圆锥曲线专题相关结论知识清单-2025届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线常用结论整合 结论 1 :过圆x 2 + y 2 = 2a2 上任意点P 作圆x 2 + y 2 = a 2 的两条切线,则两条切线垂直. 结论 2:过圆x 2 + y 2 = a 2 + b 2 上任意点P 作椭圆 的两条切线, 则两条切线垂直. 结论 3 :过圆x 2 + y 2 = a 2 -b2 ( a > b > 0 )上任意点P 作双曲线的两条切 线,则两条切线垂直. 结论 4:过圆x 2 + y 2 = a 2 上任意不同两点 A ,B 作圆的切线,如果切线垂直且相交于P , 则动点P 的轨迹为圆:x 2 + y 2 = 2a2 . 结论 5 :过椭圆 上任意不同两点A ,B 作椭圆的切线,如果切 线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . 结论 6 :过双曲线 上任意不同两点A ,B 作双曲线的切线,如 果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆x 2 + y 2 = a 2 -b2 . 结论 7:点M ( x0 ,y0 )在椭圆 上,过点M 作椭圆的切线方 程为 结论 8 :点M ( x0 ,y0 )在椭圆 外,过点M 作椭圆的两条切 线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直线方程为 结论 8 :(补充)点M ( x0 ,y0 )在椭圆 内,过点M 作椭圆 的弦 AB (不过椭圆中心),分别过A 、B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程 为直线: + = 1 . 1 学科网(北京)股份有限公司 结论 9 :点M ( x0 ,y0 )在双曲线 上,过点M 作双曲线的 切线方程为 结论 10:点M ( x0 , y0 )在双曲线 外,过点M 作双曲线 的两条切线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直线方程为 结论 10:(补充)点M ( x0 ,y0 )在双曲线 内,过点M 作 双曲线的弦 AB (不过双曲线中心),分别过A 、B 作双曲线的切线,则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线 结论 11:点M ( x0 ,y0 )在抛物线y 2 = 2px ( p > 0 )上,过点M 作抛物线的切线方 程为y0 y = p(x + x0 ) . 结论 12:点M ( x0 ,y0 )在抛物线 y 2 = 2px ( p > 0 )外,过点M 作抛物线的两条切 线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直线方程为y0 y = p(x + x0 ) . 结论 12:(补充)点M ( x0 ,y0 )在抛物线y 2 = 2px ( p > 0 )内,过点M 作抛物线的 弦 AB ,分别过 A 、B 作抛物线的切线 ,则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线: y0 y = p(x + x0 ) . 结论 13:点M ( x0 ,y0 )在椭圆 = 1上,过点M 作椭圆的切线方程 结论 14:点M ( x0 ,y0 )在双曲线 1上,过点M 作双曲线的切线 方程为 2 学科网(北京)股份有限公司 结论 15:点M ( x0 ,y0 )在抛物线(y - n)2 = 2p(x - m)上,过点M 作抛物线的切线方 程为(y0 - n)(y - n) = p(x + x0 - 2m) . 结论 16:点M ( x0 ,y0 )在椭圆 = 1外,过点M 作椭圆的两条切线, 切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直线方程为 结论 17:点M ( x0 ,y0 )在双曲线 = 1外,过点M 作双曲线的两条 切线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直线方程为 结论 18:点M ( x0 ,y0 )在抛物线(y - n)2 = 2p(x - m)外,过点M 作抛物线的两条切 线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直线方程为 (y0 - n)(y - n) = p(x + x0 - 2m) . 结论 16:(补充)点M ( x0 ,y0 )在椭圆 = 1内,过点M 作椭圆的 弦 AB (不过椭圆中心),分别过A 、B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为 结论 17:(补充)点M ( x0 ,y0 )在双曲线 = 1 内,过点M 作双曲 线的弦AB (不过双曲线中心),分别过A 、B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨 迹方程为直线 结论 18:(补充)点M ( x0 ,y0 )在抛物线(y - n)2 = 2p(x - m) 内,过点M 作抛物线 的弦 AB ,分别过 A 、B 作抛物线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线: (y0 - n)(y - n) = p(x + x0 - 2m) . 结论 19:过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直 线必过相应的焦点F ,且MF 垂直切点弦 AB . 结论 20:过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 3 学科网(北京)股份有限公司 的直线必过相应的焦点F ,且MF 垂直切点弦 AB . 结论 21:过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 的直线必过焦点F ,且MF 垂直切点弦AB . 结论 22: AB 为椭圆的焦点弦,则过 A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论 23: AB 为双曲线的焦点弦,则过 A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论 24: AB 为抛物线的焦点弦,则过 A ,B 的切线的交点M 必在准线上. 结论 25:点M 是椭圆准线与长轴的交点,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为A ,B , 则切点弦 AB 就是通径. 