5.3 一元一次方程应用的九种类型 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

北师版 七年级上 复习提分拔尖特训 一元一次方程应用的九种类型 类型1 和、差、倍、分问题 1. [真实情境题·生活应用]北京城市副中心“三大文化建筑” 之一的北京城市图书馆总建筑面积约7.5万m2，藏书量达 800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室.图书馆内的 功能区设置阅览坐席，方便读者使用.其中，山间阅览 区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1 900个，非 遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为2∶3，山间 阅览区的坐席数比少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山 间阅览区、非遗文献馆，少年儿童馆的坐席数量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设非遗文献馆的坐席数为2 x 个，则少年儿童馆的 坐席数为3 x 个，山间阅览区的坐席数为(12 x ＋200)个， 根据题意得2 x ＋3 x ＋12 x ＋200＝1 900， 解得 x ＝100. 所以2 x ＝200，3 x ＝300，12 x ＋200＝1 400. 故非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆的坐席数为 300个，山间阅览区的坐席数为1 400个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. [2024西安雁塔区模拟]以绳测井.若将绳三折测之，绳多 五尺；若将绳四折测之，绳多半尺.则井深几何？题目大 意：古人用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份 测量，绳子比井深多五尺；如果将绳子折成四等份测量， 则绳子比井深多半尺.求此水井的深度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设井深为 x 尺，则绳长为3( x ＋5)尺或4( x ＋ )尺， 依题意，得3( x ＋5)＝4 ， 解得 x ＝13. 所以井深为13尺. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型2 工程问题 3. [新情境·娱乐活动]哈尔滨冰雪大世界始创于1999年，是由 哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动而推出的精 品工程.2024年哈尔滨冰雪大世界再升级，引爆冬日欢乐 与热情.某一主题冰雕的建造过程中需要采冰1 300 m3， 乙队采冰6天后，为了加快进度，甲队加入，两队合作采 冰8天完成剩余的任务.已知甲队的工作效率是乙队工作效 率的1.5倍，甲、乙两队平均每天能采冰的体积分别是多 少立方米？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设乙队平均每天能采冰的体积是 x m3，则甲队平均 每天能采冰的体积是1.5 x m3， 由题意得6 x ＋8( x ＋1.5 x )＝1 300，解得 x ＝50. 所以1.5 x ＝75. 所以甲队平均每天能采冰的体积是75 m3，乙队平均每天 能采冰的体积是50 m3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲、乙两个 工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个 教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教 室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该 学校要付甲工程队每天费用1 600元，付乙工程队每天费 用2 600元. (1)求风华中学一共有多少个教室？ 【解】设风华中学一共有 x 个教室， 由题意得 － ＝20，解得 x ＝120. 所以风华中学一共有120个教室. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队 停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的 全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多16天， 求乙工程队共粉刷多少天？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设乙工程队共粉刷 y 天，则甲工程队粉刷了 天， 由题意得2× ＋3 y ＝120，解得 y ＝34. 所以乙工程队共粉刷34天. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型3 配套问题 5. 在手工制作课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作 圆柱形茶叶筒.七年级一班共有学生50人，每名学生每小 时剪筒身40个或剪筒底120个.要求一个筒身配两个筒底， 那么安排 人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒 底配套. 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意，得2×40 x ＝120(50－ x )， 解得 x ＝30. 所以安排30人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒 底配套. 【点拨】 设安排 x 人剪筒身，则(50－ x )人剪筒底， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. [2024重庆实验外国语学校二模]某汽车工厂现有一批汽车 配件订单需交付，若全部由1名工人生产需要150天才能完 成.为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3 天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批 订单的生产任务.假设每名工人的工作效率相同. (1)前3天应先安排多少名工人生产？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设前3天应先安排 x 名工人生产，每名工人的工 作效率为 b ， 根据题意得150 b ＝3 bx ＋5 b ( x ＋6)，解得 x ＝15. 