专题02 三角形压轴训练（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题02 三角形压轴训练 利用三角形关系化简 1．（23-24八年级上·山东滨州·期中）已知a、b、c分别是的三边的长，化简的结果为 ． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 3．（23-24八年级上·山东德州·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 三角形中线的综合问题 4．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，是的中线，是的中点．若，则 ． 6．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，D为中点，F为上一点，连接并延长交的延长线于点E，若，，则 ． 8．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为 cm2． 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 内角和与角平分线、高的综合问题 10．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是 ． 13．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 14．（23-24八年级上·山东滨州·期中）在中， (1)设的平分线交于点O．求的度数： (2)设的外角的平分线交于点，的度数： (3)与有怎样的数量关系？ 折叠问题 15．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在边的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点边上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，若，则 ． 17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度． 18．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 内角和与新定义结合 19．（23-24八年级上·山东淄博·期中）我们定义：若一个三角形的两个内角与，满足，则这样的三角形称为“准互余三角形”．已知是“准互余三角形”，，，则 ． 20．（23-24八年级上·山东济南·期中）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 21．（23-24八年级上·山东济宁·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 1．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 4．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，，、分别是的角平分线，，，下列结论：①；②平分；③；④.其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知三边分别是、、， 化简 6．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 7．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 8．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 9．（23-24八年级上·山东济南·期中）定义：在三角形中，若最大内角是最小内角的倍，（为大于1的正整数），则称这个三角形为“倍三角形”，例如在 中，，，，则称 为“3倍三角形”． (1)在 中，，，是几倍三角形？ (2)如图，在 中，平分，平分，，是“6倍三角形”，是它的最小内角，求的度数． 10．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 11．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形压轴训练 利用三角形关系化简 1．（23-24八年级上·山东滨州·期中）已知a、b、c分别是的三边的长，化简的结果为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵a、b、c是的三边的长， ∴，， ∴原式 ． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系，得， 即， 解得， ∴， 故答案为． 3．（23-24八年级上·山东德州·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 三角形中线的综合问题 4．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 【答案】 8 6 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，是的中线，是的中点．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵F是的中点．， ∴， ∵是的中线， ∴是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴ 故答案为： 6．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：，． 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，D为中点，F为上一点，连接并延长交的延长线于点E，若，，则 ． 【答案】9 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 设，， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：9． 8．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为 cm2． 【答案】15 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ． 故答案为：15． 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 【答案】(1)6 (2)或2 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴的周长， 当把的周长分成相等的两部分时， 点P运动的路程的周长， 即， 解得， ∴当秒时，把的周长分成相等的两部分； （2）∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半， 当点为边的中点时，即， 则， ∴点P的运动的路程， 即， 解得， 当点P是中点时，此时，； 综上所述，满足条件的t的值为或2． 内角和与角平分线、高的综合问题 10．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， 即， 又，， ， 即， ， 故选：． 11．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 故选：B． 12．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【详解】解：， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 13．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24八年级上·山东滨州·期中）在中， (1)设的平分线交于点O．求的度数： (2)设的外角的平分线交于点，的度数： (3)与有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图， 的平分线相交于O， ， ， ，， ， ， ， ； （2）如图： 为两外角的平分线，， ， 由三角形内角和定理得： ； （3）由（1）、（2）可知，， 设， 则， ． 折叠问题 15．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在边的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质，可知：，， ． 在中，，， ， ． 点，，共线， ． 故选：C． 16．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点边上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：当点在的右侧时， 由翻折可得，． ， ． ， ， ． 当点在的左侧时，如图， 由翻折可得，． ， ， ， ． 综上所述，或． 故答案为：或． 17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度． 【答案】50 【详解】解：折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 18．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 内角和与新定义结合 19．（23-24八年级上·山东淄博·期中）我们定义：若一个三角形的两个内角与，满足，则这样的三角形称为“准互余三角形”．已知是“准互余三角形”，，，则 ． 【答案】或 【详解】解：①当时， ∵， ∴ 解得：； ②当， ∵， ∴ 解得：； 故答案为：或． 20．（23-24八年级上·山东济南·期中）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2)平行，理由见解析 (3)的度数是 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 21．（23-24八年级上·山东济宁·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 1．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分别是与的角平分线， ， ， ． 、 ， ； ， ， ， 整理得：． 故选：D． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵平分交于， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故③正确； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，为定值，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：A． 4．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，，、分别是的角平分线，，，下列结论：①；②平分；③；④.其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：， ， 是的角平分线， ，故①正确． 根据条件无法判断出平分，故②错误． ， ，， ， ， ∴．故③正确． ， ， ， ， 分别是的角平分线， ， ， ∴，故④正确． 综上分析可知正确的有：①③④． 故选：C． 5．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 6．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/112度 【详解】解：如图，连接， 沿折叠， ，， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长-当的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 8．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【详解】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 9．（23-24八年级上·山东济南·期中）定义：在三角形中，若最大内角是最小内角的倍，（为大于1的正整数），则称这个三角形为“倍三角形”，例如在 中，，，，则称 为“3倍三角形”． (1)在 中，，，是几倍三角形？ (2)如图，在 中，平分，平分，，是“6倍三角形”，是它的最小内角，求的度数． 【答案】(1)是5倍三角形 (2) 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∴， ∴是5倍三角形； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是“6倍三角形”，是它的最小内角， ∴， 解得：， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解答过程； (3)或或或． 【详解】（1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 11．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ 【答案】(1)或 (2)①；②或 【详解】（1）解：当时，， ， ； 当时，， ， ， 故答案为：或； （2）①设的度数为， ，则， ∵的平分线分别交于两点， ， ， ， ， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ， ， 平分， ， 根据①可得， ， 当时，可得； 当时，可得； 综上所述，的度数为或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$