1.1 探索勾股定理(1) 学案-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.1探索勾股定理（1） 【课标要求】 第 案 探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 姓名： 【学习目标】 1．通过数格子和割补的方法，理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，增强应用意识. 2．通过对勾股定理的的理解，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用，体会数形结合和特殊到一般的思想方法. 【设计分析】 目标序号 知识纬度（事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识） 认知水平维度 记忆/回忆 理解 应用 分析 评价 创造 1 概念性知识 √ √ √ 2 元认知知识 √ √ 【评价任务】 1.独立完成任务一：3，4，5 (检测目标1) 2.合作完成任务二：6，7，8(检测目标2) 【学习提示】 在开始本节课学习之前，先认真阅读以上资源与建议，明确这节课内容的出处、知识的前后联系、学习的路径、学习的重难点及突破的途径，为顺利完成以下学习内容作好准备. 【学习过程】 学前准备： 在中，，则∠A+∠B=____. 任务一：通过数格子和割补的方法，理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系 （1） 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系.（指向目标1） （2） 能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 结论：_______________________________________________________________. （2） 观察下面两幅图： 填表： A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 左图 右图 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流． 结论2：___________________________________________________. 练习1： 1.如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（   ）（检测目标1） A．150 B．200 C．225 D．255 2.如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（   ）（检测目标1） A．66 B．16 C．32 D．2306 3．直角三角形的三边长分别为2，3，x，则以x为边长的正方形的面积为（    ）（检测目标1） A．13 B．5 C．13或5 D．4 （评价最高标准：第1-3题答案正确每题+4，最高12分) 【学习提示】通过具体问题情境引入研究的必要性，接着设计探究活动获得有关结论，然后运用探究得到的结论解决具体问题。达到6分以上说明目标1达成. 任务二：会初步运用勾股定理求解直角三角形的边长．（指向目标2） 例：在Rt△ABC中， ∠A，∠B，∠C 的对边分 别为a，b，c， ∠ C=90°． （1）已知a=3，b=4, 求c； （2）已知c=13，a=5，求b； （3）已知a ∶ b=3 ∶ 4，c=10，求b. 练习2： 1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　　)（检测目标1） A．5 B．6 C．7 D．8 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是________．（检测目标2） 3．如图所示，从电线杆离地面处向地面拉一条长的缆绳，则这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部（ ）（检测目标2） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（   ）（检测目标2） A．2 B．3 C．4 D．5 5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（   ）（检测目标2） A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．5 （评价最高标准：第1-5题答案正确每题+4，最高20分)） 【学习提示】通过这些活动，理性分析，有一般化推广，有化归，还有逆向思考。层层递进引导学生探究，发展探究能力。达到12分以上说明目标2达成. 【作业与检测】 必做题 1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　　)（检测目标1） A．48 B．60 C．76 D．80 2.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，两个半圆形的面积分别记为，，则+ 的值等于(　　)（检测目标1） A．2π B．4π C．8π D．16π 3.如图，由边长为1m的正方形地砖铺设的地面．一只蚂蚁沿图中A→B→C的线路爬行，则蚂蚁沿该路线从点A爬行到点C的路程长的平方为______m（结果保留根号）．（检测目标1） 4.如图，已知P是平面直角坐标系中的一点，其坐标为(6，8)，则点P到原点的距离是____．（检测目标2） 5.如图，从电线杆高于地面6m的C处，向地面拉一条10m长的缆绳AC，那么固定点A到电线杆底部B的距离为________m．（检测目标2 ） 6.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，AH=6，那么EF等于（  ）（检测目标2） 7.三角形三边的长为13，12，5则它的面积是（ ）（检测目标1） A．20 B．30 C．32或24 D．30或34 8.如图1，已知在△ABC中，CD⊥AB于D．BC＝20，AC＝15，AD＝9（检测目标2） （1）求CD的长． （2）求AB的长． 选做题 观察如图所示的图形，回答问题： （1）如图①，△ DEF 为直角三角形，正方形P 的面积 为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积为____ ； （2）如图②，分别以直角三角形ABC 的三边为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是_________ （用图中字母表示）； （3）如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3 和 4，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用 （2）中得出的结论求阴影部分的面积． 【学后反思】 1.做思维导图，梳理本节课学习的知识内容和数学思想方法： 2. 小结自己在学习勾股定理中的注意事项，或需要求助的困惑与分享自己如何学会的经验： 【学习提示】 对本节的学习进行归纳形成知识体系，并从学习经历中反思学会了什么，存在什么问题及掌握了那些解决数学问题的方法. 1.1 探究勾股定理（2） 第____案 学习目标 1.进一步理解勾股定理的探究方法，掌握定理的简单应用. 2.通过几何拼图进一步理解勾股定理，学会简单的合情推理与数学说理. 重难点 重点：勾股定理的应用. 难点：用几何拼图进一步理解勾股定理. 导学过程 【复习回顾】 1、勾股定理： 2、求下列直角三角形的未知边的长 3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为，，斜边为： （1）如果，，则 ，面积为 ； （2）如果，，则三角形的周长为 ，面积为 ；. 【探究新知】 任务一：验证勾股定理（指向目标1） 如图： 用四个全等的直角三角形拼出，并思考： 1．拼成的图中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3：大正方形的面积可表示_______________________； 还可以表示_______________________________； 你能请用两种不同方法表示图中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？ 得到的结论： . 评价任务一：（检测目标1） 1.如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积法证明勾股定理． 任务二:通过几何拼图进一步理解勾股定理(指向目标2） 1.