第09讲 从函数观点看一元二次不等式（6种题型+4个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第09讲 从函数观点看一元二次不等式（6种题型+4个易错点+过关检测） 知识点1：二次函数的零点 1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 2．一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 x1,2＝ x＝－ 无零点 注意点： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点 ⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根 ⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标． 知识点2：不含参数的一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 注意点： 一元二次不等式一般形式中，应注意二次项系数a≠0. 2．二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 注意点： (1)当a>0时，若不等式对应的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 3.一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将已给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解，当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 4.解含参数的一元二次不等式的步骤 知识点3：简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点4：简单的一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 知识点5:一元二次不等式的实际应用 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数． (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)求解所列出的不等式(组)． (4)结合题目的实际意义确定答案． 题型1：不含参数的一元二次不等式的解法 【例题1】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【变式1】（23-24高一上·浙江台州）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 题型2：含参数的一元二次不等式的解法 【例题2】（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023高一·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 【变式3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 题型3：分式不等式的解法 【例题3】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集为（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 题型4：已知不等式解集求参数 【例题4】（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河北石家庄）已知不等式的解集为，则= ，= 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 题型5：与一元二次不等式有关的恒成立问题 【例题5】（24-25高一上·全国·随堂练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 题型6：一元二次不等式的实际应用 【例题6】（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【变式1】（20-21高一上·福建·阶段练习）某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是 ． 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？ 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围； 易错点1：忽略二次项系数的讨论而致错 【例题1】（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【变式3】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 易错点2：审题不仔细而致错 【例题2】（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（23-24高一上·广东广州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）关于x的不等式对恒成立，则实数m的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）设α：或，β：，若α是β的充分条件，求证：函数的图像在x轴的下方． 易错点3：随意消项致错 【例题3】（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组. 【变式1】（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式：. 【变式2】（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2). 【变式3】（22-23高一上·河北保定·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 易错点4：认为分式不等式与一元二次不等式等价致错 【例题4】（23-24高一上·江苏南通）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）与等价吗？与等价吗？ 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 4．（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式的解集为则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 5．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 8．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“对任意，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 11．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 三、填空题 12．（22-23高一上·广东·开学考试）不等式：的解为 ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 14．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若不等式的解集为，则 ． 四、解答题 15．（21-22高一·湖南·课后作业）解不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 17．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 18．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 19．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 从函数观点看一元二次不等式（6种题型+4个易错点+过关检测） 知识点1：二次函数的零点 1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 2．一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 x1,2＝ x＝－ 无零点 注意点： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点 ⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根 ⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标． 知识点2：不含参数的一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 注意点： 一元二次不等式一般形式中，应注意二次项系数a≠0. 2．