所以前3天应先安排15名工人生产. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生 产600个 A 型配件或650个 B 型配件，如果3个 A 型配件 和2个 B 型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产 的 A 型和 B 型配件刚好配套，应安排生产 A 型配件和 B 型配件的工人各多少名？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】由题意，得总共有15＋6＝21(名)工人生产. 设安排 a 名工人生产 A 型配件，则安排(21－ a )名工人 生产 B 型配件， 根据题意得 ＝ ，解得 a ＝13. 21－13＝8(名). 所以应安排13名工人生产 A 型配件，安排8名工人生产 B 型配件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型4 数字问题 7. [新视角·新定义题·2024·太原小店区期末]定义：对于一个 两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其 个位和十位上数字和的 n 倍( n 为正整数)，我们就说这个 自然数是一个“ n 喜数”.例如：27就是一个“3喜数”， 因为27＝3×(2＋7)；25就不是一个“ n 喜数”，因为 25≠(2＋5) n .小晖发现十位数字是个位数字2倍的两位数 都是“ n 喜数”，则 n 的值为(　B　) B A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【点拨】 设个位数字为 a (0＜ a ＜5)，则十位数字为2 a ， 由定义得10×2 a ＋ a ＝ n ( a ＋2 a )， 解得 n ＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. [母题·教材P146习题T11]一个三位数，十位数字比个位数 字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位数字与个 位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495.求 原来的三位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设原三位数的个位数字为 x ，则十位数字是 x ＋2，百位数字是2( x ＋2)， 由题意，得100×2( x ＋2)＋10( x ＋2)＋ x －[100 x ＋ 10( x ＋2)＋2( x ＋2)]＝495，解得 x ＝1. 所以原三位数的个位数字为1，十位数字为3，百位数 字为6. 所以原来的三位数是631. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型5 日历问题 9. [2024邯郸模拟]如图是2024年2月的日历表. (1)在图中用优美的U形框“ ”框住五个数，其中最小的 数为1，则U形框中的五个数字之和为 ⁠. 38　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的五个数 字，设最小的数字为 x ，用代数式表示U形框框住的五 个数字之和为 ⁠. 【点拨】 U形框框住的五个数字分别是 x ， x ＋7， x ＋15， x ＋2， x ＋9， 5 x ＋33　 所以U形框框住的五个数字之和为 x ＋ x ＋7＋ x ＋ 15＋ x ＋2＋ x ＋9＝5 x ＋33. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为 113吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能， 请说明理由. 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】框住的五个数字之和不可以为113.理由如下： 设最小的数字为 y ，由(2)可知这五个数字之和为5 y ＋ 33， 所以5 y ＋33＝113，解得 y ＝16， 所以框住的五个数字中最小的是16，由图可知，不能 框出这样的五个数字. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型6 方案选择问题 10. [2024周口模拟]某学校为了丰富学生课后服务活动的多 样性，计划购入 A ， B 两种葫芦丝，某商店 A 种葫芦丝 每支20元， B 种葫芦丝每支30元，且购买 A 种葫芦丝的 数量比 B 种葫芦丝的2倍还多10支，总花费为1 950元. (1)求购买 A 种、 B 种葫芦丝的数量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设购买 B 种葫芦丝的数量为 a 支，则购买 A 种 葫芦丝的数量为(2 a ＋10)支， 由题意得20(2 a ＋10)＋30 a ＝1 950，解得 a ＝25. 所以2 a ＋10＝60， 所以购买 A 种葫芦丝的数量为60支，购买 B 种葫芦丝 的数量为25支. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)该商店在10月1日举行促销优惠活动，当天到该商店 购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡 成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按 商品价格的八折销售；方案二：若不购买会员卡，则 购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折销 售.已知该学校在10月1日之前不是该商店的会员.请 问购买葫芦丝的花费是多少元时，两种方案优惠完后 的花费相同？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设购买葫芦丝的花费是 x 元， 则按方案一购买的花费为168＋0.8 x ；按方案二购买 的花费为0.95 x ， 因为两种方案优惠完后的花费相同， 所以168＋0.8 x ＝0.95 x ，解得 x ＝1 120. 所以购买葫芦丝的花费是1 120元时，两种方案优惠完 后的花费相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若在(1)总花费不变的情况下，选择哪种方案购买划 算？可以优惠多少？ 【解】若(1)总花费不变， 选择方案一优惠后花费为168＋0.8×1 950＝1 728(元)， 选择方案二优惠后花费为0.95×1 950＝1 852.5(元). 因为1 728＜1 852.5，所以选择方案一购买划算. 