精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年华东师大新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （﹣2，1） 3. 若分式的值为0，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D. 2 4. 已知点P(x，3－x)在第四象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，∠BAC=120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 60° D. 50° 6. 如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是点 B. 旋转角是 C. 既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D. 旋转角是 7. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，动点在边上，且不与点重合，连结，把沿翻折得到，点落在双曲线（）上，当长度最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 关于的方程是一元二次方程，则____． 10. 已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 11. 已知反比例函数的图象如图所示，若长方形的面积为3，则k的值是_____． 12. 定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线 的“不动点”． 例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为． 若直线 的“不动点”为 ，则 _________， _____________． 13. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ____________________． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为________． 三．解答题（满分78分） 15. （1）计算：； （2）解方程：； （3）化简：． 16. 先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值． 17. 如果与成正比例，且时，． （1）写出与之间的函数关系式； （2）求当时，求的值； （3）求当时，求的取值范围． 18. 如图①，已知点、、、分别是四边形各边、、、的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形．： (1)如图②，将图①中点C移动至与点E重合的位置，、、仍是、、的中点，求证四边形是平行四边形； (2)如图③，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与的中点F，G，H组成正方形； (3)在(2)条件下求出正方形的边长． 19. 为响应“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点10千米，他骑自行车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间是自驾车所用的时间的4倍．小张骑自行车上班平均每小时行驶多少千米？ 20. 如图，在矩形ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，连接DE，BE，BE与CD交于点F． （1）请你利用尺规作图，在图中作出点E，F的位置，并标上字母(保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）连接AE，若∠CDE=34°，则∠DAE=　　　　°． （3）连接CE，若AB=16，AD=8，求△CEF的面积． 21. 在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在上时，如图1，求大小； （2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 22. 在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2）．当点与点重合时停止平移． （1）求证：图2中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3）．求此时的长； （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以，直接写出的长，如果不可以，说明理由． 23. 如图，在等腰△ABC中，点D直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF． 【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系． 【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年华东师大新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项，符合一元二次方程定义，符合题意，选项正确； 选项，含有分式，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误； 选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误； 选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （﹣2，1） 【答案】A 【解析】 【详解】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）， 故选：A． 3. 若分式的值为0，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的分子为零分母不为零，可得答案． 【详解】解：分式的值为0，得 ， 解得b=1，b=-1（不符合条件，舍去）， 故选A． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分式的分子为零分母不为零是解题关键． 4. 已知点P(x，3－x)在第四象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第四象限点的坐标的特点，使点的横坐标大于0，纵坐标小于0列式求值即可． 【详解】解：∵点P（x，3-x）在第四象限， ∴x＞0，3-x＜0， 解得：x＞3， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点及解不等式组，用到的知识点为：第四象限点的符号为（+，-）． 5. 如图，∠BAC=120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 60° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA=PB，QA=QC， ∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC， ∵∠BAC=120°， ∴∠B+∠C=60°， ∴∠PAB+∠QAC=60°， ∴∠PAQ=60°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6. 如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是点 B. 旋转角是 C. 既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D. 旋转角是 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：A、△ABC通过旋转可得到△DCE，它的旋转中心是点C，错误；  B、AC⊥CD旋转的旋转角为90°，错误；  C、既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转，正确；  D、旋转角是∠ACD或者是360°−∠ACD，错误．  故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 7. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应假设这个三角形中每一个内角都小于， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，动点在边上，且不与点重合，连结，把沿翻折得到，点落在双曲线（）上，当长度最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与矩形折叠问题，相似三角形的判定与性质，根据题意求出点的坐标是解题的关键．根据折叠性质及三角形三边关系得出点、、三点共线时，长度最小，过点作轴于，得出，利用相似三角形的性质求出，，即可得出，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵把沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴当点、、三点共线时，长度最小，（如图所示） ∵矩形的顶点、的坐标分别为，， ∴，，， 过点作轴于， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， ∵点落在双曲线（）上， ∴． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 关于的方程是一元二次方程，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程的一般形式是，注意的条件是解题关键．根据一元二次方程的定义：一元二次方程必须满足：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0，列出关于的方程且，然后解方程求得的值即可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：，， ∴． 故答案为： 10. 已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上的点的横坐标为，可得，进而可得的坐标． 【详解】解：∵在轴上， ∴ 解得： ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求点的坐标，熟练掌握轴上的点的横坐标为是解题的关键． 11. 已知反比例函数的图象如图所示，若长方形的面积为3，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再根据函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上，且长方形的面积为3， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 12. 定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线 的“不动点”． 例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为． 若直线 的“不动点”为 ，则 _________， _____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，根据不动点的定义，得到是直线与直线的交点，进而求出的值，再把点代入一次函数解析式求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：是直线与直线的交点， ∴， ∴， ∴点为， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同，列方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程． 