二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 注意点： (1)当a>0时，若不等式对应的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 3.一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将已给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解，当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 4.解含参数的一元二次不等式的步骤 知识点3：简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点4：简单的一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 知识点5:一元二次不等式的实际应用 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数． (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)求解所列出的不等式(组)． (4)结合题目的实际意义确定答案． 题型1：不含参数的一元二次不等式的解法 【例题1】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·浙江台州）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】解不等式并找出不等式解集的真子集即可得出结论. 【详解】解不等式可得或， 检验可知选项C是的真子集，即是成立的一个充分不必要条件， 故选：C 【变式2】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求解一元二次不等式得出集合，由题意推得是的真子集,求解不等式组即得. 【详解】由可得，，即， 因“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集, 故有，或，解得：. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)或． 【分析】（1）化简不等式，求方程的判别式，作函数的图象，观察图象求解集； （2）原不等式可化为，作函数的图象，观察图象可得解集； （3）求方程的根，作函数的图象，观察图象可得解集. 【详解】（1）原不等式可化为． 因为方程的判别式， 所以函数的图象开口向上，与x轴无交点（如图所示）． 观察图象可得，原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，即， 函数的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为． （3）方程的两根是，． 函数的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点和， 如图所示． 观察图象可得不等式的解集为或． 题型2：含参数的一元二次不等式的解法 【例题2】（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 【变式1】（2023高一·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集得出与的关系以及，代入不等式中化简求解即可． 【详解】因为不等式的解集为， 所以1和2是对应方程的解，且， 由根与系数的关系知,解得; 所以不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 题型3：分式不等式的解法 【例题3】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为，即可求解. 【详解】由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：C 【变式1】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集为（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论根的大小得出解集. 【详解】解：不等式可化为，即． 即. ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为． 题型4：已知不等式解集求参数 【例题4】（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】借助解集是可得，计算即可得解. 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且和是方程的的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B 【变式2】（24-25高一上·河北石家庄）已知不等式的解集为，则= ，= 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集列方程来求得. 【详解】依题意，不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为：； 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 【答案】， 【分析】利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可． 【详解】由的解集为，知的两根为，2， 所以解得所求不等式为， 变形为，即， 所以不等式的解集为． 题型5：与一元二次不等式有关的恒成立问题 【例题5】（24-25高一上·全国·随堂练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得对任意恒成立，分离参数得，即，求出的最大值，继而即可求解. 【详解】不等式的解集为， 即对任意恒成立， 所以对任意恒成立，即， ， . 故选：. 【变式1】（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据分式不等式以及一元二次解求解，为真命题时的范围，即可结合逻辑关系求解. 【详解】由得， 由不等式的解集为，所以或者，解得， 综上为真时，， 故成立是既不充分也不必要条件， 故选：D 【变式2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据判别式可恒成立， 【详解】因为函数的图象和x轴恒有公共点，所以对于方程， 恒成立， 即恒成立,由于，所以，故． 综上所述，实数a的取值范围是 题型6：一元二次不等式的实际应用 【例题6】（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【答案】D 【分析】根据利润=销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题意，有，即， 所以，解得或（舍）． 故选：D. 【变式1】（20-21高一上·福建·阶段练习）某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列式，解不等式可得结果. 【详解】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元， 则， 令，即，解得. 故答案为： 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？ 【答案】销售价格最高是20元 【分析】由于本题只需要制定出定价策略，只需列出在条件定价下的式子，日销售量减少件，日销售收入，进而列出不等关系，求解不等式即可. 【详解】设每件售价元， 则，解得， 所以销售价格最高是20元 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围； 【答案】 【分析】根据题意分别求技术指导前后的利润，再求解不等式，即可求解. 【详解】由题意，得 ， 整理得，解得：，又， 所以， 答：的取值范围为 易错点1：忽略二次项系数的讨论而致错 【例题1】（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解. 【详解】当时，不等式化为，不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数图象和性质知不合题意； 当时，要使，对恒成立，则 ，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得，解得 综上，的取值范围是. 故选：B 【变式2】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由题得，有，接着按时和时两种情况分类讨论即可得解. 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 易错点2：审题不仔细而致错 【例题2】（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意首先考虑为零的情况，再考虑的情况，需满足，解不等式组即可得答案. 