2.7 组合图形的面积（学霸课堂笔记）-2024-2025学年数学五年级上册同步培优讲义（苏教版）

2.7 组合图形的面积 第一部分 知识清单 · 组合图形的面积计算方法： · 方法一：分割求和法。 · 有些组合图形是由已学过的几个简单的图形组成的，计算它的面积时，先把它分割成几个已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后加起来即可求出整个图形的面积。 · 方法二：添补求差法。 · 有些组合图形，是从已学过的简单图形中剪去一个（或几个）已学过的简单图形构成的，计算它的面积时，需要从一个图形的面积中减去另一个（或几个）图形的面积。 第二部分 典型例题 例1：求如图图形的面积，分割方法不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 答案：D 分析：求组合图形的面积可用切割法，把组合图形切割成规则图形，再进行计算，据此逐一分析各项即可。 详解：A．把该图形拆成一个梯形和一个长方形，分割正确； B．把该图形拆成一个梯形和一个三角形，分割正确； C．把该图形拆成一个三角形和一个长方形，分割正确； D．该图形拆成一个三角形和一个不规则图形，分割错误。 故答案为：D 例2：七巧板是我国传统智力玩具。如图，如果大正方形的边长是8厘米，那么①号图形的面积是( )平方厘米。 答案：8 分析：根据七巧板的特点，先把正方形平均分成4份，每个大三角形的面积相等，再把①所在的大三角形平均分成4份，每个小三角形的面积也相等，图①相当于2个小三角形，结合图示可知，阴影部分的面积等于大正方形的面积除以8，根据正方形的面积，然后再除以8计算即可。 详解： （平方厘米） 所以①号图形的面积是8平方厘米。 点睛：本题主要考查组合图形的面积的计算，关键利用正方形面积公式计算。 例3：计算组合图形的面积也要用到基本图形的面积公式。    ( ) 答案：√ 分析：在计算组合图形的面积，一般通过分割法或添补的方法，把它转化成基本图形后进行计算。 详解：在计算组合图形的面积，把它转化成基本图形后进行计算,所以也要用到基本图形的面积公式。原题说法正确。 故答案为：√ 点睛：本题考查了解决组合图形的面积时的基本方法，平时计算时多注意观察，即可判断。 例4：下图是一块长方形草地，长16米，宽10米。草地中间有两条路，一条路的形状是平行四边形，底是2米；另一条路的形状是长方形，宽是3米。草坪的面积是多少平方米？ 答案：98平方米 分析：通过平移，4块草坪可以拼成一个长方形，拼成的长方形的长＝原来的长－平行四边形路的底，拼成的长方形的宽＝原来的宽－长方形路的宽，根据长方形面积＝长×宽，即可求出草坪的面积。 详解：（16－2）×（10－3） ＝14×7 ＝98（平方米） 答：草坪的面积是98平方米。 ：基础过关练 一、选择题 1．如图是四个学生在计算草坪面积时进行的分割，仔细观察，根据图中的分割方法和数据不能计算出草坪面积的是（    ）。 A． B． C． D． 2．对于下边图形面积的计算，错误的是（    ）。 A．4×5＋3×6 B．6×8－4×5 C．8×4＋3×2 D．（8＋5）×4÷2＋（2＋6）×3÷2 3．下图中共有（    ）个图形的面积是平行四边形面积的一半。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下面图形的面积为46平方厘米，根据图中的数据可知，b长度为（    ）厘米。    A．2 B．4 C．5 D．6 5．如图，平行四边形的面积是18平方厘米，那么长方形的面积（    ）。 A．大于18平方厘米 B．等于18平方厘米 C．小于18平方厘米 D．无法比较 二、填空题 6．张叔叔种有四个形状各不相同的花圃（如图所示），其中面积最大的花圃是( )，面积最小的花圃是( )。（填序号，每个小方格表示1平方米） 7．下图平行四边形的面积是16平方厘米，涂色部分的面积是( )。 8．一张边长8cm的正方形纸（如图），从相邻两边的中点连一条线段，沿这条线段剪去一个角，剩下的面积是( )cm2。 9．如图是由6个面积都是1平方厘米的正方形组成的，三角形C的面积是( )平方厘米，空白部分的面积是( )平方厘米。 10．四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，AC＝18厘米，BD＝13厘米，则四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 ：培优提升练 三、计算题 11．