第10讲 抛物线及其性质（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第10讲 抛物线及其性质 【人教A版2019】 模块一 抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【题型1 抛物线的定义及其应用】 【例1.1】（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2024·江西·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1.1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1.2】（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【题型2 抛物线的轨迹方程】 【例2.1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【题型3 抛物线的标准方程的求解】 【例3.1】（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【例3.2】（2024高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点， x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（    ） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，以PF为直径的圆与轴相切于点，且圆过点，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例4.1】（23-24高二上·陕西西安·期末）抛物线的焦点为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·福建莆田·三模）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【题型5 抛物线的焦半径公式】 【例5.1】（2024·青海西宁·一模）已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（    ） A． B． C．4 D．6 【例5.2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式5.1】（23-24高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 【变式5.2】（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 模块二 抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型6 抛物线的对称性的应用】 【例6.1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【例6.2】（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6.1】（23-24高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 【变式6.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型7 与抛物线有关的最值问题】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【例7.2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式7.1】（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【变式7.2】（23-24高二·全国·课后作业）设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 【题型8 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例8.1】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【例8.2】（2024·重庆·三模）已知等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的面积是（    ） A． B． C． D．24 【变式8.1】（23-24高三下·四川成都·期末）若是抛物线上的动点，点B，C在轴上，圆内切于，则面积的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【变式8.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【题型9 抛物线的实际应用问题】 【例9.1】（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【例9.2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【变式9.1】（23-24高二上·全国·课后作业）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【变式9.2】（23-24高二上·浙江·期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 一、单选题 1．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 3．（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·北京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·全国·模拟预测）已知倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点．若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为1 C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2 D．存在点，使得为等边三角形 二、多选题 9．（23-24高二下·广东·期中）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 11．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 三、填空题 12．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 13．（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    14．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 16．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 17．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点到点的距离等于它到直线的距离， (1)求点的轨迹方程; (2)若，求周长的最小值. 18．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 19．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 抛物线及其性质 【人教A版2019】 模块一 抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【题型1 抛物线的定义及其应用】 【例1.1】（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用抛物线的定义即可求解. 【解答过程】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 【例1.2】（2024·江西·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可． 【解答过程】已知拋物线的方程为，可得． 所以焦点为，准线为：． 抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离， 即， 又∵A到x轴的距离为， 由已知得，解得． 故选：D． 【变式1.1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【解题思路】 结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可. 【解答过程】抛物线，则焦点，准线， 最小时，即最小，根据抛物线的定义，， 所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时， 最小，且最小值为，解得. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【解题思路】根据抛物线的定义，求出点纵坐标，利用勾股定理求出即可得解. 【解答过程】如图，    由抛物线，可知，准线方程， 因为，所以， 代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限， 则，所以, 又，所以, 所以的周长为， 故选：D. 【题型2 抛物线的轨迹方程】 【例2.1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解. 【解答过程】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 【例2.2】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【解答过程】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，点的轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点与准线，由此可得出点的轨迹方程. 【解答过程】因为动点到点的距离比到直线的距离小， 所以，点到点的距离和到直线的距离相等， 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线． 所以，，则，故点的轨迹方程为． 故选：D. 【变式2.2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【解题思路】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【解答过程】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D. 【题型3 抛物线的标准方程的求解】 【例3.1】（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【解题思路】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【解答过程】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C. 【例3.2】（2024高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点， x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可. 