所以1 950－1 728＝222(元)， 即选择方案一购买划算，可以优惠222元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型7 分段计费问题 11. [立德树人·节约用水·2024·日照东港区期末]为增强居民 节约用水意识，某市对供水范围内的居民用水实行“阶 梯收费”，具体收费标准如表： 一户居民一个月用水量 水费单价/(元/m3) 不超过22 m3 a 超出22 m3不超出28 m3的部分 a ＋1.1 超出28 m3的部分 a ＋2.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当该市某户居民2024年四月份用水10 m3时，缴纳水 费24元. (1)求 a 的值； 【解】根据题意，得10 a ＝24， 解得 a ＝2.4. 所以 a 的值为2.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若该户居民2024年五月份所缴水费为70.3元，求该户 居民五月份的用水量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】设该户居民2024年五月份的用水量为 x m3， 因为 a ＋1.1＝2.4＋1.1＝3.5(元)，22×2.4＝ 52.8(元)， 52.8＋3.5×(28－22)＝73.8(元)， 且52.8＜70.3＜73.8， 所以该户居民2024年五月份的用水量超过22 m3，未超 过28 m3. 根据题意，得52.8＋3.5( x －22)＝70.3， 解得 x ＝27. 所以该户居民2024年五月份的用水量为27 m3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. [2024济南莱芜区月考]一家通讯公司推出两种移动电话 计费方法，如下表所示： 计费方法 A 计费方法 B 每月基本服务费/(元/月) 68 98 每月免费通话时间/min 200 500 超出后每分钟收费/(元/分) 0.25 0.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)若月通话时间是5 h，则使用计费方法 A 的用户话 费为 元，使用计费方法 B 的用户话费 为 元. 93　 98　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若月通话时间是 x min( x ＞500)，则按 A ， B 两 种计费方法的用户话费分别是多少元？(用含 x 的 代数式表示) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】若月通话时间是 x min( x ＞500)，使用计费 方法 A 的用户话费为68＋( x －200)×0.25＝(0.25 x ＋18)元， 使用计费方法 B 的用户话费为98＋( x － 500)×0.20＝(0.2 x －2)元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】当200＜ x ≤500时，68＋( x －200)×0.25＝ 98，解得 x ＝320. 当 x ＞500时，(0.25 x ＋18)－(0.2 x －2)＝0.05 x ＋20 ＞0，故计费方法 B 比计费方法 A 便宜. 所以当通话320 min时，按 A ， B 两种计费方法所需的 用户话费相等. (3)当通话时间为多长时，按 A ， B 两种计费方法所需的 用户话费相等？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型8 年龄问题 13. [新趋势·跨学科·2024·聊城期末]在我国民间流传着许多 诗歌形式的数学趣题： 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝 的年龄是两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3， 个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位 数.如果设这个两位数个位上的数字为 x ，下列方程正确 的是(　B　) B A. ( x －3)＋ x ＝6 x B. 10( x －3)＋ x ＝6 x C. x ( x ＋3)＝6 x D. ( x －3)＋10 x ＝6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. [母题·教材P155习题T9·新考向数学文化]希腊数学家丢 番图(公元3～4世纪)的墓碑上记载着：“他生命的六分 之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊 长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之 一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只 活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛 中度过了四年，也与世长辞了.”根据以上信息，请你计 算出丢番图开始当爸爸时的年龄为 岁. 38　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【点拨】 设丢番图的寿命为 x 岁， 由题意得 x ＋ x ＋ x ＋5＋ x ＋4＝ x ， 解得 x ＝84. 所以丢番图开始当爸爸时的年龄为 ×84＋ ×84 ＋ ×84＋5＝38(岁). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型9 积分问题 15. [2024江门期末]某电视台组织知识竞赛，共设20道选择 题，各题分值相同，每题必答. 如下表记录了3个参赛者的得分情况. 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由表可知：答对1题得 分，答错1题得 ⁠ 分. 5　 －1　 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)参赛者丁得88分，她答对了几道题？ 【解】设她答对了 x 道题，则答错了(20－ x )道题， 由题意得5 x ＋(20－ x )×(－1)＝88，解得 x ＝18. 所以她答对了18道题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)参赛者戊说他得了80分.你认为可能吗？为什么？ 【解】参赛者戊说他得了80分，是不可能的.理由 如下： 设他答对了 y 道题，则答错了(20－ y )道题， 由题意得5 y ＋(20－ y )×(－1)＝80， 解得 y ＝ ，不符合题意. 所以参赛者戊说他得了80分，是不可能的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$