问2详解】 由图象可知，琳琳邮寄物品用了：（分钟）， 故答案为：20； 【小问3详解】 从邮局步行回家的路程为，时间为，所以速度为：． 20. 已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】根据AF∥CE得到∠AFD＝∠CEB，再根据BF＝DE得到BE＝DF，可证明△ADF≌△CBE，即可证得AF＝CE． 【详解】证明：∵AF//CE ∴∠AFD＝∠CEB， ∵BF＝DE， ∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF， ∵∠B＝∠D， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF＝CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过条件证得△ADF≌△CBE是解题关键． 21. 口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： （1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【答案】（1）； （2）取走3个白球． 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （1）根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，解出的值即可． 【小问1详解】 解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且， ； 【小问2详解】 解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个， 根据题意得，， 解得， 答：取走3个白球． 22. 如图所示，若 MP和 NQ 分别垂直平分AB和 AC． （1）若△APQ的周长为12，求 BC的长； （2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数． 【答案】（1）12；（2）30°． 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质证PA=PB，QA=AC． （2）结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ． ∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC． ∵△APQ的周长为12， ∴BC＝12． （2）∵AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ． ∵∠BAC＝105°， ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°． ∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°． 23. 已知：如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，平分，且，求的度数． 【答案】（1），理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质求解，即可得到答案； （2）由角平分线的定义，得到，根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ， ， ，， ， ， ， 平分， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是找出角度之间的数量关系，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 24. （1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 【答案】（1） （2） （3）64 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算的应用，关键是割补思想的应用； （1）由，结合整式的乘法即可求解； （2）由，结合整式的乘法即可求解； （3）利用（1）（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）连接，如图3， 由（1）可得的面积， 由（2）可得：三角形面积为， 所以，的面积， 故答案为：64． 25. 如图，已知，点D是BC上一点，． 图1 图2 （1）如图1，若，，求证： ① ② （2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立． 【答案】（1）①证明见解析②证明见解析 （2）当时，总有成立 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明是解题的关键． （1）①根据，得到，证明即可． ②在上截取，连接，证明即可得到 ． （2）在上截取，连接，证明即可得到． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴ ∴． ②在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 由①知：， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 当时，总有成立．理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴，即：， ∵，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$