请利用图2验证勾股定理. a a b b c c 图3 图2 2. 观察图3，判断图中三角形的三边长是否满足. 评价任务二：（检测目标2） 我方侦察员小王在距离东西向公路处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距，后，汽车与他相距.你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 【课堂检测】 基础巩固： 1、如图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________； 2、如图，长方形部分的面积为 ； 3. 小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h的速度向正东方向走去，半小时后，他们相距 km。A B C D 7cm 第1题 第2题 第4题 能力提升： 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2. 5. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 拓展提高： 6. 赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值是 . 【学后反思】 1.梳理本节课学习的知识内容和数学思想方法： 2.归纳本节课学习过程中用到的数学方法,与同伴交流本课学习涉及的数学思想方法有： . 3.学习过程中还有哪些疑惑?与同伴或老师交流,也可以在一天一问中写出自己的问题,全班研讨. 【学习提示】对本节的学习进行归纳形成知识框架，并从学习经历中反思学会了什么，存在什么问题及掌握了那些解决数学问题的方法. 1.2一定是直角三角形吗 【课标要求】 第 案 1.探索勾股定理逆定理，并能运用它解决一些简单的实际问题；　　 2.会用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力，会用数学的眼光观察现实世界. 【学习目标】 1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 2.知道勾股数的概念，探索常用勾股数的规律. 【设计分析】 目标序号 知识纬度 （事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识） 认知水平维度 记忆/回忆 理解 应用 分析 评价 创造 1 概念性知识 √ √ √ √ 2 概念性知识 √ √ √ 【评价任务】 1.独立完成评价任务一：1，2， (检测目标1) 2.合作完成评价任务二：1 (检测目标1) 3.合作完成任务三： 6，7 (检测目标2、3) 4.小组合作完成任务四：3 (检测目标2、3) 【学习提示】 阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习. 【学习过程】 一、情境导入 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角 这种方法对吗？ 【所需教学材料和资源包】 常规资源 练习本，双色笔，三角尺，量角器等 信息化资源 多媒体教室 网络学习 洋葱数学 任务一：探究勾股定理的逆定理（指向目标1） 1. 做一做 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm). ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17． 问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 因为32+42=52，所以满足. 问题4 据此你有什么猜想呢? 我们猜想： 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言： 在△ABC中， ∵a2 + b2 = c2 ∴△ABC是直角三角形. 评价任务一： 1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=20 ，c=25; (2) a=13 ，b=14 ，c=15. 2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( ) A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 4,5,6 D. 6,10,8 (评价最高标准：第1-2题答案正确每题+4，最高8分) 【学习提示】 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 任务二：勾股定理的逆定理的应用（指向目标1） 一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗? 解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2, 所以△ABD是直角三角形,∠A是直角. 在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2, 所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求. 评价任务二： 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. (评价最高标准：第1-2题答案正确每题+4，最高8分) 【学习提示】 勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反. 任务三：勾股数（指向目标2） 勾股数的概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 评价任务三： 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，6 B.6，7，8 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 (评价最高标准：第1-2题答案正确每题+4，最高8分) 【学习提示】 根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 【作业与检测】 必做题： 1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。 ①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22 2．一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ） A　250 B　150 　　C　200 D　不能确定 3．如图，在中，于，，则是（ ） A　等腰三角形 B　锐角三角形 C　直角三角形 D　钝角三角形 4.判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形． (1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°； (2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25； (3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2. 选做题： 5.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？ 　 【学后反思】 1.梳理本节课学习的知识内容和数学思想方法： 2.归纳本节课学习过程中用到的数学方法,与同伴交流本课学习涉及的数学思想方法有： . 3.学习过程中还有哪些疑惑?与同伴或老师交流,也可以在一天一问中写出自己的问题,全班研讨. 【学习提示】对本节的学习进行归纳形成知识框架，并从学习经历中反思学会了什么，存在什么问题及掌握了那些解决数学问题的方法. 1.3勾股定理的应用 【课标要求】 第 案 1.通过具体实例,经历图形的抽象、性质探讨等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能.　　 2.通过生活中的实例,掌握勾股定理的内容. 【学习目标】 1.通过操作，灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题. 2.通过实例能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. 3.通过立体几何的问题，培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识. 