专题03 全等三角形（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题03 全等三角形 利用全等三角形的性质求长度或角度 1．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，已知，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，，一条线段，，两点分别在线段和的垂线上移动，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．3或4或5 4．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，，，若，则 °． 6．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形，若，，，则图中阴影部分面积为 ． 利用全等三角形的性质进行证明 7．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)求证：． 8．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 9．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 10．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，，，三点在同一条直线上，且．    (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 11．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 判定三角形全等 12．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知，，．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 16．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，于点，于点，、交于点，已知，则的长为 ．    17．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，平分，求证：．    18．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，，，分别平分和，经过点．求证：． 尺规作图 19．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 20．（23-24八年级上·山东淄博·期中）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：和线段a，求作，使得，，边 21．（23-24八年级上·山东淄博·期中）尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） 已知：线段a，b．（如图所示） 求做：，使，，． 22．（23-24八年级上·山东德州·期中） 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 23．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，点D在线段的延长线上，点E是中点，点F是边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使且（保留作图痕迹，不写作法） 利用角平分线的性质求长度或角度 24．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（   ） A．11 B． C．6 D． 25．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A． B． C． D．不能确定 26．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，中，，平分，交于点D，，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 27．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点．若，则两平行线与间的距离为 ． 28．（23-24八年级上·山东威海·期中）如图所示，在中，，点O为的三条角平分线的交点，于点D，于点E，于点F，且，求的长． 29．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，是的平分线，，则点到边的距离是 ． 利用角平分线的性质进行证明 30．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，，平分，平分，且与交于E．求证： (1)； (2)． 31．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知为的角平分线，，，垂足为F，．求证：． 32．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； 33．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点． (1)若，，求的面积； (2)求证：． 34．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，在中，平分于点E，点F在上，，求证：． 角平分线的判定 35．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 36．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 37．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 39．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 40．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图所示，连接，设交于点P，结论：①；②；③点P在的平分线上．以上结论中正确个数为（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级上·山东威海·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，垂足分别为交于点O，且平分，那么图中全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．（23-24八年级上·山东东营·期中）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为 ． 7．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 8．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知线段和． (1)作一个，使，，； (2)作一个，使，，． 10．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 11．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 12．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证： (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 13．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形 利用全等三角形的性质求长度或角度 1．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，已知，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，， ， ， ， ； 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，，一条线段，，两点分别在线段和的垂线上移动，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】解：∵是的垂线， ∴， ∵以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有和两种情况， 当， ∴； 当， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．3或4或5 【答案】B 【详解】解：∵ ∴，， ∴，即 ∴的周长为 ∵的周长为偶数 ∴为偶数 ∴为偶数 ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，，，若，则 °． 【答案】25 【详解】解：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形，若，，，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】34 【详解】解：将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形， ， ，， ；； ， 故答案为：． 利用全等三角形的性质进行证明 7．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【详解】（1）解：， ，则， ， ， 解得：， 故； （2）证明：， ， ． 8．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【答案】，，证明见解析． 【详解】证明：，，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)当中时，． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：猜想，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴当是直角三角形时，． 10．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，，，三点在同一条直线上，且．    (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，．理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴； （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即； （2）∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键． 判定三角形全等 12．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 13．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、若，不是对应角相等，显然不能证明，不符合题意； B、， ， ， ， 即， ， 不符合全等三角形的判定定理，不符合题意； C、， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ，符合题意； D、， ， ， ， 即， 在和中， ， ，不符合题意， 故选：C． 14．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知，，．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 无法证明，故D符合题意，A、B、C不符合题意． 故选：D． 15．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ． ∴， ， ，， ． 故答案为：4． 16．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，于点，于点，、交于点，已知，则的长为 ．    【答案】11 【详解】解：， ， 于点，、交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：11． 17．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，平分，求证：．    【答案】见解析 【详解】解：证明：平分， ， 在和中 ， ． 18．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，，，分别平分和，经过点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取，连接， ，分别平分和， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 尺规作图 19．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【详解】解：画线段； 分别以E、F为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点D； 连结线段． ∴就是所求作的三角形． 20．（23-24八年级上·山东淄博·期中）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：和线段a，求作，使得，，边 【答案】见详解 【详解】解：如图，即为所求． 21．（23-24八年级上·山东淄博·期中）尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） 已知：线段a，b．（如图所示） 求做：，使，，． 【答案】见解析 【详解】解：如图．就是所求做的三角形． 22．（23-24八年级上·山东德州·期中） 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵，故③正确； ∵垂直平分线上的点到角的两边距离相等， ∴点D到直线的距离等于的长度，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 23．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，点D在线段的延长线上，点E是中点，点F是边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使且（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图，即为所求， ． 利用角平分线的性质求长度或角度 24．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（   ） A．11 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 和的面积分别为48和37， ， ． 故选：B． 25．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：过作于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为 故选：． 26．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，中，，平分，交于点D，，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：过点D作于点E，则， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故选：A．    27．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点．若，则两平行线与间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·山东威海·期中）如图所示，在中，，点O为的三条角平分线的交点，于点D，于点E，于点F，且，求的长． 【答案】 【详解】解：点O为的三条角平分线的交点，且于点D，于点E，于点F， ， ， ， 设， ， 可得，解得， ． 29．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，是的平分线，，则点到边的距离是 ． 【答案】6 【详解】过点D作交于点E ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 利用角平分线的性质进行证明 30．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，，平分，平分，且与交于E．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：过E作， ，平分，平分， ， ； （2），平分，平分， ， 在与中 ， ， 同理可得：， ， ， ． 31．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知为的角平分线，，，垂足为F，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：为的角平分线，，， ，， 在和中， ， ． ∴． 32．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∴ ∵ （2）证明：∵， ∴ 平分，， 33．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点． (1)若，，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1)的面积为6 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，过点D作于点N， 平分，，， ， ； （2）， ． 34．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，在中，平分于点E，点F在上，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 角平分线的判定 35．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 36．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 37．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故选：D． 38．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 39．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 40．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图所示，连接，设交于点P，结论：①；②；③点P在的平分线上．以上结论中正确个数为（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】连接 在与中， ， ∴，①正确； ∴； ∵， 在与中， ， ∴，②正确； ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即点P在的平分线上，③正确． 故选D． 2．（23-24八年级上·山东威海·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D； ②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点； ④过点作射线． 所以就是与相等的角． 在与中， ， ， ，即运用的判定方法是． 故选：A． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，垂足分别为交于点O，且平分，那么图中全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， 同理，， 综上所述，图中全等三角形共有4对， 故选：B． 4．（23-24八年级上·山东东营·期中）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 5．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【答案】7 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为7． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知线段和． (1)作一个，使，，； (2)作一个，使，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，为所作； （2）解：如图2，为所作． 10．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】猜想：，，证明见解析 【详解】解：猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 11．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)13 【详解】（1）解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 12．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证： (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$