计算下面图形的面积。 四、解答题 12．计算一面少先队中队旗的面积，需要测量哪些数据？先互相说一说，再找一面中队旗测量并计算。 13．一个由8个等腰直角三角形组成的装饰图案（如下图），每个三角形的腰长8分米。这个图案的面积是多少平方分米？ 14．校园里有一个花圃（如图），你能算出它的面积是多少平方米吗？ 15．中国少年先锋队的中队旗是五角星加火炬的红旗，如图。（单位：厘米） （1）估一估，这面中队旗的面积大约有多大？与同伴交流你的想法。 （2）计算中队旗的面积，说一说你是怎么想的。 16．公园里有一块空地（如下图），现在要给这块空地铺上草坪。如果铺1平方米草坪需要15元，铺满这块草坪需要多少元？ 1．D 分析：A．将草坪的面积拆成长方形和梯形，再根据长方形的面积公式：S＝ab，梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，据此进行计算即可； B．将草坪的面积拆成长方形和三角形，再根据长方形的面积公式：S＝ab，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可； C．将草坪的面积拆成三角形和梯形，再根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可； D．将草坪的面积拆成三角形和梯形，再根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可。 详解：A．长方形面积：12×4＝48（cm2） 梯形面积：（12＋15）×（10－4）÷2 ＝27×6÷2 ＝162÷2 ＝81（cm2） 阴影部分的面积：48＋81＝129（cm2） B．长方形面积：12×10＝120（cm2） 三角形面积：（15－12）×（10－4）÷2 ＝3×6÷2 ＝18÷2 ＝9（cm2） 阴影部分的面积：120＋9＝129（cm2） C．梯形面积：（4＋10）×12÷2 ＝14×12÷2 ＝168÷2 ＝84（cm2） 三角形面积：15×（10－4）÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 阴影部分的面积：84＋45＝129（cm2） D．梯形的上底无法得出，所以也无法求出草坪的面积。 故答案为：D 2．B 分析：．把组合图形分割成上、下两个长方形，那么图形的面积等于两个长方形的面积之和；根据“长方形的面积＝长×宽”求解； B．把组合图形补成一个大方形，那么图形的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积；根据“长方形的面积＝长×宽”求解； C．把组合图形分割成左、右两个长方形，那么图形的面积等于两个长方形的面积之和，根据“长方形的面积＝长×宽”求解； D．把组合图形分割成两个梯形，那么图形的面积等于两个梯形的面积之和；根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求解。 详解：A． 4×5＋（8－5）×6＝4×5＋3×6，原题列式正确； B． 6×8－（6－4）×5＝6×8－2×5，原题列式错误； C． 8×4＋（8－5）×（6－4）＝8×4＋3×2，原题列式正确； D． （8＋5）×4÷2＋（6－4＋6）×（8－5）÷2＝（8＋5）×4÷2＋（2＋6）×3÷2，原题列式正确。 故答案为：B 3．B 分析：将每个小正方形的边长看作1，根据平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，组合图形可以拼成一个长方形，长方形面积＝长×宽，据此求出各图形面积即可得出结论。 详解：平行四边形面积：3×4＝12 平行四边形面积的一半：12÷2＝6 第一个三角形面积：3×4÷2＝6 第二个三角形面积：4×4÷2＝8 组合图形的面积：3×2＝6 梯形面积：（2＋3）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝7.5 共有2个图形的面积是平行四边形面积的一半。 故答案为：B 点睛：关键是掌握并灵活运用平行四边形、三角形和梯形面积公式。 4．C 分析：把原图化为，由此可知，原图形面积等于边长是8厘米的正方形面积减去长是（8－2）厘米，宽是a厘米的长方形面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，求出边长是8厘米的正方形面积，再减去46平方厘米，求出长是（8－2）厘米，宽是a厘米长方形面积，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽；宽＝面积÷长，代入数据，求出a的长度，进而求出b的长度。 详解：（8×8－46）÷（8－2） ＝（64－46）÷6 ＝18÷6 ＝3（厘米） 8－3＝5（厘米） 下面图形的面积为46平方厘米，根据图中的数据可知，b长度为5厘米。 故答案为：C 点睛：熟练掌握和灵活运用长方形面积公式和正方形面积公式是解答本题的关键。 5．B 分析：把长方形沿对角线分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于平行四边形的底，每个三角形的高等于平行四边形的高，因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以这两个三角形（阴影部分）的面积等于平行四边形，也就是长方形的面积等于平行四边形的面积；据此解答即可。 详解：因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以这两个三角形（阴影部分）的面积等于平行四边形，也就是长方形的面积等于平行四边形的面积。 故答案为：B 点睛：此题考查的目的是理解掌握等底等高的三角形与平行四边形面积之间的关系及应用，等底等高的平行四边形与长方形面积之间的关系及应用。 6． ② ④ 分析：将图形采用合并、平移、割补、分割的办法，将不规则的图形转化为规则的图形如正方形、长方形等，然后再利用公式求解，从而使问题得到解决。 详解：如图所示： ①将左边的三角形平移到右边，可以化为一个长为6米，宽为2米的长方形 面积为6×2＝12（平方米）； ②可分为一个底为3米，高为3米的平行四边形和一个底为2米，高为3米的平行四边形，面积为：3×3＋2×3 ＝9＋6 ＝15（平方米）； ③可分为一个底为4米，高为2米的三角形和一个上底为4米，下底为5米，高为2米的梯形，面积为： 4×2÷2＋（4＋5）×2÷2 ＝4×2÷2＋9×2÷2 ＝8÷2＋18÷2 ＝4＋9 ＝13（平方米）； ④可分为一个上底为1米，下底为4米，高为2米的梯形；一个长为3米，宽为1米的长方形和一个底为1米，高为2米的平行四边形，面积为： （1＋4）×2÷2＋3×1＋1×2 ＝5×2÷2＋3×1＋1×2 ＝5＋3＋2 ＝8＋2 ＝10（平方米） 10＜12＜13＜15，所以最大的花圃是②，最小的花圃是④。 7．8平方厘米 分析：根据观察图可知涂色部分是一个三角形，该三角形和平行四边形等底等高，所以涂色部分的面积是该四边形面积的一半，据此分析即可。 详解：由分析可知，涂色部分的面积是平行四边形面积的一半， 所以涂色部分面积为： 16÷2＝8（平方厘米） 点睛：本题主要考查了等底等高的平行四边形和三角形的面积关系，即等底等高的三角形的面积是平行四边形的一半，要求学生熟练掌握并且会灵活运用。 8．56 分析：用正方形的面积减去底和高都是8÷2＝4（cm）的三角形的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，三角形面积公式：S＝ah÷2，计算即可。 详解：8×8－（8÷2）×（8÷2）÷2 ＝64－4×4÷2 ＝64－8 ＝56（cm2） 点睛：本题主要考查组合图形的面积，关键是把组合图形转化为规则图形计算。 9． 1 4 分析：（1）因为正方形的面积是1平方厘米，所以正方形的边长是1厘米，那么三角形C的底是2厘米，高是1厘米，由此根据三角形的面积公式S＝ah÷2求出面积； （2）三角形A的底是1厘米，高是1厘米，三角形B的底是1厘米，高是1厘米，根据三角形的面积公式S＝ah÷2分别求出三角形A和三角形B的面积，进而求出A、B、C的面积和；用6个正方形的面积减去三角形A、B、C的面积和求出空白部分的面积。 详解：（1）2×1÷2＝1（平方厘米） （2）1×1÷2×2＋1＝2（平方厘米） 6×1－2＝4（平方厘米） 三角形C的面积是1平方厘米，空白部分的面积是4平方厘米。 点睛：关键是根据正方形的面积是1平方厘米求出正方形的边长是1厘米，再利用三角形的面积公式S＝ah÷2解决问题。 10．117 分析：观察图形可知，四边形ABCD包括两个三角形：三角形ABD和三角形BCD，AO和CO分别是这两个三角形的高。三角形的面积＝底×高÷2，则三角形ABD的面积＝13×AO÷2，三角形BCD＝13×CO÷2，那么四边形ABCD的面积＝13×AO÷2＋13×CO÷2＝13×（AO＋CO）÷2。已知AO＋CO＝18厘米，据此求出四边形的面积。 详解：13×AO÷2＋13×CO÷2 ＝13×（AO＋CO）÷2 ＝13×18÷2 ＝117（平方厘米） 点睛：把四边形的面积看作两个等底的三角形面积之和，再运用乘法分配律把两个三角形的面积之和进行转化是解题的关键。 11．84cm2；54m2；192cm2 分析：（1）根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可求解。 （2）观察图形可知，组合图形的面积＝三角形的面积＋梯形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可求解。 （3）如下图，补齐缺口处，那么组合图形的面积＝梯形的面积－正方形的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求解。 详解：（1）8×10.5＝84（cm2） 平行四边形的面积是84cm2。 （2）9×4÷2＋（9＋3）×6÷2 ＝36÷2＋12×6÷2 ＝18＋36 ＝54（m2） 组合图形的面积是54m2。 （3）（8＋24）×（8＋8）÷2－8×8 ＝32×16÷2－64 ＝256－64 ＝192（cm2） 组合图形的面积是192cm2。 12．测量数据见详解；4200平方厘米 分析：根据中队旗的图形可知，补上缺口后是一个长方形，所以需要测量长方形的长和宽，长方形的宽也是缺口三角形的底，还需测量缺口三角形的高；那么中队旗的面积＝长方形的面积－三角形的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算即可求出中队旗的面积。 详解：计算一面少先队中队旗的面积，需测量中队旗补上缺口后的长和宽，以及缺口三角形的高。 如图： 80×60－60×20÷2 ＝4800－600 ＝4200（平方厘米） 答：这面少先队中队旗的面积是4200平方厘米。 （答案不唯一） 13．256平方分米 分析：根据题意，每个等腰三角形的腰都是8分米，说明这8个三角形面积相等；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出一个等腰三角形的面积，再乘8，即可求出这个图案的面积，据此解答。 详解：8×8÷2×8 ＝64÷2×8 ＝32×8 ＝256（平方分米） 答：这个图案的面积是256平方分米。 14．24平方米 分析：用“分割法”把花圃分割成一个大长方形和小正方形，大长方形的长为5米，宽为6－2＝4（米），根据长方形的面积＝长×宽，即5×4＝20（平方米），小正方形的边长为2，根据正方形的面积＝边长×边长，即2×2＝4（平方米），再把它们面积相加，即20＋4＝24（平方米），据此解答。 详解：由分析可知： 6－2＝4（米） 5×4＝20（平方米） 2×2＝4（平方米） 20＋4＝24（平方米） 答：它的面积是24平方米。 15．（1）4500平方厘米 （2）4200平方厘米 分析：根据图示，结合补全法，把红旗看成一个长方形割掉了一个三角形即可，长方形的长为80厘米，宽为60厘米，三角形的底边为60厘米，高为20厘米，结合长方形的面积公式：长×宽以及三角形的面积公式：底×高÷2，计算即可。 详解：（1）长方形的面积：80×60＝4800（平方厘米） 三角形的面积估算为300平方厘米 即4800－300＝4500（平方厘米） 答：估算这面红旗的面积为4500平方厘米。 （2）80×60－60×20÷2 ＝4800－1200÷2 ＝4800－600 ＝4200（平方厘米） 答：这面红旗面积为4200平方厘米。 16．4230元 分析：根据对图的观察，该空地由左边的直角三角形和右边的梯形组成； 直角三角形底为（24－15）米，高为16米，该梯形上底为12米，下底为16米，高为15米； 根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，将数值代入求出空地总面积，最后再乘15元，即可算出需要多少钱。 详解：由分析可得： （24－15）×16÷2＋（12＋16）×15÷2 ＝9×16÷2＋28×15÷2 ＝144÷2＋420÷2 ＝72＋210 ＝282（平方米） 282×15＝4230（元） 答：铺满这块草坪需要4230元。 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$