6.3.1二项式定理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3 二项式定理 高中数学选修三 数学密码 探究1　杨辉三角的秘密 情景探究 数学密码 杨辉三角是公元1261年，我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵。由于杨辉在书中引用了贾宪著的《开方作法本源》和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”。在欧洲，这个三角形叫帕斯卡三角形，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间。 情景探究 数学密码 探究1　杨辉三角的秘密 二项式 情景探究 数学密码 (a+b)2=__________________ (a+b)3=__________________ a2+2ab+b2 a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4 = 。 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b3 探究1　杨辉三角的秘密 二项式的展开式 探究2　二项式的特征 情景探究 数学密码 （1）展开后有多少项？ （2）各单项式的次数之和？ （3）各单项式的系数？ (a+b)2=__________________ (a+b)3=__________________ a2+2ab+b2 a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4 = ____ 。 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b3 (a+b)n =。 ? (a+b)n 共有n+1项。 (a+b)n 各单项式的次数之和为n。 探究3　猜想并验证：二项式(a+b)n的展开式 情景探究 数学密码 不妨以(a+b)4为例探究(a+b)n的各单项式的系数特征： 分析：计算(a+b)4的过程中，我们可以将式子中的每一项看成是从四个(a+b)分别取出a或b中的一个与其他相乘， 例如：a4这一项便是4个因式都不取b，只取a， 显然仅有一种取法， 而其系数便是其取法的种数，即 同理，思考a2b2这一项，4个因式中有2个因式取b，故其系数是 . 探究3　猜想并验证：二项式(a+b)n的展开式 情景探究 数学密码 思考：(a+b)n的展开式 可以对b分类： 不取b，得 取1个b，得 取2个b，得 ………… 取k个b，得 ………… 取n个b，得 二项式定理 知识讲解 数学密码 右边的多项式叫做 的展开式，其中各项的 系数 叫做二项式系数，式子中的 叫做二项展开式的通项，常用Tk+1表示，即 通项为展开式的第k+1项： 这里n∈N*，k∈{0，1，2，…，n} 二项式定理 知识讲解 数学密码 这里n∈N*，k∈{0，1，2，…，n} 1、展开式共有n+1项，且通项表示的是第k+1项； 2、字母a按降幂排列，次数由n递减到0； 字母b按升幂排列，次数由0递增到n； 并且a、b的指数之和总等于n； 3、(a+b)n的展开式中，b的指数与相应组合数的上标相同. 一、二项式的展开与合并 例题讲解 数学密码 一、二项式的展开与合并 例题讲解 数学密码 解题思路：1.化简通项，根据通项结构计算每一项的结果; 一、二项式的展开与合并 例题讲解 数学密码 解题思路：2.结合二项式定理，确定二项式系数以及a,b两项的形式. 一、二项式的展开与合并 针对练习 数学密码 二、二项式展开式中的特定项与特定值 例题讲解 数学密码 二、二项式展开式中的特定项与特定值 变式训练 数学密码 课堂总结 数学密码 二项式系数 通 项 各项字母前的数字因数 系数 用二项式定理时 a,b不能随便交换 二项式定理 作业：课本P34 习题6.3 第3,6题 例题讲解 数学密码 求解特定项或系数的步骤： 1.列出二项展开式的通项； 2.结合条件代入具体的k值，求解结果. 注意：1.要区分二项式系数与系数； 2.通项是展开式中的第k+1项； 3.专有名词：常数项，指展开式中字母的指数为0的项； 有理项，指展开式中字母的指数为整数的项； 整式项，指展开式中字母的指数为非负整数的项. 能力提升 数学密码 三、二项式的灵活应用 能力提升 数学密码 三、二项式的灵活应用 在二项式展开式中，有时会出现前后多个项系数相同的情况，此时要将这些项进行合并，将它们的系数相加起来. 能力提升 数学密码 三、二项式的灵活应用 根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，此法运算量小，但需要要求式子具备一定特殊性. 能力提升 数学密码 三、二项式的灵活应用 能力提升 数学密码 三、二项式的灵活应用 将多项式拆分为二项式进行求解，是符合二项式定理问题的常规解法，上手难度小，但运算量大，容易出现错解，漏解，以此法计算过程要更加严谨仔细. 能力提升 数学密码 三、二项式的灵活应用 能力提升 数学密码 三、二项式的灵活应用 利用组合数原理求解，将多项式问题转化为分步取值的组合问题，是求解多项式问题的通解通法，需要熟练掌握分类分步计数原理. 课程结束 高中数学思维进阶 未来密码 $$