专题04 全等三角形常见模型（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题04 全等三角形常见模型 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度．    截长补短模型 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）四边形中，平分，，，则的度数是 ． 6．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    7．（23-24八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 一线三等角模型 9．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 10．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．    11．（23-24八年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 12．（23-24八年级上·山东济南·期中）在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C． (1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形； (2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）． 手拉手模型 13．（23-24八年级上·山东泰安·期中）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 14．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 15．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，已知四边形是正方形，对角线相交于O，设E、F分别是上的点，若，，求四边形的面积． 角平分线模型 16．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　） A． B． C． D．4 18．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 半角模型 20．（23-24八年级上·山东淄博·期中）我们刚刚学完的第二十三章旋转是我们初中几何重要的图形变换之一，其中把某个图形旋转一个特殊角是解决某类几何问题的重要手段，受这种解题思想的启发．如下图，在等腰中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则与的面积之和为（   ）    A．84 B．90 C．110 D．120 21．（23-24八年级上·山东威海·期中）在中，，点在边上，．若，则的长为 ． 22．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 1．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则 ． 4．（23-24八年级上·山东淄博·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    6．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，为中线，点在上，交于点．求证：． 7．（23-24八年级上·山东济南·期中）（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．    8．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形常见模型 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2.4 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度．    【答案】1.5 【详解】解：如图，延长到G，使，连接，    ∵是的中线 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 截长补短模型 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）四边形中，平分，，，则的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，在线段取一点，使得， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点位于时， ∵， ∴， 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出相应的图形以及运用截长补短的方法构造全等三角形是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【详解】解：在上取点F，使，连接，    ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（23-24八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，在上取一点H，使，连接． ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 一线三等角模型 9．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 【答案】12 【详解】标记角度如下： ∵在等腰中，，， ∴与等高，底边比值为 ∴与的面积比为， ∵的面积为18 ∴的面积为6，的面积为12， ∵,即， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴与的面积相等， ∴， 故答案为：12． 10．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．    【答案】7 【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB=∠CFA=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°． 又∵∠BAC=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°． ∴∠EBA=∠CAF． 在△AEB和△CFA中 ∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△AEB≌△CFA． ∴AE=CF，BE=AF． ∴AE+AF=BE+CF． ∴EF=BE+CF． ∵， ∴； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等． 11．（23-24八年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．（23-24八年级上·山东济南·期中）在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C． (1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形； (2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）． 【答案】(1)见解析 (2)图中所有与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD 【详解】（1）证明：是的一个外角， 又， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）得，， ， DE平分∠ADC， ， 又∠BAD＝∠CDE， ， ， ， 所以图中与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质． 手拉手模型 13．（23-24八年级上·山东泰安·期中）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 14．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【详解】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 15．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，已知四边形是正方形，对角线相交于O，设E、F分别是上的点，若，，求四边形的面积． 【答案】8 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线相交于O， ∴，，且，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积是8． 角平分线模型 16．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵ 则， ， ， ， ∵， ∴ ∵平分 ∴， ∵ ， ∴ 故答案为：D． 17．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 周长为20， ， ， ， ． 故选：B． 18．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 19．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 半角模型 20．（23-24八年级上·山东淄博·期中）我们刚刚学完的第二十三章旋转是我们初中几何重要的图形变换之一，其中把某个图形旋转一个特殊角是解决某类几何问题的重要手段，受这种解题思想的启发．如下图，在等腰中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则与的面积之和为（   ）    A．84 B．90 C．110 D．120 【答案】A 【详解】解：如图，作于G，将绕着点逆时针旋转得到，    则，，，， ∴， 在和中，， ， ， ∵， ， ∴， ∵在等腰中，，， ∴， ∴与的面积之和为， 故选：A． 21．（23-24八年级上·山东威海·期中）在中，，点在边上，．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF， ∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90° ∴∠ACE＝∠BCG． ∵在△ACE与△BCG中， ∵， ∴△ACE≌△BCG（SAS）， ∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG， ∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°． 在Rt△FBG中，∠FBG＝90°， ∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2． 又∵∠ECF＝45°， ∴∠FCG＝∠ECG−∠ECF＝45°＝∠ECF． ∵在△ECF与△GCF中， ， ∴△ECF≌△GCF（SAS）． ∴EF＝GF， ∴EF2＝AE2＋BF2， ∵， ∴BF=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键． 22．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形外角的平分线为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长至点，使得，连接， 由正方形基本性质得：，， ∴， ∴，， 由（1）知，，且， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键． 1．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ． 【答案】5 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ， 点在的延长线上， 四边形为正方形， ． 又， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则 ． 【答案】4 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点是的中点， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴中，， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山东淄博·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】36 【详解】解：由题意得，，，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 则两堵木墙之间的距离为， 故答案为：36． 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【答案】点的坐标是． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴，    ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， ∴点的坐标是． 6．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，为中线，点在上，交于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：延长至点，使，连接， ∵为中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·山东济南·期中）（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析 【详解】解：（1）∵直线m，直线m， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）成立．证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 8．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$