1.3 公式法 （课件）2024-2025学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

鲁教版八年级上册第一章 因式分解 1.3公式法 学习目标 1.复习平方差公式和完全平方公式（和、差两个公式） 更深一步了解整式乘法和因式分解是互逆运算。 2.学习因式分解的第二种基础方法——公式法，通过 学习，知道运用平方差公式和完全平方公式（和、差 两个公式）分解因式时的注意事项（重点） 3.运用公式法分解因式，化简多项式便于以后得做题 （难点） 3　公式法 教材知识全解 用平方差公式分解因式 知识点 1 法则 字母表示 举例 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积 a2-b2=(a+b)·(a-b) 4m2-9=(2m+3)·(2m-3) (1)特点:等号左边是二项式,两项都是平方项,两项的符号相反;等号右边是两平方项的底数的和与底数的差的乘积. (2)分解因式的时候,有公因式的先提公因式,提公因式后,如果剩下的多项式恰好可以表示成两项平方差的形式,那么就 考虑运用平方差公式继续分解因式. (3)公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式 运用平 方差公 式 3　公式法 平方差中两项的符号相反,若两项的符号相同,则不能运用平方差公式. 注意 3　公式法 　把下列各式因式分解: (1)-16+x4y4; (2)16x4-1; (3)-9(x+y)2+(x-y)2. 例 1 (1)-16+x4y4=x4y4-16 =(x2y2+4)(x2y2-4) =(x2y2+4)(xy+2)(xy-2). (2)16x4-1=(4x2+1)(4x2-1) =(4x2+1)(2x+1)(2x-1). 解： -16+x4y4 (x2y2+4)(xy+2)(xy-2) （因式分解） （整式乘法） 3　公式法 (3)-9(x+y)2+(x-y)2 =-[9(x+y)2-(x-y)2] =-[3(x+y)+(x-y)][3(x+y)-(x-y)] =-(4x+2y)(2x+4y) =-4(2x+y)(x+2y). 运用平方差公式进行因式分解时,把多项式化成“平方差”的形式,以便明确哪项是公式中的a,哪项是公式中的b. 点拨 3　公式法 1.完全平方公式 用完全平方公式分解因式 知识点 2 法则 字母表示 举例 两个数(或式子)的平方和加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍,等于这两个数(或式子)的和(或差)的平方 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2 x2+4xy+4y2=(x+2y)2, x2-4xy+4y2=(x-2y)2 (1)特点:等号左边是三项式,其中首尾两项分别是一个数(或式子)的平方,且这两项的符号相同,中间一项是这两个数(或式子)的积的2倍,符号正负均可;等号右边是这两个数(或式子)的和(或差)的平方. (2)公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式 3　公式法 2.完全平方式 形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式. 3.公式法 我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法. 　分解因式: (1)m2+14m+49; (2)9x2-12x+4; (3)a2+2a(b+c)+(b+c)2. 例 2 3　公式法 分析:(1)两个平方项是m2和72,可以用完全平方公式分解因式; (2)两个平方项分别为(3x)2和22,可以用完全平方公式分解因式; (3)两个平方项分别为a2和(b+c)2,可以用完全平方公式分解因式. (1)m2+14m+49=m2+2×m×7+72 =(m+7)2. (2)9x2-12x+4=(3x)2-2×3x×2+22=(3x-2)2. (3)a2+2a(b+c)+(b+c)2=[a+(b+c)]2=(a+b+c)2. 解： 3　公式法 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时,这个多项式必须具备:(1)是一个三项式;(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方,第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍或-2倍.只有同时具备以上两个条件,才能用完全平方公式分解因式. 点拨 3　公式法     (2022广东肇庆封开期末)关于x的二次三项式x2+ax+36能直 接用完全平方公式分解因式,则a的值是 (　    ) A.-6　　　    B.±6 C.12　　　    D.±12 例 3 D ∵关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解 因式,∴a=±12.故选D. 解： 3　公式法 多项式的形式多种多样,因此因式分解的方法也有很多种,一般 可遵循下列步骤进行: 综合应用各种方法分解因式 知识点 3 一提 看多项式的各项是否有公因式,若有,则应先提公因式 二套 根据多项式的项数判断能否套用公式 若是二项式,则看是否符合平方差公式的特征 若是三项式,则看是否符合完全平方公式的特征 三检查 因式分解的结果一定要彻底,分解到每一个因式都不能再分解为止 3　公式法 分解因式: (1)(1+x)(1-x)-(x-1); (2)x2(x-y)+2x(y-x)-(y-x); (3)(y2-1)2-6(y2-1)+9; (4)25a2(x-y)+4b2(y-x). 