专题2.4 有理数的运算（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题2.4 有理数的运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 3．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 6．（23-24七年级上·全国·期中）如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 7．（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 8．（23-24七年级上·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 9．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着且任意相邻四个台阶上的数的和都相等，则从下到上前个台阶上的数的和为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知a，b都是有理数，若，则 ． 12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将算式中的若干个“”修改成为“”后，算式的计算结果为，则不同的修改方式有 种 13．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 15．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图，乐乐将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在 a、b、c、d 分别标上其中的一个数，则 的值为 ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共7小题，满分55分） 16．（8分）（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 17．（6分）（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ （3）将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 18．（6分）（23-24七年级上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 （1）除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； （2）在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ （3）把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 20．（8分）（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． （3）探究并计算： ①． ②． 20．（9分）（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” （1）【概念理解】直接写出结果：_______________． （2）关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 （3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例： ．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． （4）计算：． 21．（9分）（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    （1）若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； （2）若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； （3）若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 22．（9分）（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段与线段的长度之比记作 ，即，我们称为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为，所以． （1）当点P为的中点时， 则_______； （2）若，求点P表示的数； （3）若点P表示的数为p，且满足，（其中n为正整数，且），求所有满足条件的的和．（ 提示：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解题过程】 解：精确到万亿为， ， 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 【思路点拨】 本题考查了有理数的运算程序图，有理数的加减混合运算，理解有理数的运算程序图是解题关键．根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到4，问题得解． 【解题过程】 解：； ． 故选：C． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 【思路点拨】 本题考查有理数比较大小，有理数的加法运算，分为整数和不是整数两种情况，进行讨论求解即可． 【解题过程】 解：当为整数时：，， ∴， 当不是整数时，例如：， 则：，， ∴； 综上：等于0或； 故选B． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【思路点拨】 本题考查了相反数、倒数的性质，绝对值的概念，有理数的乘法运算，根据题意可知，，，代入计算即可，解题的关键是掌握互为相反数的两数和为、互为倒数的两数积是，注意整体代入思想的运用． 【解题过程】 解：由题意得：，，， ∴原式 ， 则或， 故选：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【思路点拨】 本题考查有理数的乘方，第一次后剩下原长的；第二次后剩下原长的；第三次后剩下原长的；……；第2023次后剩下原长的，这个数乘以绳子的原长即可． 【解题过程】 解：第一次后剩下原长的； 第二次后剩下原长的； 第三次后剩下原长的； …… 第2023次后剩下原长的． ∴剪第2023次后剩下的绳子的长度为． 故选：C． 6．（23-24七年级上·全国·期中）如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【思路点拨】 由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【解题过程】 解：∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故选：B． 7．（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【思路点拨】 本题考查了有理数符号的判断，需分类讨论，当同号时，当异号且时，当异号且时，分别判断即可． 【解题过程】 解：当同号时，是负数，是正数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 综上所述，在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个． 故选：B． 8．（23-24七年级上·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 【思路点拨】 本题考查图形变化的规律．观察所给图形，发现各部分数字变化的规律即可解决问题． 【解题过程】 解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：，，，，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：． 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：． 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当时， ， ， ， 所以． 故选：B． 9．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着且任意相邻四个台阶上的数的和都相等，则从下到上前个台阶上的数的和为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据题意分别求出第个台阶的数，找到规律即可将第1个台阶至第个台阶上的数相加求解． 【解题过程】 解：设第五个台阶上的数为，第六个台阶上的数为，第七个台阶上的数为，第八个台阶上的数为， 任意相邻四个台阶上的数的和都相等， ， ． 同理可得：，，， 由此可知从下到上四个台阶的数分别为， 从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着， 前四个台阶上的数的和为：， ， 从下到上前个台阶上的数的和为：． 故选∶D． 10．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【解题过程】 解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知a，b都是有理数，若，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则其中的每一项都等于0成为解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将算式中的若干个“”修改成为“”后，算式的计算结果为，则不同的修改方式有 种 【思路点拨】 由算式的计算结果为，可得被修改后的数之和为，再分类讨论即可． 