【详解】解：设一片槐树叶一年平均滞尘量为， 则一片银杏树叶一年平均滞尘量为， 由题意得：． 故答案为：． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的三边关系可得当点P在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴当点P在上时，的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键． 三．解答题（满分78分） 15. （1）计算：； （2）解方程：； （3）化简：． 【答案】（1）；（2）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，解分式方程，分式的混合计算： （1）先计算负整数指数幂，零指数幂和乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，最后检验即可； （3）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （3） ． 16. 先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，﹣1 【解析】 【分析】先算括号内加减，把除法变成乘法，算乘法，求出x的值，最后求出答案即可． 【详解】 ＝ ＝ ＝﹣， 满足﹣＜x＜的整数有﹣2，﹣1，0，1，2， ∵x2﹣4≠0，x+1≠0， ∴x不能为2，﹣2，﹣1， 取x＝0， 当x＝0时，原式＝﹣＝﹣1． 【点睛】本题属于分式的化简求值问题，考查了分式的混合运算，无理数的估算，分式的混合运算要注意运算顺序；最后求值时，所选取的整数x的值要使原分式有意义． 17. 如果与成正比例，且时，． （1）写出与之间的函数关系式； （2）求当时，求值； （3）求当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把，代入，求出值即可得答案； （2）把代入（1）中所求关系式，求出值即可； （3）时，，解不等式即可得答案． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设与之间的函数关系式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，． 【小问3详解】 当时，， 解得：． 18. 如图①，已知点、、、分别是四边形各边、、、的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形．： (1)如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，、、仍是、、的中点，求证四边形是平行四边形； (2)如图③，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与的中点F，G，H组成正方形； (3)在(2)条件下求出正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析；(2)画图见解析；(3) 【解析】 【分析】（1）连接，由、是、的中点，为中位线，得到，且，同理得到．且，由此证明即可； （2）由C点位置可知C是AB的中点，同（1）原理可以得到四边形是平行四边形，要让四边形四边相等，因此只需要即可． （3）根据勾股定理求出，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵、是、的中点， 为中位线， ∴，且， 同理，．且， ∴且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：点的位置如图所示 （3）解：∵是的中位线，， ∴， ∴边长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中位线定理，正方形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 19. 为响应“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点10千米，他骑自行车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间是自驾车所用的时间的4倍．小张骑自行车上班平均每小时行驶多少千米？ 【答案】15千米 【解析】 【分析】先设骑自行车的速度，即可表示出驾车的平均速度，再根据骑自行车所用的时间驾车所用的时间列出方程，求出解即可. 【详解】解：设小张用骑自行车上班平均每小时行驶x千米，根据题意，得 ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意. 答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米. 【点睛】本题主要考查了分式方程应用，根据数量之间的关系列出方程是解题的关键． 20. 如图，在矩形ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，连接DE，BE，BE与CD交于点F． （1）请你利用尺规作图，在图中作出点E，F的位置，并标上字母(保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）连接AE，若∠CDE=34°，则∠DAE=　　　　°． （3）连接CE，若AB=16，AD=8，求△CEF的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）28；（3）． 【解析】 【分析】（1）分别以D，B为圆心，DA，BA为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，BE，BE交CD于F，点E，点F即为所求； （2）先求出∠ADE=124°，再利用等腰三角形的性质求解即可； （3）设DF=BF=x，则FC=16-x，利用勾股定理求出x，再利用面积法求解即可． 【详解】（1）如图1，点E，点F即为所求． （2）如图2中，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°． ∵∠EDC=34°， ∴∠ADE=90°+34°=124°． ∵DA=DE， ∴∠DAE(180°﹣124°)=28°． 故答案为：28； （3）如图2，由折叠知，∠1=∠2． ∵AB∥CD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴DF=BF， 设DF=BF=x，则FC=16﹣x， 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，82+(16﹣x)2=x2， 解得：x=10， ∴FC=FE=6． 过E作EH⊥CD于点H， 由， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 21. 在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小； （2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【小问1详解】 解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点F是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 22. 在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2）．当点与点重合时停止平移． （1）求证：图2中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3）．求此时的长； （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以，直接写出的长，如果不可以，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）四边形能成为菱形， 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，即可得结论； （2）根据平移的性质，设，则，利用勾股定理表示、的长，由四边形为矩形，可得，建立方程求解即可； （3）设，根据菱形的性质得出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵两个全等的直角三角形纸片和拼在一起， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵将图1中的纸片沿方向平移， ∴设，则， 在中，， 在中，， ∵四边形为矩形， ∴，即， 解得：，即． 【小问3详解】 纸片平移的过程中，四边形能成为菱形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴， 设， ∴， 解得：（负值舍去），即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． 23. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF． 【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系． 【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ． 【答案】【猜想】CD= BC- CF，理由见解析；【探究】CF= BC+ CD，理由见解析；【应用】 【解析】 【分析】【猜想】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得结论； 【探究】利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得出结论； 【应用】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出∠DCF= 90°，在Rt△DCF中利用勾股定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论． 【详解】解：【猜想】CD= BC- CF，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC， ∴∠BAD=∠FAC， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD= CF， ∵CD= BC- BD， ∴CD= BC- CF： 解：【探究】CF= BC+ CD，理由如下： ∵∠BAC= 90°，AB= AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形 ADEF是正方形， ∴ AD= AF，∠DAF= 90°， ∴∠BAD=∠BAC +∠DAC， ∴∠CAF=∠DAF+∠DAC， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD= CF， ∵BD= BC＋CD， ∴CF= BC+CD； 解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC, ∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形, ∴AD= AF，∠DAF= 90°， ∴∠BAC=∠DAF， ∴， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD=CF, ∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，, ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°， ∴△FCD为直角三角形， ∵， ∴ ， ∴CD= BC+ BD， ∴ CD = BC+CF= 2+1=3， ∴ ， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$