4.4.3探索三角形相似的条件（第3课时）（培优教学课件）数学北师大版九年级上册

4.3 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1.掌握相似三角形的判定定理3.（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点） 情景&导入 如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？ A B C A′ B′ C′ 情景&导入 我们接着来考虑增加的条件是“另两边成比例”的问题. 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 探索&交流 利用角的关系判定两个三角形相似 1— ①任意画△ABC； ②再画△A′B′C′，使 ； ③量出∠A及∠A′的度数，∠A＝∠A′吗？ ④由上面的画图，你能发现△ABC与△A′B′C′有何关系？说说你的理由. ⑤改变k值的大小，再试一试. A B C A′ B′ C′ △ABC∽△A′B′C′ （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 探索&交流 ∴ C′ B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′∽△ABC. B C A D E 又 , AD=A′B′， ∴ ， . 探索&交流 1. 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. 2. 数学表达式如图， 在△ABC和△DEF中， ∵= = ， ∴△ABC∽△DEF. 特别提醒: 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，10 cm，12 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ ① 将三角形的边按大小顺序排列： 6 cm， 7.5 cm，9 cm 8 cm， 10 cm，12 cm ② 分别计算它们对应边的比： ③ 由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例： ，这两个三角形相似 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在△ABC和△ADE中， ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A D C E B ∴△ABC∽△ADE （三边成比例的两个三角形相似） 解：∵ ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC. 即∠BAD＝∠CAE. ∵∠BAD＝20°， ∴∠CAE＝20°. 探索&交流 议一议 如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？ A B C A′ B′ C′ 假设每一小格的边长为1， 所以△ABC与△A′B′C′相似. 4 8 探索&交流 归纳总结 已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，看最短(长)边与最短(长)的比是否成比例． 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′= 90°，且 求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = (2A′B′)2－(2 A′C′)2 =4A′B′2－ 4A′C′2=4( A′B′2－A′C′2 )=4B′C′2 =(2B′C′)2. ∴△A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似) ∴ BC=2B′C′， 练习&巩固 1．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 (　 　)A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm C 练习&巩固 2.如图，△ABC与△EFG相似吗？为什么？ A B C E F G 假设每一小格的边长为1， 5 2 △ABC与△EFG相似 练习&巩固 3.在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似． ∴　 ∴ △ABC ∽△A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似)． A C B C′ A′ B′ 小结&反思 A B C A′ B′ C′ 相似三角形的判定定理： 三边成比例的两个三角形相似. 几何语言： ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵ $$