第21章 《二次函数及反比例函数》单元测试卷 2024--2025学年沪科版九年级数学上册

第21章 二次函数及反比例函数 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是 （     ） A． B． C． D． 2．下列函数的图象不经过点 的是 （     ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，下列结论错误的是 （     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线过四点，则与的大小关系是 （      ） A． B． C． D．不能确定 6．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是 （ ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 7．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为 （     ） 第7题图 第8题图 A． B． C． D． 8．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是 （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为 （　 　）             A B C D 10． 如图，和都是直角边长为的等腰直角三角形，它们的斜边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线以的速度向右匀速移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的时间为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为 （      ）    A B C D 二、填空题 （每题5分，共20分） 11．抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为 ． 12．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ． 第12题图 第13题图 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 ．   14．如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是 ． 三、解答题（共9题，满分90分） 15．（8分）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； (2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1． 16．（8分）已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 17．（8分）已知二次函数， （1）画出它的图象，并求出它的顶点坐标和对称轴； （2）当函数值时，观察图象，直接写出自变量x的取值范围． 18．（8分）已知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 19．（10分）如图所示，矩形花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 20．（10分）如图，抛物线 ，均不为与双曲线相交于、、三点．    (1)求抛物线和双曲线的解析式； (2)若为双曲线上的三点，且，请直接写出的大小关系式； (3)观察图象，请直接写出不等式的解集． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直线上有一点，反比例函数图象上有一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，直接写出点的坐标． 22．（12分）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（14分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为． (1)求抛物线的关系式； (2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S． ①求S与m之间的函数关系式． ②当S取得最大值时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 数 学 试 题 卷█（第1页）共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B C D A B D C 二、填空题 11．2 12． 13． 14． 15．（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）， ∴设二次函数的解析式为：， 把（0,﹣6）代入得： ， 解得：a＝2， 故二次函数的解析式为：； （2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得： ， 解得：， 故二次函数解析式为：． 16．（1）解：当函数是一次函数时，，且， 解得：且； （2）当函数是正比例函数时，， 解得：． （3）当函数是反比例函数时，， 解得：． 17．解：（1）， 故抛物线的顶点坐标为（1，0），对称轴为x=1； 令=0，解得：=1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）； 当x=0时，y=1，故抛物线和y轴的交点坐标为（0，1），该点关于抛物线对称轴的对称点为（2，1）， 因为抛物线的顶点，与抛物线和轴交点重合，所以根据上述三点描点连线绘制如下函数图象： （2）观察图象图象知，使y＞0时，x的取值范围是：x≠0的全体实数． 18． （1）解：与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 把，代入得：， 解得：， ， 答：与的函数关系式是． （2）解：当时，， 答：当时，的值是5． 19．（1）∵边长为m，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m， ∴边长为， ∴； （2）函数化为顶点式，即得， 可知时，有最大值． 20.（1）解：双曲线经过点， ， 双曲线的解析式为， ，， 、， 抛物线过点和， ， 解得， ； （2）∵，且反比例函数在第一象限随增大而减小， ∴与位于第一象限，即，位于第三象限，即， 则； （3）根据图象得当或时，， 即不等式的解集为：或． 21.（1）解：点，在反比例函数的图形上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图形上， ， ， ，， 点，在直线的图象上， ， ， 一次函数的解析式为； （2）以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ，， 设直线的解析式为 设点， ， 直线的解析式为， ， ， ，，，， ， ， ， 或， ∴或． 22. （1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 将（15，45）、（24，36）代入，得： ， 解得：， 所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）； （2）根据题意知，W＝（x﹣15）y ＝（x﹣15）（﹣x+60） ＝﹣x2+75x﹣900， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜时，W随x的增大而增大， ∵15≤x≤24， ∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324， 答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是324元． 23.（1）解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为， ，， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：①∵ ∴． ∵令，则， 解得， ∴． ∵点，点， ∴直线的解析式为． ∵点P在直线上，且轴于点D，， ∴点， ∴． ∴S与m之间的函数关系式为； ②∵ ∴当时，S有最大值为， 此时 把代入，得 ∴ ∴当时，S有最大值为，此时． （3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或． 理由如下： 设，则，， 所以， ， ， 若，即， 解得（舍去）， 所以点P； 若，即， 解得（舍去）， 所以点P； 若，即， 解得或，均不合题意，故舍去， 所以点P的坐标为或． 答 案 (第1页)共2页 答 案 (第1页)共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$