第7单元：解决问题的策略（讲义）-2024-2025学年五年级数学上册苏教版

解决问题的策略 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 【枚举法的定义】 通过把符合要求的一一列举出来，从而得到答案，这种解答问题的方法叫做“枚举法”，通常也称为“穷举法”． 【枚举方法】 1、枚举解题步骤： （1）、确定枚举范围：明确需要枚举的对象的可能取值范围，避免遗漏和重复。 比如枚举 1 到 10 之间的所有整数。 （2）、有规律地枚举：按照一定的顺序进行枚举，如从小到大、从大到小等，以保证不遗漏。 列举一周七天时，按照周一到周日的顺序。 （3）、排除不可能的情况：在枚举过程中，及时排除那些明显不符合条件或不可能的情况，提高效率。 （4）、记录枚举结果：将枚举得到的结果进行清晰的记录和整理。 【典例1】一本《格林童话》16元，张宇有5元和1元两种人民币若干张，如果付的钱正好不用找零，他有多少种不同的付书费的方法？请列举出来。 【答案】4种；见详解 【思路分析】用1元和5元面值的人民币，确保总价是16元的前提下，搭配出不同的付钱方法。据此解题。 【详解】（1）16张1元的人民币，即16×1＝16（元）； （2）1张5元的人民币加11张1元的人民币，即： 5×1＋11×1 ＝5＋11 ＝16（元） （3）2张5元的人民币加6张1元的人民币，即： 5×2＋6×1 ＝10＋6 ＝16（元） （4）3张5元的人民币加1张1元的人民币，即： 5×3＋1×1 ＝15＋1 ＝16（元） 综上，共有4种方法。 答：他有4种不同的付书费的方法。 【典例2】有一个密码锁有两个可以滑动的轮子，第一个轮子上标有A、B、C、D，第二个轮子上标有E、F、G、H。设定一个密码（比如AE），让一个不知道密码的人来开锁，他最多试多少次就可以把锁打开？ 【答案】16次 【思路分析】因为是两个字母组成密码，所以第一个轮子上的每一个数字都和第二个轮子上的每一个数字组合，每一个数字有4种组合，4个数字有4×4种组合，即最多4×4次可以把锁打开，据此解答。 【详解】4×4＝16（次） 答：他最多试16次就可以把锁打开。 【典例3】一列动车往返于南京、上海两地，沿途只停靠苏州、无锡、常州、镇江四站．铁路公司要准备多少种车票 【答案】30种 【详解】(5+4+3+2+1)×2=30（种） 答：铁路公司要准备30种车票． 【典例4】某校三年级同学租车去游园，每班去32人，有12个班 ． （1）三年级一共有多少人参加游园？     （2）租7辆客车够不够？ 【答案】(1)384人 （2）不够 【详解】（1）32×12=384（人） 答：三年级一共有384人参加游园． （2）54×7=378（人） 378＜384 答：租7辆客车不够． 1．早上妈妈为小明准备了一杯牛奶、一个面包、一个鸡蛋，小明要依次把它们吃完，有多少种不同的吃法？ 2．面包房的面包有4个装和6个装两种不同的包装。妈妈要买50个面包，一共有几种不同的选择方法？ 3．东东有1元､5元两种人民币若干张｡他要拿15元钱，有多少种不同的拿法？ 4．“海象杯”少儿围棋赛共有32名选手参加，比赛采用单场淘汰制，要决出冠军，共要比赛多少场？如果有64名选手参加比赛，产生冠军共要比赛多少场？ 5．7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？ 6．一种钢笔有6支装和8支装两种不同的包装。张老师要买46支钢笔作为学生奖品，一共有多少种不同的买法？用表格记录。 7．妈妈有3件上衣，5条裤子，2顶帽子，她有多少种不同的穿戴方法，如果可以不戴帽子，她又有多少种不同的穿戴方法？ 8．有足够的2角和5角两种人民币，要拿出5元钱，有多少种不同的拿法？ 9．