第08讲 椭圆及其性质（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第08讲 椭圆及其性质 【人教A版2019】 模块一 椭圆的定义和标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 4．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【题型1 椭圆的定义及其应用】 【例1.1】（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【例1.2】（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1.1】（2024·四川南充·模拟预测）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2.1】（23-24高三上·湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2.2】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【变式2.1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【变式2.2】（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 【题型3 椭圆方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题】 【例4.1】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 【例4.2】（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【变式4.1】（2024·北京·模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 模块二 椭圆的几何性质 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型5 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例5.1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【例5.2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6.1】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 椭圆的几何性质问题】 【例7.1】（2024·河南新乡·二模）已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【例7.2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式7.1】（2024·全国·模拟预测）设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式7.2】（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【题型8 椭圆中的最值问题】 【例8.1】（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【例8.2】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式8.1】（23-24高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式8.2】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【题型9 椭圆的应用问题】 【例9.1】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例9.2】（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（23-24高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【变式9.2】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若为椭圆：上一点，，为的两个焦点，且，则（    ） A． B． C． D．5 2．（2024·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B． C．的面积最大值为 D． 11．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）若椭圆方程为，则实数k的取值范围为 ． 13．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 14．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 16．（23-24高二上·广东江门·期中）已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求点P的坐标． 17．（23-24高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 18．（23-24高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 19．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知在椭圆上，分别为的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 椭圆及其性质 【人教A版2019】 模块一 椭圆的定义和标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 4．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【题型1 椭圆的定义及其应用】 【例1.1】（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【解题思路】根据题意利用椭圆的定义分析求解. 【解答过程】由椭圆方程可知：，则， 即，解得. 故选：C. 【例1.2】（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】 利用椭圆的定义，结合垂直关系列式求解即得. 【解答过程】依题意，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，即， 因此，即，所以，即. 故选：B. 【变式1.1】（2024·四川南充·模拟预测）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 先得到A，B，C，D四个点的坐标，不妨设，，，， 由椭圆定义得到，进而求出，由椭圆定义可知，P点在以，为焦点的椭圆上，求出椭圆方程，联立求出P点纵坐标，得到答案. 【解答过程】 中，令得，令得， 不妨设，，，，则A，B为椭圆的焦点， 则， 因为，所以， 又，， 由椭圆定义可知，P点在以，为焦点的椭圆上， 其中，故，， 所以P为椭圆上一点， 由，解得，则，故P到x轴的距离为． 故选：D. 【变式1.2】（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到，根据椭圆定义得到，结合求出，则，，求出. 【解答过程】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2.1】（23-24高三上·湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【解答过程】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【解题思路】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可． 【解答过程】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 【变式2.1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【解题思路】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【解答过程】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C. 【变式2.2】（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可. 【解答过程】方程可化为：， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：C. 【题型3 椭圆方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【解答过程】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C. 【例3.2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【解答过程】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【解答过程】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 【变式3.2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】连接，结合椭圆的定义，利用求出，由求出可得答案. 【解答过程】连接，依题意，知是线段的中点，， 又是线段的中点，所以 ，， 因为，所以， 因为点在椭圆上，结合椭圆的定义， ，得， 解得（舍去），所以， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 【题型4 椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题】 【例4.1】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 【解题思路】由题意，可得直线是线段的垂直平分线，进而利用椭圆的定义可求的周长. 【解答过程】设直线与相交于，    由题意，此时为等边三角形， 所以为线段的中点，进而可得为线段的垂直平分线， 所以. 因此，的周长等于 .故的周长为. 故选：D. 【例4.2】（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【解题思路】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【解答过程】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【变式4.1】（2024·北京·模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在中，利用余弦定理求得，再由求解. 【解答过程】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以， 在中，由余弦定理得：， ， 解得 ， 所以 ， ， 解得， 故选：D. 【变式4.2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 结合椭圆定义，有，即可得各边长与的关系，得到，结合即可求解. 【解答过程】设，则，所以， 因为，即，故， 所以， 所以，故，即， 所以. 故选：B. 