例 4 3　公式法 (1)(1+x)(1-x)-(x-1) =(1+x)(1-x)+(1-x) =(1-x)(1+x+1) =(1-x)(2+x). (2)x2(x-y)+2x(y-x)-(y-x) =x2(x-y)-2x(x-y)+(x-y) =(x-y)(x2-2x+1) =(x-y)(x-1)2. (3)(y2-1)2-6(y2-1)+9 解： 3　公式法 =(y2-1-3)2 =(y2-4)2 =(y+2)2(y-2)2. (4)25a2(x-y)+4b2(y-x) =25a2(x-y)-4b2(x-y) =(x-y)(25a2-4b2) =(x-y)(5a+2b)(5a-2b). 分解因式时若有公因式,则要先提取公因式,然后进一步分解,直至不能再分解为止. 点拨 3　公式法    (2022河南安阳滑县期末)分解因式: (1)(m+n)2-6(m+n)+9; (2)x3-x; (3)(a-b)(5a+2b)-(a+6b)(a-b). 例 5 分析:(1)将m+n看做一个整体,再利用完全平方公式分解因式; (2)先提取公因式,再利用平方差公式分解因式; (3)先提取公因式,再进一步分解. 3　公式法 (1)原式=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2. (2)原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). (3)原式=(a-b)(5a+2b-a-6b)=(a-b)(4a-4b)=4(a-b)2. 解： 3　公式法 对于某些复杂的多项式,可能要多次用到公式法进行因式分解才 能分解彻底,因此分解因式后一定要看式子是否还能继续分解. 易混易错全解 因式分解不彻底 易错点 分解因式: (1)a4-16; (2)(x2-2x)2+2(x2-2x)+1. 例 题 3　公式法 (1)原式=(a2+4)(a2-4) =(a2+4)(a+2)(a-2). (2)原式=(x2-2x+1)2 =[(x-1)2]2=(x-1)4. 解：   (1)中分解到(a2+4)(a2-4)时,(a2-4)还能继续分解,故再次运用平方差公式分解;(2)由于x2-2x+1符合完全平方式的特征,故分解到此处时,还能再分解因式. 易错警示 基础巩固 1.下列多项式,能用平方差公式进行分解因式的是(　　) A.-x2+4y2　　　　 B.9x2+4y2 C.x2+(-2y)2　　　　D.-x2-4y2 2.对于任意整数n,多项式(n+7)2-(n-3)2的值都能(　　) A.被20整除　　　　B.被7整除 C.被21整除　　　　D.被(n+4)整除 3.因式分解:a2(x-y)+(y-x)=　　　　　.  4.分解因式: (1)-16x2+y2; (2)4(x+y)2-9(x-y)2; (3)16-x4; (4)(3x-2)2-(2x+7)2; (5)(7x2+2y2)2-(2x2+7y2)2; (6)m2-n2+(m-n). 5.如图所示,在一个大正方形纸片中剪去四个完全一样的小正方形,已知大正方形的边长为3a cm,小正方形的边长为b cm,则剩余纸片的面积为多少?利用因式分解计算当a=15.5,b=12.25时剩余纸片的面积. A A (x-y)(a+1)(a-1) (1)原式=y2-16x2=(y-4x)(y+4x). (2)原式=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)] =(5x-y)(-x+5y). (3)原式=(4+x2)(4-x2)=(4+x2)(2+x)(2-x). (4)原式=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)] =(5x+5)(x-9)=5(x+1)(x-9). (5)原式=[(7x2+2y2)+(2x2+7y2)][(7x2+2y2)-(2x2+7y2)] =(9x2+9y2)(5x2-5y2) =45(x2+y2)(x+y)(x-y). (6)原式=(m+n)(m-n)+(m-n)=(m-n)(m+n+1). 10.解析　根据题意得,剩余纸片的面积是(3a)2-4b2= (3a+2b)(3a-2b)cm2. 当a=15.5,b=12.25时,剩余纸片的面积= (3×15.5+2×12.25)×(3×15.5-2×12.25)=71×22=1 562(cm2). 3　公式法 运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力. 能够明晰运算的对象和意义,理解算法与算理之间的关系;能够理 解运算的问题,选择合理简洁的运算策略解决问题;能够通过运算 促进数学推理能力的发展.运算能力有助于形成规范化思考问题 的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学态度. 核心素养全解 运算能力——利用因式分解巧求值 3　公式法 计算:  ×  ×  ×…× . 典例剖析 例 题   ×  ×  ×…× =  ×  ×  ×  ×  ×  ×…× × = × × × × × ×…×  × = × = . 解： $$