精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

期末复习综合复习卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 函数中，自变量x的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 4. （2016湖南省株洲市）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，x的取值范围是（　　） A. x＜2 B. x＞5 C. 2＜x＜5 D. 0＜x＜2或x＞5 5. 已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为() A ， B. ， C. ， D. ， 6. 甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在菱形中，，，P是对角线上一动点，E，F分别是线段和上的动点，则的最小值是（ ）． A 2 B. 4 C. D. 9. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 10. 某商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示 型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量（双） 2 6 11 15 7 3 4 经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 分式与的最简公分母为 __． 12. ______． 13. 已知非零实数a，b满足，则的值等于__________． 14. 学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如表： 选手 甲 乙 平均数（环） 95 9.5 方差 0.035 0.015 请你根据上表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是_____． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为_______． 16. 对于平面坐标系中任意两点、定义一种新运算“*”为：，根据这个规则，若在第三象限，在第四象限，则在第________象限． 三．解答题（满分52分） 17. (本题满分6分) 化简：，然后在不等式x≤2非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE=BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 19. 若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 20. 已知一次图象与反比例函数的图象相交． （1）判断是否经过点． （2）若的图象过点，且． ①求的函数表达式． ②当时，比较，的大小． 21. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在甲、乙两类送检的棉花中各随机抽测了根棉花的纤维长度（单位：毫米），按从小到大排序结果如下： 甲：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上数据绘制成统计表： 名称 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （1）填空：　 　；　 　； （2）若甲类棉花共有根，试估计甲类棉花的纤维长度不低于毫米的数量； （3）抽检员看了数据及统计表后认为甲类棉花纤维长度的稳定性更好，请结合所学知识和统计数据，写出支持检测员的结论的依据． 22. 列方程解应用题：某校组织部分师生去北京世园公园参加志愿服务活动．为践行“绿色出行，节能减排”的环保理念，选择骑自行车和步行两种出行方式．已知参加志愿服务活动的教师和学生共30人；其中选择步行人数比选择骑自行车人数的2倍还多3人，问选择骑自行车参加志愿服务活动的共有多少人？ 23. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 24. 如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点A. （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求点P是反比例函数图像上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 25. 如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． （1）探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明： （3）如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习综合复习卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出：，解出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键． 3. 函数中，自变量x的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零，函数有意义，可得答案． 【详解】解：函数有意义，得 ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分母不为零． 4. （2016湖南省株洲市）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，x的取值范围是（　　） A. x＜2 B. x＞5 C. 2＜x＜5 D. 0＜x＜2或x＞5 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得：当时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选D． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 5. 已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为() A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：一次函数y=kx+b-x即为y=（k-1）x+b， ∵函数值y随x的增大而增大， ∴k-1＞0，解得k＞1； ∵图象与x轴的正半轴相交， ∴图象与y轴的负半轴相交， ∴b＜0． 故选A． 6. 甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可． 解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得： =， 故选A． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°， ∴BC⊥AB． ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD=OE，OA=OC． ∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC． ∴OD∥AB． 又点O是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD=AB=1.5， ∴ED=2OD=3． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 8. 