2.3 三角形面积公式的推导和应用（学霸课堂笔记）-2024-2025学年数学五年级上册同步培优讲义（苏教版）

2.3 三角形面积公式的推导和应用 第一部分 知识清单 · 两个底边相等，面积相等，另外两条边不相等的三角形，通过拼接能够拼成一个四边形，不能拼成平行四边形。 · 两个完全一样的三角形，通过平移、旋转、拼接可以拼成一个平行四边形。 · · 如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，上面的公式可以写成：S=a×h÷2。 · 三角形面积的公式和应用： · 三角形的面积=底×高÷2，也可以写成：S=a×h÷2 · 在三角形中，只要知道底、高和面积三个量中的任意两个量，根据三角形的面积计算公式，就可以求出第三个量。 第二部分 典型例题 例1：一个三角形与平行四边形的面积相等，底也相等，已知三角形的高是12厘米，那么平行四边形的高是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．18 D．24 答案：A 分析：根据三角形面积公式：底×高÷2，平行四边形面积公式：底×高；三角形面积等于平行四边形面积，底相等，平行四边形的高等于三角形高的一半，据此解答。 详解：12÷2＝6（厘米） 已知三角形的高是12厘米，那么平行四边形的高是6厘米。 故答案为：A 例2：一个平行四边形的面积是24平方厘米，在这个平行四边形中画一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 答案：12 分析：根据题意，在一个平行四边形里画一个最大的三角形，那么这个三角形与平行四边形等底等高；根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可知等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答。 详解：24÷2＝12（平方厘米） 则这个三角形的面积是12平方厘米。 例3：计算涂色部分的面积。 答案：30平方米 分析：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2。根据图形，阴影部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积。 详解： （平方米） （平方米） （平方米） 涂色部分的面积是30平方米。 例4：求图形面积。 答案：90000平方米 分析：这个图形可以看作一个三角形和一个长方形组成的组合图形。三角形面积＝底×高÷2，长方形面积＝长×宽，据此先分别求出三角形和长方形的面积，再相加即可。 详解：600×100÷2＋600×100 ＝30000＋60000 ＝90000（平方米） 所以，这个图形的面积是90000平方米。 ：基础过关练 一、选择题 1．如图所示，用割补的方法可以将梯形转化成三角形。如果转化后三角形的面积是36平方厘米，底是16厘米，那么原来梯形的高是（    ）厘米。 A．4.5 B．2.25 C．16 D．1.125 2．一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等。如果三角形的高是4分米，那么平行四边形的高是（    ）分米。 A．2 B．1 C．8 D．4 3．如下图，一个直角三角形的三条边长度分别是10厘米、8厘米和6厘米，它斜边上的高是（    ）厘米。 A．2.4 B．4.8 C．3.6 4．一个直角三角形三条边的长度分别是6厘米、8厘米和10厘米。这个直角三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．24平方厘米 B．30平方厘米 C．40平方厘米 5．一个三角形的面积是15平方米，底是10米，高是（    ）米。 A．6 B．3 C．1.5 二、填空题 6．一个等腰直角三角形，直角边长12厘米，它的面积是( )平方厘米；一个等腰直角三角形斜边长为12厘米，它的面积是( )平方厘米。 7．一个三角形和一个平行四边形的底相等，高也相等，如果平行四边形的面积是22平方厘米，那么三角形的面积是( )平方厘米。 8．一个三角形和一个平行四边形等底等高，平行四边形的面积是，三角形的面积是( )。 9．用一张边长90厘米的正方形红纸，做底和高都是5厘米的直角三角形小红旗，最多可以做( )面。 10．如图，长方形内有个等边三角形，( )。如果等边三角形的面积是4cm2，那么长方形的面积是( )cm2。 11．张典用两块直角三角形拼板和一块正方形拼板拼成了一个大直角三角形（如图）。①号直角三角形拼板的斜边长为5cm，②号直角三角形拼板的斜边长为8cm。两块直角三角形拼板面积的和是 cm2。 12．下图中是两个正方形（单位：厘米），阴影部分的面积是( )平方厘米。 三、判断题 13．等底等高的两个三角形面积一定相等。( ) 14．直角三角形的面积等于两条直角边的长度乘积除以2。( ) 15．等底等高的两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。