如下图一只小蚂蚁从A点爬到B点有几种不同的路线？并用不同颜色的笔画出路线图。（规定只能向上或向右爬行） 10．小小身上有若干张1元、2元和5元的纸币，她要买一支7元的钢笔，那么一共有多少种付钱的方法？ 11．实验小学举行足球比赛，有5支球队参加，每两支球队比赛一场，那么一共要比赛多少场？ 12．五（1）班的张老师带42名同学去公园划船，每条大船限坐4人，每条小船限坐3人。 （1）如果每条船都不能有空位，有多少种不同的租法？（列表说明） （2）租一条小船5元，租一条大船6元，怎样租船花的钱最少？要多少钱？ 13．一个三角形的面积是12平方厘米，这个三角形的底和高分别是多少厘米（底和高均为整数）？试列表看一看可能有几种情况？ 14．甜甜有15根棒棒糖，她要把这些棒棒糖分成3堆，且每堆至少有3根棒棒糖。甜甜一共有多少种不同的分法？ 15．婷婷要把10个苹果分给2个小朋友，且每人最少分2个苹果，那么婷婷一共有多少种不同的分法？ 16．把一根12厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），摆成一个三角形，共有几种剪法，你能全部列举出来吗？ 17．有红、黄、绿的小球各一只。从中选用一只、两只或三只来做游戏，一共可以有多少种不同选法？ 18．小虫从A爬到B有3种爬法，从B爬到C又有3种爬法，那从A经过B到C共有多少种爬法？ 19．用三种重量分别为1克、2克和5克的砝码各1个可以称出多少种不同的重量？ 20．公园内一条林荫大道全长900米，在它的一侧从头到尾等距离地放25个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距多少米？ 21．邮局门口有甲、乙两个邮筒。小明打算把手中的4封信投入邮筒，可以只投其中一个邮筒，也可以两个邮筒都投。一共有多少种不同的投法？(只考虑每个邮筒投放的信的数量) 22．现在有3克、2克和7克的砝码各一个,在天平上最多能称出多少种不同的质量?请你一一写出来．（砝码只能放在天平的一边） 23．今年暑假李老师在南京、无锡、苏州三个城市游览，他今天在这个城市，明天就要到另一个城市．如果他第一天在南京，第五天又回到南京，那么他有几种不同的游览方案？ 24．念念是一个爱读书的学生，他在学校图书馆中看到四本学习杂志：《数学世界》、《数学王国》、《优秀作文》、《英语阅读》．他打算借阅一本到三本． 25．袋子里有除颜色外其他都相同红球、黄球、蓝球各2个，丽丽从这个袋子里任取2个球．一共有多少种不同的组合？ 26．周末同学们一起去运动场射飞镖，一张靶纸上共有三个圈（如下图），射中内圈得10 分，射中中圈得8分，射中外圈得6分．小明射中了3次，他得的总分数可能有哪几种？ 27．吉吉有1张100分的邮票和3张80分的邮票，用它们可以支付多少种不同的邮资？ 28．28名少先队员乘小船游览玄武湖,可乘2人的观光船或乘3人的观光船(不能有空位),有多少种不同的安排方法?填表列举出来． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．6种 【思路分析】由于这三种按照不同的顺序来吃，可以把每种情况都列举出来，第一种：先喝牛奶，再吃面包，最后吃鸡蛋；第二种：先喝牛奶，再吃鸡蛋，最后吃面包；第三种：先吃面包，再喝牛奶，最后吃鸡蛋；第四种：先吃面包，再吃鸡蛋，最后喝牛奶；第五种：先吃鸡蛋，再喝牛奶，最后吃面包；第六种：先吃鸡蛋，再吃面包，最后喝牛奶。由此即可知道当牛奶先吃，会有2种吃法，面包先吃，会有2种吃法，鸡蛋先吃，会有2种吃法，把这几种吃法相加，据此即可解答。 【详解】由分析可知： 3×2＝6（种） 答：有6种不同的吃法。 【名师点评】本题主要考查搭配问题，可以把所有情况都列举出来。 2．