【解答过程】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，则有， 解得，所以抛物线方程为. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（    ） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【解题思路】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程． 【解答过程】 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x. 故选：B. 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，以PF为直径的圆与轴相切于点，且圆过点，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，则圆心，由于圆与轴相切于点，得，由圆过点，得，得，故，代入抛物线方程即得. 【解答过程】由题意得，，设，则圆心， 由于圆与轴相切于点，故，解得． 连接PB，由圆过点，得，所以， 又，，所以， 又B、F是不同两点，所以，则，故． 由在抛物线上，得，解得， 故该抛物线的方程为. 故选：C． 【题型4 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例4.1】（23-24高二上·陕西西安·期末）抛物线的焦点为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将方程化为标准方程，进而求焦点坐标. 【解答过程】将抛物线的方程整理为标准形式得， 可知该抛物线的焦点在轴负半轴上，且，即， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得抛物线的方程，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【解答过程】由抛物线C：过点，可得，解得， 即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为. 故选：B. 【变式4.1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由椭圆离心率为列式求得参数，进一步将抛物线方程化为标准方程即可得焦点坐标. 【解答过程】因为椭圆的离心率为，所以，解得， 则抛物线的标准方程为，它的焦点坐标为. 故选：D. 【变式4.2】（2024·福建莆田·三模）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合抛物线的定义，列出方程组，求得的值，得出抛物线的方程，即可求解. 【解答过程】因为点在抛物线 上，且， 可得，解得，即抛物线， 所以抛物线C的准线方程是. 故选：D. 【题型5 抛物线的焦半径公式】 【例5.1】（2024·青海西宁·一模）已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（    ） A． B． C．4 D．6 【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解. 【解答过程】由，得，解得. 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 又因为的纵坐标为3，点在上， 所以. 故选：C. 【例5.2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】由题意先求出过F且斜率为的直线方程，进而可求出点，接着结合点M在抛物线上且可求出，从而根据焦半径公式即可得解. 【解答过程】由题意可得，故过F且斜率为的直线方程为， 令，则由题， 因为，所以垂直于直线，故， 又M在抛物线上，所以由， 所以. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】由题意解三角形得，由此代入抛物线方程得，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】   过点作的垂线，垂足为，因为直线的倾斜角为，则， 设，因为，， 所以. 故选：B. 【变式5.2】（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】抛物线的焦点到其准线的距离为，又，进而利用得，从而可得的值. 【解答过程】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以,即, 由得，即，则， 由焦半径公式可得. 故选：A. 模块二 抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型6 抛物线的对称性的应用】 【例6.1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【解答过程】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 【例6.2】（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【解答过程】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 【解题思路】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解. 【解答过程】因为线段的垂直平分线交于两点， 所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形. 设点且则线段的垂直平分线方程为， 令与轴交于点,又，    则在直角三角形中 继而可得， 所以点坐标为， 代入抛物线，可得，解得， 直角三角形中, 所以四边形的周长为. 故选：A. 【变式6.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解法一：先根据焦半径公式求出的坐标，再求出的垂直平分线的方程，从而可求的坐标，故可求的面积. 解法二：先根据焦半径公式求出的坐标，过点作的垂线，垂足为，利用抛物线的定义可得重合，从而可求的面积. 【解答过程】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由点到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为， 令，得，即． 所以的面积为． 故选：B. 解法二：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 所以．过点作的垂线，垂足为，则，连接， 则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为． 故选：B. 【题型7 与抛物线有关的最值问题】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可. 【解答过程】如图，抛物线上点到圆心的距离为，    因此，当最小时，最小， 而， 当时，，因此的最小值是． 故选：A. 【例7.2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【解题思路】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，可得，从而转化为求的值，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【解答过程】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D. 【变式7.1】（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【解题思路】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值； （2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值 【解答过程】（1）设点， 所以当时，，所以. （2）点到直线的距离， 当时，，此时点的坐标为. 【变式7.2】（23-24高二·全国·课后作业）设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 【解题思路】 （1）利用抛物线的定义，转化点到准线的距离为到焦点的距离，再利用数形结合，即可求解；（2）利用抛物线的定义，转化点到焦点的距离为到准线的距离，再利用数形结合，即可求解； 【解答过程】（1） 如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离. 于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小. 显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.    （2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点， 　   此时，，那么,即最小值为4. 【题型8 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例8.1】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【解题思路】将点代入抛物线的方程，即可求解，再结合抛物线的公式，即可求解 【解答过程】点在抛物线上，为抛物线的焦点， ，解得， 故抛物线的方程为，,， 则的面积． 故选：A． 【例8.2】（2024·重庆·三模）已知等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的面积是（    ） A． B． C． D．24 【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点的坐标分别为、，把顶点代入抛物线方程化简即可得出答案. 【解答过程】正三角形的另外两个顶点关于轴对称， 设另外两个顶点的坐标分别为、， 把顶点代入抛物线方程得，解得， 故正三角形的边长为，面积是， 故选:C. 【变式8.1】（23-24高三下·四川成都·期末）若是抛物线上的动点，点B，C在轴上，圆内切于，则面积的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【解题思路】根据圆的切线的知识求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值. 【解答过程】设，不妨设，则， 圆的圆心为，半径， 由于圆内切于，所以， 直线的方程为，即， 则，两边平方并整理得， 同理可得， 所以， 所以， 将代入上式并整理得，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立. 故选：D. 【变式8.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果 【解答过程】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1， 则． 又，所以当四边形的面积最小时，最小． 过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则， 当点与坐标原点重合时，最小，此时． 故． 故选：C. 