( ) 16．左面平行四边形中，涂色部分的面积与空白部分的面积相等。( ) 17．两个面积相等的三角形，形状也相同。( ) ：培优提升练 四、解答题 18．一个长方形彩纸如图所示，长3米，宽2米，剪一个两条直角边都是4分米的红旗，不可剪拼，至少可以剪多少个？ 19．如图，一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米。原来三角形的面积是多少？ 20．有一块形状如三角形的麦田，底是250米，高是60米，共收小麦10.8吨，这块麦田平均每公项收小麦多少吨？ 21．王阿姨家有一块底16米，高6.5米的三角形玫瑰花地，每平方米能产玫瑰花120枝。这块玫瑰花地一共可以产玫瑰花多少枝？ 22．下图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 1．A 分析：根据题意可知，用制补的方法将梯形转化成三角形，梯形面积与三角形面积相等，且高相等；求转化后梯形的高，根据高＝三角形的面积×2÷底，计算即可解答。 详解：36×2÷16 ＝72÷16 ＝4.5（厘米） 那么原来梯形的高是4.5厘米。 故答案为：A 2．A 分析：等面积等底的平行四边形和三角形，三角形的高是平行四边形高的2倍，直接用三角形的高÷2＝平行四边形的高，据此列式计算。 详解：4÷2＝2（分米） 平行四边形的高是2分米。 故答案为：A 3．B 分析：三角形面积＝底×高÷2，据此先求出三角形的面积。将面积乘2，再除以底10厘米，求出这个底边上的高。 详解：8×6÷2＝24（平方厘米） 24×2÷10＝4.8（厘米） 所以，它斜边上的高是4.8厘米。 故答案为：B 4．A 分析：直角三角形的斜边最长。10＞8＞6，则这个直角三角形的两条直角边是6厘米和8厘米，即是三角形的一组底和高。三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据计算即可。 详解：6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 这个直角三角形的面积是24平方厘米。 故答案为：A 5．B 分析：三角形的面积＝底×高÷2，据此用三角形的面积乘2，再除以底即可求出高。 详解：15×2÷10 ＝30÷10 ＝3（米） 高是3米。 故答案为：B 6． 72 36 分析：一个等腰直角三角形，直角边长12厘米，即底和高都是12厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，用12×12÷2，即可求出这个等腰直角三角形的面积。 一个等腰直角三角形斜边长为12厘米，用这样的4个三角形就可以拼成一个边长是12厘米的正方形，求出正方形的面积，再除以4，即可求出这个等腰直角三角形的面积。 详解：根据分析，作图如下： 12×12÷2＝72（平方厘米） 一个等腰直角三角形，直角边长12厘米，它的面积是72平方厘米。 12×12÷4＝36（平方厘米） 一个等腰直角三角形斜边长为12厘米，它的面积是36平方厘米。 7．11 分析：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍；三角形面积是平行四边形面积的一半。据此解答。 详解：22÷2＝11（平方厘米） 那么三角形的面积是11平方厘米。 8．3140 分析：等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，用平行四边形面积÷2，即可解答，注意单位名数的换算。 详解：62.8÷2＝31.4（m2） 31.4m2＝3140dm2 一个三角形和一个平行四边形等底等高，平行四边形的面积是，三角形的面积是3140dm2。 9．648 分析：因为90厘米是5厘米的整数倍，可知正方形红纸刚好可以全部剪成小红旗，没有剩余，所以三角形小旗的面数＝正方形的面积÷三角形面积。再根据正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2。把数据代入解答即可。 详解：90×90÷（5×5÷2） ＝8100÷12.5 ＝648（面） 所以，最多可以做648面。 10． 30 8 分析：根据长方形的特征可知，，又因为三角形是等边三角形，等边三角形的每个角都是60°，所以；因为等底等高的长方形的面积等于三角形的面积的2倍，所以长方形的面积等于三角形面积的2倍，据此解答。 详解： （cm2） ；长方形的面积是8cm2。 11．20 分析：因为正方形的4条边长相等，将①号三角形顺时针旋转90°刚好与②号三角形拼成一个直角三角形，拼成的直角三角形的底8cm，高5cm，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 如图： 详解：8×5÷2＝20（cm2） 两块直角三角形拼板面积的和是20cm2。 点睛：本题难点在于，能否利用旋转这一特性，把图形①与②拼接成一个新的直角三角形。 12．