4种 【思路分析】方法一：购买2袋4个装和7袋6个装的面包，2×4＋7×6＝50（个） 方法二：购买5袋4个装和5袋6个装的面包，5×4＋5×6＝50（个） 方法三：购买8袋4个装和3袋6个装的面包，8×4＋3×6＝50（个） 方法四：购买11袋4个装和1袋6个装的面包，11×4＋1×6＝50（个），据此解答。 【详解】根据分析， 2×4＋7×6 ＝8＋42 ＝50（个） 5×4＋5×6 ＝20＋30 ＝50（个） 8×4＋3×6 ＝32＋18 ＝50（个） 11×4＋1×6 ＝44＋6 ＝50（个） 列表如下：    答：一共有4种不同的选择方法。 【名师点评】按顺序依次计算符合条件的装法，列举时注意不重复，不遗漏。 3．4种 【思路分析】分别判断15可以由多少个1组成；可以由多少个5组成；或者多少个1和5共同组成，据此解答。 【详解】第一种：0张1元和3张5元； 第二种：5张1元和2张5元； 第三种：10张1元和1张5元； 第四种：15张1元。 答：他要拿15元钱，有4种不同的拿法。 【名师点评】解答本题的关键是转化为分析1和5这两个数字怎么组成数字15。 4．31场；63场 【思路分析】淘汰赛中，每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军；据此分别计算出每一轮比赛后剩下的人数，直到剩下1人时，就是冠军；再把每一轮剩下的人数相加求和，即可求出产生冠军共要比赛的场次。 【详解】（32÷2）＋（32÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2÷2） ＝16＋（16÷2）＋（16÷2÷2）＋（16÷2÷2÷2）＋（16÷2÷2÷2÷2） ＝16＋8＋4＋2＋1 ＝31（场） （64÷2）＋（64÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2÷2÷2÷2） ＝32＋（32÷2）＋（32÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2÷2） ＝32＋16＋8＋4＋2＋1 ＝63（场） 答：共要比赛31场。如果有64名选手参加比赛，产生冠军共要比赛63场。 【名师点评】此题还可以这样解题：淘汰赛的比赛场次计算：有n个队参加，再淘汰掉（n－1）个队，共比赛（n－1）场。 5．3个 【思路分析】先列出所有可能的两组电影组合，再用抽屉原理将7个小朋友分配。 【详解】每个小朋友的观影方式有3种：《哈利·波特》和《驯龙高手》、《哈利·波特》和《功夫熊猫》、《驯龙高手》和《功夫熊猫》，相当于3个抽屉。 将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想：7÷3＝2（个）……1（个），根据抽屉原理：2＋1＝3（个）。 答：至少有3个小朋友选的电影组合相同。 【名师点评】本题考查抽屉原理。 6．2种；表格见详解 【思路分析】6支装和8支装的一共46支，先列出6支装的盒数，用48减去6支装的总支数，再除以8，算出8支装的盒数，找出所有符合要求的数量后，用表格表示出来。 【详解】 总数 46 46 6支装 1 5 8支装 5 2 答：一共有2种不同的买法。 【名师点评】本题考查用列举的方法解决搭配问题，要根据题目的数量关系，找出符合要求的方案。 7．30种；15种； 【思路分析】由题意可得，从3件上衣中选一件有3种选法，从5条裤子中选一条有5种选法，从2顶帽子中选一顶有2种选法，要配成一套，则有3×2×5＝30（种）选法；如果可以不戴帽子，则有3×5＝15（种）选法，据此解答即可。 【详解】3×2×5＝30（种） 3×5＝15（种） 答：选择戴帽子，她有30种不同的穿戴方法，如果可以不戴帽子，她又有15种不同的穿戴方法。 