如图，在菱形中，，，P是对角线上一动点，E，F分别是线段和上的动点，则的最小值是（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图（见解析），在上取点G，使得，连接、、，先根据等腰三角形的判定与性质可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为的长，最后根据垂线段最短可得取得最小值时的位置，据此利用直角三角形的性质、勾股定理即可得． 【详解】如图，上取点G，使得，连接， 则是等腰三角形 四边形是菱形， 平分，， 垂直平分（等腰三角形的三线合一） 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为的长 又点F是BC边上的动点 点G是边上的动点 则由垂线段最短可知，的最小值为点E到的距离，即平行线与间的距离 过点D作于点H 在中，，， ， 则的最小值是 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质等知识点，利用两点之间线段最短得出的最小值为是解题关键． 9. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．连接，根据菱形的性质和勾股定理可得，，再证明四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即取最小值，即可得出答案． 【详解】解：如下图，连接， 在菱形中，，， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值，即最小值， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴最小为4.8， 即的最小值为4.8， 故选：B． 10. 某商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示 型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量（双） 2 6 11 15 7 3 4 经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值，即可得解. 【详解】根据题意，销量最大，即为众数，故答案为D. 【点睛】此题主要考查对众数的理解运用，熟练掌握，即可解题. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 分式与的最简公分母为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简公分母，当各分母都是单项式时，即有最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的分母，都是单项式， ∴分式与的最简公分母是． 故答案为：． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根，乘方，零指数幂，负整数指数幂，根据算术平方根，乘方，零指数幂，负整数指数幂运算法则分别计算，最后进行加减法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 13. 已知非零实数a，b满足，则的值等于__________． 【答案】#0.5 【解析】 【分析】把已知代入分式，根据分式运算法则进行化简求值即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14. 学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如表： 选手 甲 乙 平均数（环） 9.5 9.5 方差 0.035 0.015 请你根据上表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是_____． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：因为，方差小的为乙， 所以本题中成绩比较稳定的是乙． 故答案为∶乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接CE，由垂直平分线的性质得EC＝AE，设DE＝x，则AE＝12﹣x，再由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接EC，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OC，CD=AB=9 ∵EO⊥AC， ∴OE为线段AC的垂直平分线， ∴EC＝AE， 设ED＝x，则AE＝12﹣x． ∴EC＝12﹣x， 在Rt△ECD中，由勾股定理得：EC2＝DE2＋DC2， 即（12﹣x）2＝x2＋92， 解得：x＝， ∴ED＝， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 16. 对于平面坐标系中任意两点、定义一种新运算“*”为：，根据这个规则，若在第三象限，在第四象限，则在第________象限． 【答案】四． 【解析】 【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵在第三象限，在第四象限， ∴， ∴， ∴在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题主要考查了运算符号的判断及点所在的象限，正确利用已知运算法则是解题关键． 三．解答题（满分52分） 17. (本题满分6分) 化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，当时，原式=2 【解析】 【详解】【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解． 【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解即可求得答案． 解：原式= =…………………………………………………………………1分 = =…………………………………………………………………3分 ∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2………………………………………………………4分 ∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0， ∴x≠±1，x≠﹣2， ∴把x=0代入．…………………………………………………………………6分 18. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE=BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形性质证明△AEH≌△CFG（ASA），从而得到AH=CG，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EAH=∠FCG，AD//BC． ∴∠E=∠F． ∵AD=BC，DE=BF， ∴AD +DE= BC+ BF．即AE=CF． ∴△AEH≌△CFG（ASA）； ∴AH=CG． ∵AH//CG， ∴四边形AGCH是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 19. 若关于x方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】m的取值范围为：且． 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数．根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， 去分母得：， 解得：， 因为方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：且． 20. 已知一次的图象与反比例函数的图象相交． （1）判断是否经过点． （2）若的图象过点，且． ①求的函数表达式． ②当时，比较，的大小． 