【设计分析】 目标序号 知识纬度 （事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识） 认知水平维度 记忆/回忆 理解 应用 分析 评价 创造 1 事实性知识 √ √ √ √ 2 事实性知识 √ √ √ √ 3 事实性知识 √ √ √ √ 【评价任务】 1.合作完成任务一：1，2 (检测目标1) 2.独立完成任务二：3 ，4(检测目标2) 3.独立完成任务三： 5，6 (检测目标3) 【学习提示】 阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习. 【学习过程】 情境导入： 折竹抵地(源自《九章算术》):今有竹高一丈,风折抵地,去本三尺.问折者高几何?大意:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处距离原竹子底部3尺远. 问原来的竹子有多高? 任务一：利用勾股定理解答最短路径问题（指向目标1） 活动1：以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题. 讨论：1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？ 已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15. 归纳总结： 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 评价任务一: 1、有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3） 2、学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？ (评价最高标准：第1、2题答案正确每题+4，最高8分) 【学习提示】 灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题. 任务二：利用勾股定理的逆定理解答实际问题（指向目标2） 活动1：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. 问题（1）：你能替他想办法完成任务吗？ 连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. 问题（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？ 因为AD2+AB2=302+402=502=BD2，所以∠DAB=90°，AD边垂直于AB边. 问题（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ 在AD上取点M,使AM=9, 在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15， 若是，就是垂直；若不是，就不垂直. 评价任务二： 3、在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 4、 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m，AD=BC=6m，AC=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ (评价最高标准：第3、4题答案正确每题+6，最高12分) 【学习提示】 利用勾股定理逆定理解决生活实际问题. 任务三：利用勾股定理解答长度、面积问题（指向目标3） 活动3：如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m， AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得：AE2+CE2=AC2 即（x-1）2+32=x2，解得x=5. 故滑道AC的长度为5m 评价任务三： 4、如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积. 5、如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC=12 cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积. (评价最高标准：第5、6题答案正确每题+5，最高10分) 【作业与检测】 必做题： 1、 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（） 2、如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 (　　) A.8 m　　B.10 m C.12 m D.14 m 3、一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底端B也外移4m吗? 选做题： 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm 　 【学后反思】 　　1.梳理本节课学习的知识内容和数学思想方法 2.归纳本节课学习过程中用到的数学方法,与同伴交流本课学习涉及的数学思想方法有： . 3.学习过程中还有哪些疑惑?与同伴或老师交流,也可以在一天一问中写出自己的问题,全班研讨. 【学习提示】对本节的学习进行归纳形成知识框架，并从学习经历中反思学会了什么，存在什么问题及掌握了那些解决数学问题的方法. 第一章复习 【课标要求】 第 案 1. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用他们解决一些简单的实际问题。 【学习目标】 1. 通过复习知识点，掌握勾股定理及其逆定理的内容 2. 通过练习典型例题，会用勾股定理解决简单的实际问题。 【设计分析】 目标序号 知识纬度 （事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识） 认知水平维度 记忆/回忆 理解 应用 分析 评价 创造 1 事实性知识、概念性知识、程序性知识 √ √ √ √ 2 事实性知识、概念性知识、程序性知识 √ √ √ √ 【评价任务】 1、 独立完成评价任务1、2(检测目标1) 2.小组合作完成评价任务3（检测目标2） 3.完成评价任务4（检测目标2） 4.合作完成评价任务5（检测目标2） 【学习过程】 学前准备：回顾课本第一章内容任务一：知识点回顾，归纳概念 阶段检测： 1．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25 2．（4分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A.a=1.5，b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 任务二：勾股定理的应用 勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形) 在实际生活中,勾股定理也有着广泛的应用。 例1.若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积. 阶段检测 3、（4分）如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值. 任务三：勾股定理的逆定理与勾股数 阶段检测 4、（6分）如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 任务四：勾股定理与逆定理的综合应用 如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为________． 阶段检测： 5、（4分）如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 【作业与检测】 1、 2、确定长方体上的最短路线: 求长方体（如图1）上A，B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式（如图2）. 图2 图1 （1）右侧面向前展开， 如图2 ①， 此时AB2=（a+b）2+ c2=a2+b2+c2+2ab. （2） 上底面向前展开， 如图2 ②，此时AB2=（c+b）2+ a2=a2+b2+c2+2bc. （3） 上底面向左展开， 如图2 ③，此时AB2=（a+c）2+ b2=a2+b2+c2+2ac. 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c 最大时，图2 ①中AB 最短； ②当a 最大时，图2 ②中AB 最短； ③当b 最大时，图2 ③中AB 最短. 【学后反思】 学生尝试制作本单元思维导图 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$