【名师点评】此题考查了乘法的意义，关键是明确如何搭配即可。 8．6种 【思路分析】根据题意，可以拿都是2角的，都是5角的，也可以2角和5角混合拿，一一列出解答。 【详解】2角＝0.2元；5角＝0.5元 第一种：25张2角： 0.2×25＝5（元） 第二种：10张5角： 0.5×10＝5（元） 第三种：8张5角，5张2角： 0.5×8＋0.2×5 ＝4＋1 ＝5（元） 第四种：6张5角，10张2角： 0.5×6＋0.2×10 ＝3＋5 ＝5（元） 第五种：4张5角，15张2角： 0.5×4＋0.2×15 ＝2＋3 ＝5（元） 第六种：2张5角，20张2角： 0.5×2＋0.2×20 ＝1＋4 ＝5（元） 共计6种不同拿法。 答：共计有6种拿法。 【名师点评】本题考查排列组合，每种情况都要考虑到，做到不重不漏。 9．5种，路线图见详解 【思路分析】按照规定，先从A点向上有2种不同的路线，先从A点向右有3种不同的路线，一共有5种不同的路线。 【详解】小蚂蚁从A点爬到B点有5种不同的路线。 【名师点评】本题考查用列举法解决问题，要注意按照一定的规律画出路线，避免重复或遗漏。 10．6种 【思路分析】根据题意可知，小小身上有若干张1元、2元、和5元的纸币，要买一支7元的钢笔，可以单独付1元的纸币，也可与1元和2元混合，1元、2元和5元混合，2元和5元的混合，只要是它们的和是7元，即可。 【详解】第一种，可以付7张1元的，即： 1×7＝7（元） 第二种，可以付5张1元和1张2元的，即： 1×5＋2 ＝5＋2 ＝7（元） 第三种，可以付3张1元和2张2元的，即： 1×3＋2×2 ＝2＋4 ＝7（元） 第四种，可以付1张1元和3张2元的，即： 1＋2×3 ＝1＋6 ＝7（元） 第五种，可以付2张1元和1张5元的，即： 1×2＋5 ＝2＋5 ＝7（元） 第六种，可以付1张2元和1张5元，即： 2＋5＝7（元） 答：一共有6种付钱方式。 【名师点评】本题考查搭配问题，因为小小带若干张1元、2元和5元的纸币，所以各种付钱方法都要写出来。 11．10场 【思路分析】比赛问题，通过画图可以知道，假设5支球队分别是A、B、C、D、E五队，A要比赛4场，B比赛3场，C比赛2场，D比赛1场即可满足每两支球队比赛一场。 【详解】 4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（场） 答：一共要比赛10场。 【名师点评】本题可以运用握手公式以及加法原理两种不同的方法进行求解。 12．（1）见详解 （2）可租2只小船，9只大船最省钱；需要64元。 【思路分析】（1）根据总人数及限坐人数分析即可得出如果每条船都没有空位，有多少种不同的租法，列出表格即可。 （2）把四种方法所用的钱求出，看哪一种方法钱最少即可。 【详解】（1） 租船方法 方法一 方法二 方法三 方法四 小船 2 6 10 14 大船 9 6 3 0 （2）方法一：2×5＋6×9 ＝10＋54 ＝64（元） 方法二：6×5＋6×6 ＝30＋36 ＝66（元） 方法三：10×5＋6×3 ＝50＋18 ＝68（元） 方法四：14×5＝70（元） 64＜66＜68＜70 答：租2条小船9条大船最省钱，需要64元。 【名师点评】根据总人数、两种船的不同租金用限载人数进行分析是完成本题的关键。 13．见详解；8种 【思路分析】根据三角形的面积公式：S＝ah，那么a＝2S÷h，h＝2S÷a，据此解答。 【详解】12×2÷1＝24÷1＝24（厘米） 12×2÷2＝24÷2＝12（厘米） 12×2÷3＝24÷3＝8（厘米） 12×2÷4＝24÷4＝6（厘米） 将上面数据整理列表如下： 底（cm） 1 2 3 4 6 8 12 24 高（cm） 24 12 8 6 4 3 2 1 答：8种情况。