结论 26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为A , B ,则切点弦 AB 就是通径. 结论 27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点,过点M 作抛物线的两条切线,切点分别为 A ,B ,则切点弦 AB 就是其通径. 结论 28:过抛物线y 2 = 2px ( p > 0 )的对称轴上任意一点M(-m,0) ( m > 0 )作抛物 线的两条切线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 所在的直线必过点N(m,0) . 结论 29:过椭圆 的对称轴上任意一点M(m, n) 作椭圆的两条切 线,切点分别为A ,B . (1)当n = 0 , m > a 时,则切点弦 AB 所在的直线必过点P( ,0) ; (2)当m = 0 ,ini > b 时,则切点弦 AB 所在的直线必过点 结论 30:过双曲线 的实轴上任意一点M(m,0) ( imi < a )作 双曲线(单支)的两条切线,切点分别为A ,B ,则切点弦 AB 所在的直线必过点 结论 31:过抛物线y 2 = 2px(p > 0 )外任意一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为A , B ,弦 AB 的中点为N ,则直线MN 必与其对称轴平行. 结论 32:若椭圆 与双曲线 共 焦点,则在它们交点处的切线相互垂直. 结论 33:过椭圆外一定点P 作其一条割线,交点为A ,B ,则满足AP . BQ = AQ . BP 的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论34:过双曲线外一定点P 作其一条割线,交点为A ,B ,则满足AP . BQ = AQ . BP 4 学科网(北京)股份有限公司 的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论35:过抛物线外一定点P 作其一条割线,交点为A ,B ,则满足AP . BQ = AQ . BP 的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论36:过双曲线外一点P 作其一条割线,交点为A ,B ,过 A ,B 分别作双曲线的切线 相交于点Q ,则动点 Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论 37:过椭圆外一点P 作其一条割线,交点为A ,B ,过 A ,B 分别作椭圆的切线相交 于点Q ,则动点 Q的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论38:过抛物线外一点P 作其一条割线,交点为A ,B ,过 A ,B 分别作抛物线的切线 相交于点Q ,则动点 Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论39:从椭圆 的右焦点向椭圆的动切线引垂线,则垂足的轨 迹为圆:x 2 + y 2 = a 2 . 2 2 结论 40:从 的右焦点向双曲线的动切线引垂线,则垂足的 轨迹为圆:x 2 + y 2 = a 2 . . 结论 41:椭圆上任一点 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角(或者说 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即椭圆的光学性质. 结论 42:双曲线上任一点 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角(或者说 处的法 线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即双曲线的光学性质. 结论 43:抛物线上任一点 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角, 亦即抛物线的光学性质. 结论44:椭圆的准线上任一点 处的切点弦过其相应的焦点 ,且 ⊥ . 结论45:双曲线的准线上任一点 处的切点弦过其相应的焦点 ,且 ⊥ . 结论46:抛物线的准线上任一点 处的切点弦P2过其焦点 ,且 ⊥ P2 . 结论47:椭圆上一个焦点玛 关于椭圆上任一点处的切线的对称点为 ,则直线必过 该椭圆的另一个焦点 . 结论48:以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆. 结论49:以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆. 结论50:以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切. 结论51:AB为抛物线的焦点弦,分别过A ,B 作抛物线的切线,则两条切线的交点P在 其准线上. 结论52:AB 为椭圆的焦点弦,分别过A ,B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P在其相 应的准线上. 结论53:AB 为双曲线的焦点弦,分别过A ,B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P在 其相应的准线上. 结论54:AB 为过抛物线焦点F 的焦点弦,以AB 为直径的圆必与其准线相切. 结论55:AB为过椭圆焦点 的焦点弦,以.AB为直径的圆必与其相应的准线相离(当然 与另一条准线更相离). 结论56:AB为过双曲线焦点F 的焦点弦,以AB为直径的圆必与其相应的准线相交,截 得的圆弧度数为定值,且为 . 结论57:以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,若该圆与其相应的准线相切,则该曲线必 为抛物线. 结论58:以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,若该圆与其相应的准线相离,则该曲线必 为椭圆. 结论59:以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,若该圆与其相应的准线相交,则该曲线必 为双曲线,此时截得的圆弧度数为定值,且为 . 结论60:在椭圆 ( )的长轴上存在定点 ,使得 过该点的任意弦 恒有 = . 结论61:在双曲线 ( )的实轴上存在定点 ,使 得过该点的任意弦 恒有 = . 结论62:过椭圆 ( )的焦点 作一条直线与椭圆相交于 , , 与 轴相交于 ,若 , ,则 为定值,且 26 学科网(北京)股份有限公司 $$