北京市重点校2023－2024学年八年级上学期期末数学汇编：分式章节综合（京改版）

2024北京重点校初二(上)期末数学汇编 分式章节综合(京改版) 一、单选题 1.(2024北京海淀初二上期末)杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料,在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放.甲醇的密度很小,甲醇的质量约为,将用科学记数法表示应为( ) A. B. C. D. 2.(2024北京东城初二上期末)在年中国国际智能汽车展览会上,吉利控股集团正式宣布中国首款纳米车规级芯片“龙鹰一号”的量产和供货.纳米米,用科学记数法表示应为( ) A. B. C. D. 3.(2024北京海淀初二上期末)下列各式从左到右变形正确的是( ) A. B. C. D. 4.(2024北京西城初二上期末)下列各式从左到右变形一定正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题 5.(2024北京海淀初二上期末)若代数式有意义,则实数的取值范围是 . 6.(2024北京西城初二上期末)若分式有意义,则x的取值范围是 . 7.(2024北京朝阳初二上期末)当 时,分式的值为0. 8.(2024北京西城初二上期末)甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书,甲清点完这批图书的,乙加入清点剩余的图书,两人合作清点完剩余的图书.如果乙单独清点这批图书需要几小时?若设乙单独清点这批图书需要h,则根据题意可列方程为 . 9.(2024北京东城初二上期末)若代数式有意义,则实数的取值范围是 . 10.(2024北京西城初二上期末)计算:(1) ;(2) . 11.(2024北京海淀初二上期末)请阅读关于“乐数”的知识卡片,并回答问题: 乐数:我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”. a.分子和分母均为正整数; b.分子小于分母; c.分子、分母均为两位数,且分子的个位数字与分母的十位数字相同; d.去掉分子的个位数字与分母的十位数字后,得到的分数与原来的分数相等. 例如:去掉相同的数字6之后,得到的分数恰好与原来的分数相等,则是一个“乐数”. (1)判断: (填“是”或“不是”)“乐数”; (2)写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” . 12.(2024北京朝阳初二上期末)若分式的值为整数,则的整数值为 . 三、解答题 13.(2024北京海淀初二上期末)计算:. 14.(2024北京朝阳初二上期末)解分式方程: 15.(2024北京朝阳初二上期末)某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时,使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍,该研究的测试者在手机上输入300个单词,使用语音输入比键盘输入平均快分钟,求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词. 16.(2024北京朝阳初二上期末)下面是一些方程和它们的解. 的解为,; 的解为,; 的解为,; …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律,解答下面问题: (1)的解为_; (2)关于x的方程的解为_; (3)关于x的方程的解为_. 17.(2024北京西城初二上期末)解方程:. 18.(2024北京东城初二上期末)先化简,再求值:,其中. 19.(2024北京东城初二上期末)解分式方程. 20.(2024北京海淀初二上期末)(1)已知,求代数式的值. (2)计算:. 21.(2024北京海淀初二上期末)列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势,正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要配送6000件包裹,使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天,求1名快递员平均每天可配送包裹多少件? 22.(2024北京东城初二上期末)2023年5月15日,辽宁男篮取得第三次CBA总冠军,辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷.某校篮球社团人数迅增,急需购进A,B两种品牌篮球,已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元,采购相同数量的A,B两种品牌篮球,分别需要花费9600元和7200元.求A,B两种品牌篮球的单价分别是多少元? 23.(2024北京朝阳初二上期末)化简:,并选择一个适当的的值代入求值. 24.(2024北京海淀初二上期末)小明设计了一个净水装置,将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后,水中的杂质含量为. 利用此净水装置,小明进行了进一步的探究: 现有杂质含量为1的水. (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后,水中杂质含量为_; (2)小明共准备了6a单位量的净水材料,设计了如下的三种方案:方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用,对水进行过滤;方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份,对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示: 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整; ②通过计算回答:在这三种方案中,哪种方案的最终过滤效果最好? (3)当净水材料总量为6a单位量不变时,为了使两次过滤后水中的杂质含量最少,小明应将第一次净水材料用量定为_(用含a的式子表示). 25.(2024北京朝阳初二上期末)通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干,但由于不可能拧净衣服上的全部污水,所以还需要用清水进行多次漂洗,不断降低衣服中污水的含量.