【解题过程】 解：∵， 而， ∴被修改后的数之和为，修改方式如下： ，，，，， ，，，， ，， 共11种； 故答案为：11． 13．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键． 根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可． 【解题过程】 解： ， ， 由前三个式子得到的规律计算该式得： ， 故答案为． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【思路点拨】 令，可得则，从而得到，即可求解． 【解题过程】 解：令 则 因此 所以 所以 故答案为： 15．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图，乐乐将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在 a、b、c、d 分别标上其中的一个数，则 的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了有理数的加法，根据三个数的和相等依次列式计算即可求解． 【解题过程】 解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 又， ∴ ∴， 故答案为：． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共7小题，满分55分） 16．（8分）（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题考查有理数的混合运算． （1）先把减法化为加法运算，再结合运算律进行简便运算即可； （2）先计算，得到，再运用分配律计算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除后计算括号里的加法，进而即可求解； （4）先乘方，再乘除，最后计算加减，有括号先计算括号内的运算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（6分）（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ （3）将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【思路点拨】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位十位相组成之外，还有乘方； （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【解题过程】 （1）解：， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）解：抽取两个数直接组成一个两位数，最大的为； 抽取两个数组成一个幂，最大为， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大为625； （3）解：从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 18．（6分）（23-24七年级上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 （1）除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； （2）在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ （3）把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【思路点拨】 本题考查正数和负数，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）分别将这7天的正数和负数相加，可得青蛙向上跳跃的距离，再利用90与其相减可得结论； （2）先计算最后一天青蛙跳跃下滑后距离，再利用90与其相减可得结论； （3）一周为，21天即为三周，上升，利用依次作差，注意最后一天只计算跳跃的距离即可． 【解题过程】 （1）解：第一次跳跃下滑后； 第二次跳跃下滑后； 第三次跳跃下滑后； 第四次跳跃下滑后； 第五次跳跃下滑后； 第六次跳跃下滑后； 第七次跳跃下滑后； 青蛙距离井底的最近距离是2厘米；青蛙距离井口的最近距离是厘米， 故答案为：2；59； （2）， 即在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有； （3）周……， 即第21次后，距离井口：， 第22次后，距离井口：， 第23次后，距离井口：， 第24次后，距离井口：， 第25次后，，此时跳出井口， 故青蛙在第25次跳出了井口． 20．（8分）（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． （3）探究并计算： ①． ②． 【思路点拨】 此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 20．（9分）（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” （1）【概念理解】直接写出结果：_______________． （2）关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 （3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例： ．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． （4）计算：． 【思路点拨】 本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算： （1）根据所给的例子进行计算即可； （2）结合除方的定义进行分析即可； （3）根据除方的运算方式进行求解即可； （4）结合除方的运算方式运算即可； 解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【解题过程】 （1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确， ②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误， ③，，则，原说法错误， ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确， 故答案为：①④； （3）解：由题意可得： =， =， 故答案为：，； （4）解： = = = = = =． 21．（9分）（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    （1）若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； （2）若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； （3）若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 【思路点拨】 （1）根据数轴上点A、B、C的位置可解答，注意两种情况； （2）分移动B、C；移动A、C；移动A、B三种情况，分别求解即可； （3）先根据前几次跳的步数和方向探究出规律，再根据有理数的运算求和即可； 【解题过程】 （1）解：由数轴可知，当将点C向左移动3或7个单位时，C、B两点的距离与A、B两点距离相等， 故答案为：3或7； （2）解：当移动B、C时，把点B向左移动2个单位，把C向左移动7个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、C时，把点A向右移动2个单位，把C向左移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、B时，把点A向右移动7个单位，把B向右移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位， 综上，移动所走的距离之和最小的是7个单位， 故答案为：3，7； （3）解：∵第一次先向左跳1步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……， ∴按此规律继续下去，第n次跳步，其中，n为奇数时，向左；n为偶数时，向右； ∴第100次向右跳步， 此时，落脚点所表示的数为 ， 故答案为：98． 22．（9分）（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段与线段的长度之比记作 ，即，我们称为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为，所以． （1）当点P为的中点时， 则_______； （2）若，求点P表示的数； （3）若点P表示的数为p，且满足，（其中n为正整数，且），求所有满足条件的的和．（ 提示：） 【思路点拨】 （1）当点P为的中点时，点P表示的数为，求出从而求得； （2）设点P表示的数为x，则, ，根据，即列方程求解即可； （3）点P表示的数为p，且满足（其中n为正整数，且），可知，，求得，则所有满足条件的的值分别为：，，，，；然后把这些值加起来求和，再根据提示公式解得答案． 【解题过程】 （1）解：由题意可知，当点P为的中点时，点P表示的数为，， 故答案为：1； （2）设点P表示的数为x， 则，， ， 即 ， 或 解得：或； 故：点P表示的数为或； （3）点P表示的数为p，且满足（其中n为正整数，且）， 此时，， ； n为正整数，且， 则所有满足条件的的值分别为：，，，， 故所有满足条件的的和为： 令    ①，      ②， 由②式-①式，得：， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$