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形的面积公式。 14．7种 【思路分析】根据题意：把15拆分为3个非零自然数的和即可。 【详解】15＝3＋3＋9 15＝3＋4＋8 15＝3＋5＋7 15＝3＋6＋6 15＝4＋4＋7 15＝4＋5＋6 15＝5＋5＋5 答：甜甜一共有7种不同的分法。 【名师点评】本题考查了数的拆分，注意每堆最少3个。 15．7种 【思路分析】根据题意，把10个苹果分给2个小朋友， 10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5 ＝6＋4＝7＋3＝8＋2＝9＋1，因为每人最少分2个苹果，那么婷婷一共有7种不同的分法。 【详解】10＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5 ＝6＋4＝7＋3＝8＋2 答：一共有7种不同的分法。 【名师点评】此类题型注意关键字，判断是否有顺序，如10＝2＋8，“分成两堆”是一种（无顺序），“分给两个人”是两种（有顺序），枚举时做到不重不漏。 16．3种，①3厘米、4厘米、5厘米；②4厘米、4厘米、4厘米；③2厘米、5厘米、5厘米 【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】12＝3＋4＋5＝4＋4＋4＝2＋5＋5， 答：共有3种剪法，可以是①3厘米、4厘米、5厘米；②4厘米、4厘米、4厘米；③2厘米、5厘米、5厘米。 【名师点评】围成三角形中任意两条边的和大于第三边，即最长边要小于总长度的一半，是判断三条线段能否围成一个三角形的关键。 17．7种 【解析】略 18．9种 【解析】略 19．7种 【思路分析】按照所用砝码的数量进行分类，然后枚举。 【详解】用1种：1克、2克、5克，共3种； 用2种：1＋2＝3克、1＋5＝6克、2＋5＝7克，共3种； 用3种：1＋2＋5＝8克，1种。 3＋3＋1＝7（种） 答：可以称出7种不同的重量。 【名师点评】先分类，再考虑每一类里面的搭配种类，枚举时做到不重不漏。 20．37.5米 【思路分析】由于从一端到另一端一共放了25个，共有间隔数为：25－1＝24个；又由于总长是900米，根据“间距＝总距离÷间隔数”可以求出每两个垃圾桶之间的距离，据此解答。 【详解】900÷（25－1） ＝900÷24 ＝37.5（米） 答：每两个垃圾桶之间相距37.5米。 【名师点评】本题考查了植树问题，知识点是：间隔数＝桶的个数－1，间距＝总距离÷间隔数。 21．5种 【详解】只投一个邮筒，有2种投法。两个邮筒都投，有3种投法分别是:甲1，乙3；甲2,乙2；甲3,乙1。一共有： 2＋3＝5(种) 答：一共有5种不同的投法。 22．7种:2克、3克、5克、7克、9克、10克、12克 【解析】略 23．他有4种不同的浏览方案． 【解析】略 24．14种 【详解】借阅一本：4种 借阅两本：3+2+1=6（种） 借阅三本：4种 4+6+4 =14(种) 答：共有14种借阅方法． 25．一共有6种不同的组合，分别是2个红球、2个黄球、2个蓝球、1个红球和1个黄 球、1个红球和1个蓝球、1个黄球和1个蓝球． 【解析】略 26．他得的总分数可能有7种，分别是30分、28分、26分、24分、22分、20分、18分． 【解析】略 27．答：用它们可以支付7种不同的邮资，分别是80分、100分、160分、180分、240分、260分、340分． 【解析】略 28． 2人船/条 14 11 8 5 2 3人船/条 0 2 4 6 8 【详解】略 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$