某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好,部分内容如下,请补充完整:实验研究:先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服,把每件衣服分别用一定量的清水浸泡,经过充分搓洗,使清水与衣服上存留的污水混合均匀,然后拧干,视为一次漂洗,称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例,如:把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后,拧干到仍然存留1斤污水,则漂洗后衣服中存有的污物是原来的,在多次实验后,通过对收集的数据进行分析,该小组决定使用20斤清水,采用三种不同的方案,对每件衣服分别进行漂洗,并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水. 数据计算:对三种漂洗方案进行计算、比较. 方案一:采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉,漂洗后衣服中存有的污物是原来的_; 方案二:采用两次漂洗的方式,且两次用水量不同.如第一次用12斤清水,第二次用8斤清水,漂洗后衣服中存有的污物是原来的_; 方案三:采用两次漂洗的方式,且两次用水量相同,每次用10斤清水,漂洗后衣服中存有的污物是原来的_. 实验结论:对比可知,在这三种方案中,方案_的漂洗效果最好(填“一”“二”或“三”). 推广证明:将脏衣服用洗衣液清洗后,再用清水进行漂洗,假设每次拧干后还存留斤污水,现用斤清水漂洗(方案二中第一次用水量为x斤),证明上面实验中得到的结论. 26.(2024北京西城初二上期末)(1)计算:; (2)先化简,再求值:,其中. 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 B A C B 1.B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数,将写成的形式即可,其中,n为整数,n的值与小数点移动位数相同. 【详解】解:, 故选:B. 2.A 【分析】本题考查科学记数法,解题关键是熟练掌握科学记数法的定义. 科学记数法:把一个数记成的形式(其中大于或等于且小于),据此即可得出答案. 【详解】解:由科学记数法得:. 故选:. 3.C 【分析】本题考查了分式的基本性质,平方差公式,解题关键是掌握分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.根据分式的基本性质以及赋值法注意判断,即可得到答案. 【详解】解:A、,原式变形错误,不符合题意; B、,原式变形错误,不符合题意; C、,原式变形正确,符合题意; D、,原式变形错误,不符合题意; 故选C. 4.B 【分析】本题考查了分式的基本性质,平方差公式,解题关键是掌握分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.根据分式的基本性质以及赋值法注意判断,即可得到答案. 【详解】解:A、若,,则,,即,原变形错误,不符合题意; B、,原变形正确,符合题意; C、若,,,则,,即,原变形错误,不符合题意; D、,原变形错误,不符合题意; 故选:B. 5. 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键 直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】解:∵数式有意义, ∴,即. 故答案为. 6. 【分析】根据分式有意义的条件:分母不等于0进行求解即可. 【详解】解:由题意得:, 解得:, 故答案为:. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件,解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0. 7. 【分析】根据分式值为0的条件计算即可. 【详解】解:由题意得,且, 解得,, 故答案为:. 【点睛】本题考查了分式值为0的条件,分子为0且分母不为0,熟练掌握相关知识是解题关键. 8. 【分析】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键,注意分式方程一定要检验.设乙同学单独清点这批图书需要小时,根据两人合作清点完另一半图书,列出方程即可. 【详解】由题意可得:甲的工作效率为, ∴, 故答案为:. 9. 【分析】本题考查了分式有意义的条件,根据分母不为零,可得到结果,掌握分式有意义的条件是解题的关键. 【详解】解:∵代数式有意义, ∴, 解得:, 故答案为:. 10. 1 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂,根据相关运算法则计算即可. 【详解】解:(1), 故答案为:1; (2), 故答案为:. 11. 不是 (答案不唯一) 【分析】本题考查了了分式的定义,因式分解的应用. (1)根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”; (2)设分子的十位数字为,分母的个位数字为,由题意得,推出,由,为正整数,得到或5或10,据此求解即可. 【详解】解:(1)去掉相同的数字3之后,得到的分数为,而,, 故不是“乐数”; (2)设分子的十位数字为,分母的个位数字为, 由题意得, 整理得,即, ∵,为正整数, ∴或5或10, ∴或4或9(舍去), ∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或. 故答案为:不是,. 12.0或/或0 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识,根据题意确定的值是解题关键.根据题意,若分式的值为整数,则或或, 然后分别求解,即可确定的整数值. 【详解】解:若分式的值为整数, 则或或, 当时,, 当时,, 当时,, 当时,, 当时,, 当时,, 若取整数, 则的整数值为0或. 故答案为:0或. 13.12 【分析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的意义对原式进行化简,再进行计算即可. 【详解】解:原式 . 【点睛】本题考查了有理数的混合运算,零指数幂,负整数指数幂和绝对值的意义,相关公式有:,,熟练掌握运算法则是解题的关键. 14. 【分析】首先通过去分母将分式方程转化为整式方程,求出整式方程的解得出x的值,最后进一步经检验得出答案即可. 【详解】解:将方程左右两边同时乘以:得: , 解得:, 检验:当时,. ∴原方程的解是. 【点睛】本题主要考查了分式方程的求解,熟练掌握相关方法是解题关键. 15.求测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词. 【分析】考查了分式方程的应用,解题的关键是能够找到等量关系并依照等量关系列出方程求解. 【详解】解:设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x个单词,则使用语音输入平均每分钟输入个单词. 