精品解析：2024年广东省东莞市中考押题数学试题

2024 年广东省初中学业水平考试 数学押题试卷 （满分∶120 分 时间∶120 分钟） 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列各数中立方根为的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根，求出各选项的立方根，即可判断解答． 【详解】A选项：1的立方根是1，故本选项不合题意； B选项：的立方根是，故本选项符合题意； C选项：，1的立方根是1，故本选项不合题意； D选项：，1的立方根是1，故本选项不合题意． 故选：B． 2. 下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A. ，原选项正确，符合题意； B. ，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项错误，不符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算法则准确计算． 4. 2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据160万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：160万， 故选：B． 5. 一元一次不等式组的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出不等式组的解集，再把不等式的解集在数轴表示出来即可求解． 【详解】解：不等式， 移项得：， ∴不等式组的解集为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集并在数轴上表示解集，根据不等式的解集，利用找不等式组的解集的规律的出解集是解题的关键． 6. 如图，直线AB∥CD，BE平分∠ABD，若∠DBE＝20°，∠DEB＝80°，求∠CDE的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】延长，交于点,根据角平分线的定义以及已知条件可得，由三角形的外角性质可求，最后由平行线的性质即可求解． 【详解】延长，交于点, BE平分∠ABD，, , ,∠DEB＝80°， , , , 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，点A、B、C在⊙O上，BCOA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（　　） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得∠ACB＝∠A＝25°，由平行线的性质和圆周角定理得∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，由圆周角定理得∠BCD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵BC∥OA， ∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°． 故选择：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，圆周角定理，直径所对圆周角性质，直角三角形的性质，掌握这些知识，会用这些知识解决问题是本题关键． 8. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线x=1对称 B. 函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C. ﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）=0的两个根 D. 当x＜1时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定对称轴、最小值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可． 【详解】A．观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意； B．观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意； C．由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意； D．由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键． 9. 双曲线有两点．其中，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，则可得到当时， ，当，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时， ， 当，， 当时，， 故选：D． 10. 如图，在中，，点O为上一点，以5为半径作分别与相切于D，E两点，与交于点M，连接交于点F，连接．若D为的中点，给出下列结论∶ ①平分；②E为的中点；③；④的长度为． 其中正确结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，根据切线的性质得到，根据角平分线的性质得到圆心在的平分线上，故①正确；根据平行线的判定定理得到，于是得到，故点为的中点，故②正确；由①知，，得到，求得，故③正确；根据弧长公式得到的长度为，故④正确． 【详解】解：如图，连接，     ∵以5为半径作分别与，相切于两点， ∴， ∴圆心在的平分线上， ∴平分，故①正确； ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故点为的中点，故②正确； 由①知，， ， ∴，故③正确； 由③可知， ∵， ∴的长度为，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 二 、填空题 (本大题6 小题 ，每小题 3 分，共18 分) 11 比较大小：0______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小．根据0大于负数，即可得出结论． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先计算算术平方根，乘方，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 从，3中任取一个数，再从0，，4中任取一个数，则所取两个数的乘积为负数的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，所取两个数的乘积为负数的结果有2个， ∴所取两个数的乘积为负数的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 14. 直线 经过点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 15. 已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径，则扇形COD的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得S扇形COD=S扇形AOB即可求解； 【详解】解：∵点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点， ∴S扇形COD=S扇形AOB=； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，掌握扇形面积公式及三等分线的意义是解题的关键． 16. 如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题(一)(本大题4小题，第17、18题各5分，第19、20题各6分，共22分) 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负指数幂，任何数的零次幂等于1等，根据题意先计算乘法后从左到右依次计算即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中. 【答案】；. 【解析】 【分析】括号内先进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】原式 =， 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：将代入得， 故原分式方程的解为． 20. 《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？ 【答案】学生有7人，该书单价58元． 【解析】 【分析】设学生有x人，该书单价y元，再根据“每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．”列方程组即可． 【详解】解：设学生有x人，该书单价y元， 根据题意可列方程组． 解得：． 答：学生有7人，该书单价58元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键． 四、解答题(二)(本大题3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分) 21. 如图，是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC至点E，使． （1）利用尺规作的平分线，交于点M．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据作已知角的平分线的方法进行求作即可； （2）根据等腰三角形三线合一及等边三角形的性质求解即可； 【小问1详解】 如解图． 【小问2详解】 ∵是等边三角形，是的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，基本作图和等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图和等腰三角形三线合一是解题的关键． 22. 每年的月日是世界环境日，它反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，也表达了人类对美好环境的向往和追求．为了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，某校分别从七、八年级随机抽取了名学生的环保知识测试成绩(百分制，单位：分)，并对数据(测试成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．七年级名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下： (数据分成组：，，，，，) ．七年级名学生环保知识测试成绩在这一组的是(单位：分) ．七、八两年级名学生环保知识测试成绩的平均数、中位数和众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）写出表中的值． （3）七年级小颖同学的测试成绩是分．她认为：“分高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩”．你认为她的说法正确吗？请说明理由． （4）若八年级名学生都参加了此次环保知识测试，估计八年级学生环保知识测试的总成绩． 