【详解】当时，明显成立， 当时，则，即，解得， 综上： 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·广东广州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，即时，不等式化为，符合题意； 当时，即时，应满足， 解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）关于x的不等式对恒成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将题目化简为对恒成立，进而结合二次函数的性质分和两种情况讨论求解即可. 【详解】原不等式等价于对恒成立． 当时，对恒成立； 当时，由题意得，解得. 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）设α：或，β：，若α是β的充分条件，求证：函数的图像在x轴的下方． 【答案】证明见解析. 【分析】根据α是β的充分条件，得，分时，直线在x轴下方；当时，根据二次函数开口方向和根的判别式得到抛物线在x轴下方． 【详解】由α是β的充分条件，得． 当时，直线在x轴下方； 当时，，， 抛物线开口向下， 又， 故抛物线在x轴下方． 综上所述，函数的图像在x轴下方 易错点3：随意消项致错 【例题3】（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组. 【答案】（1）；（2） 【分析】由一元二次不等式的解法求解 【详解】（1），即，得，故原不等式的解集为， （2）由得，解得或， 由得，解得， 故原不等式组的解集为 【变式1】（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式：. 【答案】 【分析】移项通分转化为解一元二次不等式可得答案. 【详解】由得， 即，可得， 令解得或， 所以原不等式的解集为 【变式2】（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可. 【详解】（1），由数轴标根法得，解集为； （2）或， 易得解集为. 【变式3】（22-23高一上·河北保定·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1)或， (2)无解 【分析】（1）将原不等式转化为两个不等式组，然后解不等式组即可得答案， （2）先对不等式变形，得，然后通过求判别式结合抛物线的性质可得结果. 【详解】（1）由，得 或， 得或， 由，解得或， 由，解得， 综上，或， 所以原不等式的解集为或， （2）由，得， 因为，抛物线的开口向上， 所以， 所以原不等式无解 易错点4：认为分式不等式与一元二次不等式等价致错 【例题4】（23-24高一上·江苏南通）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解分式不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，解得或， 则或，而， 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）与等价吗？与等价吗？ 【答案】与等价；与不等价 【详解】与等价； 与不等价，因为前者的解集中没有，后者的解集中有 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质得出的充要条件，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】B 【分析】设船速为，然后根据题意直接列不等式求解即可. 【详解】设船速为，则由题意得（）， 所以， 化简得， 所以，解得（舍去），或， 所以船速至少为46 ． 故选：B 4．（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式的解集为则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由条件可得，，是方程的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到． 【详解】由题意可知：，是方程的两个实根， 则，解得，， 则不等式，即为， 即为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B． 5．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【详解】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 7．（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式整理成关于的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可将不等式整理成关于的一次函数， 由一次函数性质可知，即； 解得，综合可得； 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“对任意，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】转化为对任意，恒成立求出的范围，再根据必要不充分条件判断即可. 【详解】对任意，，则对任意，恒成立， 当时，，所以， 即求“”为真命题的一个必要不充分条件， 对于A，是为真命题的一个必要不充分条件，故A正确； 对于B，是为真命题的一个必要不充分条件，故B正确； 对于C，是为真命题的一个充分不必要条件，故C错误； 对于D，是为真命题的一个充分不必要条件，故D错误. 故选：AB. 10．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D. 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 11．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【答案】CD 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：CD. 三、填空题 12．（22-23高一上·广东·开学考试）不等式：的解为 ． 【答案】或 【分析】根据题意结合有理数的除法法则可得或，再解不等式组即可． 【详解】由，得或，解得或， 所以不等式的解为或. 故答案为：或 13．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质性质即可求解. 【详解】原不等式等价于，由于恒成立， 因此原不等式的解集为． 故答案为： 14．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若不等式的解集为，则 ． 【答案】5 【分析】由题意可知：为方程的两根，利用韦达定理运算求解即可. 【详解】由题意可知：为方程的两根， 则，即， 所以. 故答案为：5. 四、解答题 15．（21-22高一·湖南·课后作业）解不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2)； (3)，，； (4)，，． 【分析】根据一元二次不等式的解法步骤，分别求解对应的一元二次不等式解集即可． 【详解】（1）不等式可化为， 即，解得或， ∴原不等式的解集为或； （2）不等式可化为， 解得，∴不等式的解集为； （3）不等式化为， 即，解得， 即或， ∴原不等式的解集为，，； （4）不等式可化为， 即，解得，即或， ∴原不等式的解集为，，． 16．（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】分及进行讨论，结合二次函数的图象性质即可得解. 【详解】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 综上所述，. 17．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可； （2）比较和，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】（1）由的解集为，知的两根为，2， 所以，解得 所求不等式为， 变形为， 即， 所以不等式的解集为． （2）原不等式为． ①若时，即时，则原不等式的解集为； ②若时，即时，则原不等式的解集为； ③若时，即时，则原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为． 18．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解不等式化简命题，由充分不必要条件列出不等式求解； （2）根据命题的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解. 【详解】（1）由，可得，则：， 又由，可得，则：， 若q是p的充分不必要条件，可得是的真子集， 有，解可得； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，则和互不包含， 可得或，解得或. 19．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． 【分析】由题意列不等式求解后判断， 【详解】由题意得，对于甲车，， 即，而，解得， 甲车未超过规定限速， 同理对于乙车，， ，而，解得， 乙车超过规定限速． 答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 1 学科网（北京）股份有限公司 $$