【题型9 抛物线的实际应用问题】 【例9.1】（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【解题思路】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【解答过程】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：    ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A. 【例9.2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【解题思路】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【解答过程】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 【变式9.1】（23-24高二上·全国·课后作业）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 【变式9.2】（23-24高二上·浙江·期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 【解题思路】 （1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置. （2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度. 【解答过程】（1） 如图， 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系， 使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的标准方程是， 焦点坐标是. （2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长， 所以每根铁筋长为，                               所以架子所用钢筋总长度为. 一、单选题 1．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【解题思路】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【解答过程】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得 的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值，则抛物线方程可求. 【解答过程】设，，则，即． 又，即，抛物线方程为． 故选：. 4．（23-24高三下·北京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的定义得到，，然后结合和三角函数得到，即可得到. 【解答过程】   如图，分别过点、向准线作垂线，垂足分别为、，过点、分别作、于点、，准线与轴交于点， 设，则由抛物线的定义可得，， 则， 因为，所以，则，，解得， 所以. 故选：D. 5．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】由已知，利用抛物线定义可得，再由等边三角形的边长为4，即可求得，即可得到的值. 【解答过程】因为是边长为4的等边三角形， 由题意可知，，由抛物线定义可得， 设准线与轴的交点为D，如下图所示： 因此与平行，由 ，可得， 所以，即. 故选：A. 6．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案. 【解答过程】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D. 7．（2024·全国·模拟预测）已知倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点．若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理求解即可. 【解答过程】设． 因为，得． 由题意，得直线的方程为． 将其代入，得， 所以． 又，所以，， 所以，所以， 解得或（舍去）． 所以抛物线的方程为． 故选：A． 8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为1 C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2 D．存在点，使得为等边三角形 【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A；求解三角形的面积判断B；利用．判断C；判断的位置，推出三角形的形状，判断D． 【解答过程】由题意抛物线过点，可得，所以抛物线方程为，所以准线方程为，A错误； 可以计算，B正确； 当时，点到的焦点的距离为2，C错误； 为等边三角形，可知的横坐标为：，当时，纵坐标为：， 则，则为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点不存在，所以D错误． 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高二下·广东·期中）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解题思路】联立方程组，结合根与系数关系应用求参. 【解答过程】设, 由题意得 , 得,, 解得或. 故选：BD. 10．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 【解题思路】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断D，结合抛物线的定义判断C. 【解答过程】抛物线焦点为，准线为，的圆心为，半径， 作出图象如下所示：    对于A：由抛物线的性质可知：的最小值为，故A正确； 对于B、D：因为，所以是外一定点， 由圆的性质可知的最小值为， 的最大值为，故B错误、D正确； 对于C：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知， 故， 而的最小值为点到准线的距离，故最小值为，故C正确． 故选：ACD. 11．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 【解题思路】根据焦半径公式求得判断A，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断BC，利用三角形面积公式求解面积判断D. 【解答过程】抛物线的准线为直线，设点在第一象限， 过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义可知，解得， 则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；    将代入抛物线方程，解得，故C错误； 焦点，点，即， 所以，故D正确； 故选：AD． 三、填空题 12．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 2 ． 【解题思路】根据抛物线的定义求解即可. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 13．（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 5 m．（精确到1m）    【解题思路】以右侧抛物线顶点为坐标原点构建直角坐标系，设抛物线方程，由在抛物线上求参数，进而求得右侧水面落点坐标，根据对称性求水池的直径. 【解答过程】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为，则，代入方程得， 所以抛物线的方程为，又， 令，则，故， 所以，根据对称性知：水池直径为m，约为5 m. 故答案为：5. 14．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 【解题思路】根据题意结合抛物线的性质可得是Rt的外接圆的直径，可知，过点A作轴，结合抛物线的定义可得，即可得方程. 【解答过程】如图，因为直线的倾斜角为，，    可知，， 设准线与轴交于点，则坐标原点是线段的中点，， 可知点是线段的中点，则， 即为直角三角形，为斜边， 所以是Rt的外接圆的直径， 由题意可得：，解得． 过点A作轴，垂足为， 在Rt中，， 又因为，则，即， 所以抛物线的方程为． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 【解题思路】（1）根据焦点位置得到，则得到其标准方程； （2）根据准线方程得到，则得到其标准方程； （3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可； （4）根据距离求出，则得到其标准方程. 【解答过程】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （2）焦点在轴正半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （3）由题意，抛物线方程可设为或， 将点的坐标代入，得或， 或． 所求抛物线的标准方程为或． （4）由焦点到准线的距离为，可知． 所求抛物线的标准方程为或或或． 16．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【解题思路】作点关于的对称点，确定，根据计算得到答案. 【解答过程】如图所示，作点关于的对称点，连接，设点，不妨设， ，直线方程为，，， 即，由， 当且仅当三点共线时取等号， 又 ， 故的最小值为． 17．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点到点的距离等于它到直线的距离， (1)求点的轨迹方程; (2)若，求周长的最小值. 【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解； （2）根据抛物线的定义可将问题转化成的最小值，根据三点共线即可求解. 【解答过程】（1）由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）由题意知，焦点为,, 当的值最小时，的周长最小. 设点在抛物线的准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知 ， 因此的最小值即的最小值. 根据平面几何的知识可得，当 三点共线时，即可作准线于, 与抛物线交于,此时 三点共线， 此时， 所以周长的最小值为 18．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【解题思路】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【解答过程】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 19．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 【解题思路】（1）运用向量知识，结合，求出即可； （2）设，则， 运用二次函数单调性解题即可. 【解答过程】（1）设，，，， ，．因为， 则，所以，所以轨迹E的方程为． （2）设轨迹E：上任一点为，所以， 所以， 令，对称轴为：， 当，即时，在区间严格增，所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为； 当，即时，在区间严格减，在区间严格增， 所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$