18 分析：阴影部分的面积等于两个三角形的面积的和，小三角形的底和高就是小正方形的边长，大三角形的底是大正方形的边长，高是小正方形的边长。根据三角形的面积公式，求出两个三角形的面积，再相加即可得解。 详解： （平方厘米） 阴影部分的面积是18平方厘米。 13．√ 分析：三角形面积＝底×高÷2，三角形的面积与底和高有关，等底等高的两个三角形，面积相等，据此分析。 详解：等底等高的两个三角形面积一定相等，说法正确。 故答案为：√ 14．√ 分析：三角形面积公式：面积＝底×高÷2，在直角三角形中，由于两条直角边是互相垂直的，所以一条直角边看作底，另一条直角边看作高，直角三角形面积等于两条直角边的长度乘积除以2，据此解答。 详解：根据分析可知，直角三角形的面积等于两条直角边的长度乘积除以2。 原题干说法正确。 故答案为：√ 15．× 分析：有两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。 因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。 详解：如图： 4×2÷2＝4（cm2） 等底等高的两个三角形面积相等，但形状不一样时，不能拼成一个平行四边形。 原题说法错误。 故答案为：× 16．√ 分析：由图知：阴影部分的两个三角形高相等，都等于平行四边形的高，可令左边阴影三角形的底是a，右边阴影三角形的底是b，平行四边形的高是h； 利用三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，代入数据，求得各自的面积，从而计算出空白部分的面积，再比较即可。 详解：令左边阴影三角形的底是a，右边阴影三角形的底是b，平行四边形的高是h 两个阴影三角形面积： a×h÷2＋b×h÷2 ＝（a＋b）×h÷2 平行四边形面积： （a＋b）×h （a＋b）×h÷2是（a＋b）×h的的一半。 阴影部分的面积是平行四边面积的一半，则白色部分是平行四边形面积的另一半。 故涂色部分的面积与空白部分的面积相等。 原题说法正确。 故答案为：√ 17．× 详解：因为三角形的面积＝底×高÷2，所以底和高乘积相等的三角形面积相等。 比如：三角形A的底为6厘米，高为4厘米，三角形B的底为8厘米，高为3厘米，两个三角形的面积均为12平方厘米，其形状不同；原说法错误。 故答案为：× 18．70个 分析：先统一单位，将长方形的长和宽，以及直角三角形的直角边都转化为相同的单位分米。将2个直角三角形组成一个边长为4分米的正方形，转变题目为长方形中可以剪几个边长为4分米的正方形，然后分别计算长方形的长和宽分别包含多少个正方形的边长，最后相乘得到可剪出的正方形的数量，最后再乘2即可得到红旗数量。 详解：3米＝30分米 2米＝20分米     30÷4＝7（个）……2（分米） 20÷4＝5（5个） 7×5×2＝70（个） 答：可以剪多少70个。 19．7.5平方米 分析：底延长1米，面积增加1.5平方米。增加的部分是一个三角形，其底为1米，面积为1.5平方米。根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，可得出高＝面积×2÷底。所以增加部分三角形的高，也就是原三角形的高为：1.5×2÷1＝3（米）原三角形的底为5米，高为3米，直接代入三角形面积公式计算即可。 详解：原三角形的高为：1.5×2÷1＝3（米） 原三角形的面积为：5×3÷2＝7.5（平方米） 答：原来三角形的面积是7.5平方米。 20．14.4吨 分析：首先，计算这块三角形麦田的面积。三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2。底是250米，高是60米，所以面积为：250×60÷2＝7500（平方米），接下来，将面积单位转换为公顷。因为1公顷＝10000平方米，所以这块麦田的面积为7500÷10000＝0.75公顷。已知这块麦田共收小麦10.8吨，用总收成的小麦吨数除以麦田的公顷数，即可得到平均每公顷收小麦的吨数。 详解：250×60÷2＝7500（平方米） 7500平方米＝0.75公顷 10.8÷0.75＝14.4（吨） 答：这块麦田平均每公项收小麦14.4吨。 21．6240枝 分析：利用公式：三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形的面积，再三角形的面积乘每平方米产的玫瑰花数量，就可以求出这块玫瑰花地一共可以产玫瑰花多少枝。 详解：16×6.5÷2＝52（平方米） 52×120＝6240（枝） 答：这块玫瑰花地一共可以产玫瑰花6240枝。 22．8平方厘米 分析：两个正方形的面积中减去空白部分（三个三角形）的面积就是阴影部分的面积。据此计算即可。 详解：整体：6×6＋4×4＝52（平方厘米） 空白：（6＋4）×6÷2＋6×（6－4）÷2＋4×4÷2 ＝30＋6＋8 ＝44（平方厘米） 阴影面积：52－44＝8（平方厘米） 答：阴影部分三角形的面积是8平方厘米。 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$