【答案】（1）见解析 （2） （3）小颖的说法不正确，理由见解析 （4）分 【解析】 【分析】（1）用总数减去其它组的频数求出第三组的频数即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义求解； （4）用乘以八年级学生环保知识测试的平均数即可． 【小问1详解】 第三组的频数为， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 七年级的中位数为 【小问3详解】 小颖的说法不正确， 理由：分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以她的成绩低于本年级一半学生的成绩； 【小问4详解】 分， 答：估计八年级学生环保知识测试的总成绩为分． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解题的关键． 23. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角，楼顶D的仰角； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． （参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角的应用，等腰三角形的判定及性质，正切三角函数，勾股定义；过作交于，由等腰三角形的判定及性质得，由正切三角函数可求，由勾股定理得，即可求解；掌握解法，能根据题意作出辅助线构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于， 由测量步骤可得： 四边形、四边形、 四边形、四边形均是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ； 故两幢楼楼顶B，D之间的距离为米． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分)24．综合探究 24. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点为的三等分点，且时，②当点为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）四边形的形状为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， ∴四边形的形状为菱形， 故答案为：菱形； （2）如图，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知，，， ， 点为的中点， ， ， 和中， ， ， ； （3）①当点为的三等分点，且时，则， 如图，过点作于点， 四边形是矩形，，， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质可知，， 在中，， ； ②当点为的三等分点，且时，则， 如图，过点作于点， 同理可得：， ， ， 由折叠的性质得：， 在中，， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 25. 如图1，抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，直线经过点B、C． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，与原抛物线相交于点M，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点N为平面内一点，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）最大，此时． （3），， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，求得，即可求得； （3）根据平移规律可得抛物线的解析式为，可得的对称轴为，求得与原抛物线相交于点M的坐标；设，进一步求得，，等，分类讨论： 当时，求得的坐标，进一步求得的坐标； 当时，求得的坐标，进一步求得的坐标． 【小问1详解】 将代入得 ∴ 将代入，得： 解得， ∴， 设，所在直线的解析式为： 代入，得 解得 ∴直线的解析式为： 【小问2详解】 过点作轴于点，交直线于点，过点作于点 ∵， ∴， 设点， ∴ ∴当时，最大 最大，此时 【小问3详解】 ∵抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴当平移个单位的时候，平移之后原来的C点到了A点的位置，可以看做抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度， 故当平移个单位的时候，可以看做抛物线先向下平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为 ∴的对称轴为 ∵与原抛物线相交于点M 故令 解得 则 所以点M坐标为 由（2）得知 设 ∴ 当时， 解得 故， 则可以看做是有先向右平移单位，再向上或向下平移个单位得到 故点可以看做点同样平移可得，故 ∴， 当时， 解得 故， 则可以看做是先由向左平移单位，再向下平移个单位得到 故点可以看做点同样平移可得，故 ∴ 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的综合运用等知识，重难点在于第三问中找出所有符合条件的N点位置并求出坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年广东省初中学业水平考试 数学押题试卷 （满分∶120 分 时间∶120 分钟） 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列各数中立方根为的是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据160万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 一元一次不等式组的解集为（ ） A. B. C D. 6. 如图，直线AB∥CD，BE平分∠ABD，若∠DBE＝20°，∠DEB＝80°，求∠CDE的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 如图，点A、B、C在⊙O上，BCOA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（　　） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 8. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线x=1对称 B. 函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C. ﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）=0的两个根 D. 当x＜1时，y随x的增大而增大 9. 双曲线有两点．其中，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，在中，，点O为上一点，以5为半径作分别与相切于D，E两点，与交于点M，连接交于点F，连接．若D为的中点，给出下列结论∶ ①平分；②E为的中点；③；④的长度为． 其中正确结论个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二 、填空题 (本大题6 小题 ，每小题 3 分，共18 分) 11. 比较大小：0______． 12. 计算：_____． 13. 从，3中任取一个数，再从0，，4中任取一个数，则所取两个数的乘积为负数的概率是_________． 14. 直线 经过点，则的值为_______． 15. 已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径，则扇形COD的面积为______． 16. 如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为______． 三、解答题(一)(本大题4小题，第17、18题各5分，第19、20题各6分，共22分) 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中. 19. 解方程：． 20. 《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？ 四、解答题(二)(本大题3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分) 21. 如图，是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC至点E，使． （1）利用尺规作的平分线，交于点M．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求的度数． 22. 每年的月日是世界环境日，它反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，也表达了人类对美好环境的向往和追求．为了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，某校分别从七、八年级随机抽取了名学生的环保知识测试成绩(百分制，单位：分)，并对数据(测试成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．七年级名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下： (数据分成组：，，，，，) ．七年级名学生环保知识测试成绩在这一组的是(单位：分) ．七、八两年级名学生环保知识测试成绩的平均数、中位数和众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）写出表中的值． （3）七年级小颖同学的测试成绩是分．她认为：“分高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩”．你认为她的说法正确吗？请说明理由． （4）若八年级名学生都参加了此次环保知识测试，估计八年级学生环保知识测试的总成绩． 23. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角，楼顶D的仰角； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． （参考数据：，，，） 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分)24．综合探究 24. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 25. 如图1，抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，直线经过点B、C． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，与原抛物线相交于点M，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点N为平面内一点，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$