【答案】（1）过 （2）①；②当时，，当时，，当时， 【解析】 【分析】（1）根据，把点代入反比例函数，即可； （2）把点代入，得，根据，解出和的值，即可得到的表达式； 根据函数图象，即可比较，的大小． 【小问1详解】 ∵ ∴把点代入反比例函数，得 ∴经过点． 【小问2详解】 ∵的图象过点 ∴把点代入，得 又∵ ∴解得， ∴ ∴的函数表达式为： 如图所示： 由函数图象得，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数图象的性质，交点的综合问题． 21. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在甲、乙两类送检的棉花中各随机抽测了根棉花的纤维长度（单位：毫米），按从小到大排序结果如下： 甲：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上数据绘制成统计表： 名称 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （1）填空：　 　；　 　； （2）若甲类棉花共有根，试估计甲类棉花的纤维长度不低于毫米的数量； （3）抽检员看了数据及统计表后认为甲类棉花纤维长度的稳定性更好，请结合所学知识和统计数据，写出支持检测员的结论的依据． 【答案】（1）； （2）根 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数，根据样本估计总体，方差与数据的稳定性，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）众数是出现次数最多的数据；中位数是按大小顺序排列后位于最中间的一个数或最中间的两个数的平均数； （2）计算出抽取的甲类棉花中纤维长度不低于毫米所占的比例，进而估计总体中纤维长度不低于毫米的数量； （3）根据方差的意义进行分析即可． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：68；； 【小问2详解】 解：抽取的根甲类棉花的纤维长度不低于毫米的共有根， 根甲类棉花纤维长度不低于毫米的数量约为：（根）． 答：甲类棉花的纤维长度不低于毫米的约为根． 【小问3详解】 解：甲类棉花纤维长度的方差小于乙类棉花纤维长度的方差， 甲类棉花纤维长度的稳定性更好． 22. 列方程解应用题：某校组织部分师生去北京世园公园参加志愿服务活动．为践行“绿色出行，节能减排”的环保理念，选择骑自行车和步行两种出行方式．已知参加志愿服务活动的教师和学生共30人；其中选择步行人数比选择骑自行车人数的2倍还多3人，问选择骑自行车参加志愿服务活动的共有多少人？ 【答案】9人 【解析】 【分析】设选择骑自行车人数为x人，则选择步行人数有人，根据参加活动的教师和学生共30人列方程求出x的值即得到选择骑自行车人数． 【详解】解：设选择骑自行车人数为x人，则选择步行人数有人， 根据题意得， 解得， 答：选择骑自行车人数有9人． 【点睛】此题考查一元一次方程解应用，正确地用代数式表示选择骑自行车人数和选择步行人数的人数是解题的关键． 23. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆 【解析】 【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值． 【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得： ， 解得：x=2000． 经检验，x=2000是原方程的根． 答：去年A型车每辆售价为2000元； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得 y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a）， y=－300a+36000． ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴60-a≤2a， ∴a≥20． ∵y=－300a+36000． ∴k=－300＜0， ∴y随a的增大而减小． ∴a=20时，y最大=30000元． ∴B型车的数量为：60-20=40辆． ∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程． 24. 如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点A. （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求点P是反比例函数图像上一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 【答案】（1）； ；（2） P点的坐标为（25，）或（﹣25，） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，－3），再将C点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式． （2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入，即可求出P点的坐标． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3）， ∴AB=5． ∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（5，－3）． ∵反比例函数的图像经过点C，∴，解得k=－15． ∴反比例函数的解析式为． ∵一次函数的图像经过点A，C，∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． （2）设P点的坐标为（x，y）． ∵△OAP面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴， 即． 解得x=±25． 当x=25时，；当x=﹣25时，． ∴P点的坐标为（25，）或（﹣25，）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键． 25. 如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． （1）探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明： （3）如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）不发生改变，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． （1）延长交于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，然后利用等腰直角三角形的性质可得结论； （2）延长交于点，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，然后利用等腰三角形的性质可得结论； （3）延长到点，使，连接，，．证明．得到，．由菱形的性质结合已知可得，，，再证明得到，然后利用等腰三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解： 如图①，延长交于点， 是线段的中点， ． 四边形、四边形是正方形， ∴，，， ． 又， ， ，． ， ， 是等腰直角三角形 ， ； 【小问2详解】 解：猜想：与的位置关系是． 证明：如图②，延长交于点， 是线段的中点， ． 四边形、四边形是菱形， ∴，，， ． 又， ． ，． ． ． ． 又， ． 【小问3详解】 猜想：不变． 证明：如图③，延长到点，使， 连接，，． 是线段的中点， ． 又， ． ，． 四边形、四边形是菱形， ∴，，，， ，． 又， ∴， ． 点，，在一条直线上，， ． ． ， ． 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$