由题意,得. 解得. 经检验,是原分式方程的解,且符合题意. 所以. 答:测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词. 16.(1),; (2),; (3),. 【分析】本题考查了解分式方程. (1)观察阅读材料中的方程解过程,归纳总结得到结果; (2)仿照方程解方程,归纳总结得到结果; (3)方程变形后,利用得出的规律得到结果即可; 【详解】(1)解:猜想关于x的方程的解是; 故答案为:; (2)解:猜想关于x的方程的解是,; 故答案为:,; (3)解:方程变形得:, ∴, 可得或, 解得:,. 17. 【分析】本题考查的是解分式方程,方程两边同乘以变形为整式方程,解整式方程并检验,即可确定原方程的解. 【详解】解:, 方程两边同乘,得, 解得:, 检验:当时,, 所以,原分式方程的解为. 18., 【分析】本题考查分式的化简求值,掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方,然后算乘除,最后算加减,有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键.原式小括号内的式子进行通分计算,然后算括号外面的除法,最后代入求值. 【详解】解: . 当时,原式. 19. 【分析】本题主要考查了解分式方程,解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法.先去分母把分式方程化为整式方程,然后解方程,最后代入原方程检验即可. 【详解】解: 方程两边都乘,得. 解得:. 检验:当时,. 所以分式方程的解是. 20.(1)13(2) 【分析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算,掌握运算法则和通分、约分是解题的关键. (1)先去括号,在合并同类项,然后把代入化简后的式子计算即可; (2)先通分括号里面的,再把除法转化为乘法计算即可. 【详解】(1)解:原式= =; ∵, ∴. ∴. ∴原式=. (2)原式= = =. 21.件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用,审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键. 设1名快递员平均每天配送包裹件.则1辆无人配送车平均每天配送的包裹,然后根据等量关系“要配送6000件包裹,使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可. 【详解】解:设1名快递员平均每天配送包裹件.则1辆无人配送车平均每天配送的包裹, 依题意可得:,解得:. 经检验,是原分式方程的解且符合题意. 答:1名快递员平均每天可配送包裹件. 22.A品牌篮球单价为96元,B品牌篮球单价为72元 【分析】设B品牌篮球单价为x元,则A品牌篮球单价为元,,再利用“采购相同数量的A,B两种品牌篮球,分别需要花费9600元和7200元”,列方程,解方程即可. 【详解】解:设B品牌篮球单价为x元,则A品牌篮球单价为元, 根据题意,得. 解这个方程,得. 经检验,是所列方程的根. (元). 所以,A品牌篮球单价为96元,B品牌篮球单价为72元. 【点睛】本题考查的是分式方程的应用,设出恰当的未知数,确定相等关系是解题的关键. 23.,2(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件、平方差公式、完全平方公式等知识,熟练掌握分式运算法则是解题关键. 首先根据分式的运算法则进行运算求解,然后根据分式有意义的条件可知且且,最后将代入求值即可. 【详解】解: , ∵且且, ∴且且, ∴可取, 此时,原式. 24.(1) (2)①,②方案C (3) 【分析】本题主要考查了分式的应用,涉及分式的混合运算, (1)根据水中的杂质含量为计算即可; (2)①根据(1)中的方法,列式即可作答;②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答; (3)设第一次使用x单位的净水材料,则第二次使用个单位,即第一次净水后,杂质含量为:,第二次净水后,杂质含量为:,即有,问题随之得解. 【详解】(1), 故答案为:; (2)① 根据题意:第一次过滤后水中杂质含量为:, 第二次过滤后水中杂质含量为:, 故答案为:,; ② 解:=. ∵, ∴,. ∴. ∴. 同理,可得. ∴. ∴方案C的最终过滤效果最好. (3)设第一次使用x单位的净水材料,则第二次使用个单位, ∴第一次净水后,杂质含量为:, ∴第二次净水后,杂质含量为:, ∵ , ∵, ∴, 当,即时,有最大值为, ∴此时分数有最小值, 即第一次使用单位的净水材料,第二次使用个单位时,两次过滤后水中的杂质含量最少, 故答案为:. 25.数据计算:,,;实验结论:三;推广证明:见解析 【分析】本题考查分式的实际应用: 数据计算:把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后,拧干到仍然存留1斤污水,则漂洗后衣服中存有的污物是原来的,由此可解; 实验结论:根据前一问结论,比较大小即可; 推广证明:用含x,a,m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比,利用分式的性质将分子化为相同,比较分母的大小即可. 【详解】解:数据计算: 方案一,漂洗后衣服中存有的污物是原来的, 方案二,漂洗后衣服中存有的污物是原来的, 方案三,漂洗后衣服中存有的污物是原来的, 故答案为:,,; 实验结论: , 方案三的漂洗效果最好, 故答案为:三; 推广证明: 依题意可得, 选择方案一进行一次漂洗后,衣服中存有的污物是原来的,可化为; 选择方案二进行两次漂洗后,衣服中存有的污物是原来的,整理得; 选择方案三进行两次漂洗后,衣服中存有的污物是原来的,整理得; 因为三个分式的分子,分母都是正数,且分子相同, 所以要判断三个分式值的大小,只需比较分母的大小, 因为,且,, 所以, 所以, 所以, 即方案二比方案一的漂洗效果好, 因为,且, 所以, 所以, 所以, 即方案三比方案二的漂洗效果好, 综上,在这三种方案中,方案三的漂洗效果最好. 26.(1);(2),原式 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法,分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解答本题的关键. (1)根据多项式与多项式的乘法法则计算即可; (2)先根据分式的运算法则把所给代数式化简,再把代入计算. 【详解】解:(1) . (2) =. 当时,原式. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$