4.4.1探索三角形相似的条件（第1课时）（培优教学课件）数学北师大版九年级上册

4.1 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件. 2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点） 3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点） 情景&导入 问题1：这两个三角形有什么关系？ 全等三角形 那这样变化一下呢？ 探索&交流 利用角的关系判定两个三角形相似 1— 相似三角形 相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 对应角……？ 对应边……？ 问题2：相似多边形的定义是什么？根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特殊的相似 探索&交流 定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 数学表达式：如图，在△ABC 和△A′B′C′中， ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， = = =k， △ABC ∽△A′B′C′.(注： 为等价符号) 探索&交流 问题3：三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 定义：三角、三边对应相等的两个三角形全等 探索&交流 如果两个三角形只有一个角相等，他们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？ (1) 一个条件 ①一个角相等 ②两边成比例 只有一个角相等， 两个三角形相似吗？ 只有两边成比例， 两个三角形相似吗？ A B C A' B' C' A B C A' B' C' 反例： 反例： 想一想 探索&交流 这两三角形是相似的. 画△ABC，使∠A=30°,∠B=45°，再画△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形的形状相同吗？你能证明∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？ 两角分别相等的两个三角形相似. 猜想：由以上的探究写出利用角判定两个三角形全等的条件. C A B A' B' C' 探索&交流 已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B' A' D E C' B A C 证明猜想： 证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分 别截取A′D=AB，A′E=AC，连结DE. ∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC， ∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B. 又∵∠B′=∠B，∴∠A′DE=∠B′， ∴DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC. 探索&交流 1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图， 在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF. 注意：对应点写在对应的位置. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. 解：∵ DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C. A B C D E ∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴ ∴ 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC,∠DAE= ∠3+ ∠DAC,∠1=∠3, ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. A B C D E 1 1 3 2 O 练习&巩固 1.下列说法中错误的是(　　) A．两个全等三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D．相似的两个三角形不一定全等 B 练习&巩固 2.如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC． A B D C ACD ACB B ADC 练习&巩固 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形EFCD的三个顶点E、F、D分别在边AB、BC、AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长. 解：∵四边形EFCD是正方形， ∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF. ∵∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠ABC， ∴△AED∽△ABC， ∴DE=3,即正方形的边长为3. 小结&反思 利用两角判定三角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理1的运用 $$