模块二 椭圆的几何性质 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型5 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例5.1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】由于不知道焦点在哪个轴上，所以需要分类讨论. 【解答过程】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D. 【例5.2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程. 【解答过程】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，，根据得，由点在椭圆上得，再结合消元解方程即可求得，得解. 【解答过程】根据为椭圆上关于轴对称的两点，，设，则， 因为，，所以， 所以，根据点在椭圆上得， 所以，又椭圆的离心率为，所以，， 所以，解得，则，所以椭圆方程为. 故选：B. 【变式5.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆离心率，可设，，在中结合余弦定理，面积公式可以求出，进而求出椭圆方程. 【解答过程】因为椭圆离心率为，故可设，， 则椭圆的方程为. 由椭圆的定义可知，， 在中，， 由余弦定理可知， 所以， 即， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6.1】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理得出的齐次式，进而可得出答案. 【解答过程】由题意， 在中，， 则， 即， 整理得， 所以的离心率. 故选：D. 【例6.2】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【解答过程】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 【变式6.1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解. 【解答过程】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 【变式6.2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【解答过程】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 【题型7 椭圆的几何性质问题】 【例7.1】（2024·河南新乡·二模）已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【解题思路】根据倾斜角，结合椭圆的性质即可求解. 【解答过程】的斜率为，经过点，故其倾斜角为，因此, 由于，所以，所以， 故，故长轴长为, 故选：A. 【例7.2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【解题思路】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【解答过程】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B. 【变式7.1】（2024·全国·模拟预测）设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】根据离心率公式求得椭圆和椭圆离心率，列式求解求得，进而可得解. 【解答过程】因为椭圆， 所以椭圆离心率为， 椭圆的离心率， 则由题意可知，解得. 所以的长轴长为. 故选：D. 【变式7.2】（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【解题思路】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【解答过程】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 【题型8 椭圆中的最值问题】 【例8.1】（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【解题思路】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【解答过程】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 【例8.2】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【解答过程】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【变式8.1】（23-24高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【解题思路】利用椭圆的定义转化结合几何性质求最值即可. 【解答过程】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示，    可得：， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3. 故选：C. 【变式8.2】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，求出圆心和半径，求解的表达式，然后求解最值. 【解答过程】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为， 又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为， 则， 当且仅当四点共线时取等号， 则的最大值为. 故选：D. 【题型9 椭圆的应用问题】 【例9.1】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【例9.2】（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得 【解答过程】由已知得，， 由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以 即. 故选：D. 【变式9.1】（23-24高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【解答过程】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：A. 【变式9.2】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D. 【解答过程】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 一、单选题 1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若为椭圆：上一点，，为的两个焦点，且，则（    ） A． B． C． D．5 【解题思路】 根据椭圆的定义可得，联立即可. 【解答过程】 由题意可得，则，， 所以， 即，所以. 故选：D. 2．（2024·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 由已知可设可求出所有线段用表示，在中由余弦定理得从而可求. 【解答过程】如图，由已知可设，又因为 根据椭圆的定义， 在中由余弦定理得，所以 故椭圆方程为： 故选：B. 3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助椭圆定义与勾股定理计算即可得. 【解答过程】由，结合题设有，， 由，则， 化简得，故的长轴长与焦距的比值为. 故选：D. 4．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得. 【解答过程】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 5．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：D. 6．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆定义以及的位置关系及长度，构造方程即可解得离心率. 【解答过程】如下图所示：    根据题意可知，由椭圆定义可得， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得，即； 结合整理可得，即， 解得或（舍）. 故选：C. 7．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【解答过程】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 8．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义及三角形中位线的性质求出、，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【解答过程】由题意可得． 如图，因为分别是和的中点，所以， 根据椭圆定义，可得，又因为， 所以， 所以， 故的面积为． 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【解题思路】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可. 【解答过程】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误. 当时，，则的焦点在轴上，B正确. 当时，的焦距为4，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B． C．的面积最大值为 D． 【解题思路】 由题意，由椭圆定义、数形结合可判断BC；由余弦定理以及基本不等式得，由此可判断A，由焦半径范围即可判断D. 【解答过程】 由题意，所以，的面积最大值为，故B对，C错； 对于A， ， 又，当且仅当等号成立， 所以，所以，故A错； 对于D，，故D对. 故选：BD. 11．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【解题思路】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断． 【解答过程】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）若椭圆方程为，则实数k的取值范围为 ． 【解题思路】由表示椭圆方程的条件列出不等式组即可求解. 【解答过程】由题意，解得，且， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 13．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 5 . 【解题思路】先求出，，则，结合图形可知，从而可求得结果. 【解答过程】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5. 14．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 【解题思路】设，则，，表示出，在中求出，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率. 【解答过程】设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，所以， 所以，解得， 所以离心率. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 【解题思路】（1）由条件可设椭圆方程为，再由条件列方程求，即可得椭圆方程； （2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为，且，结合椭圆定义可求，由此可求及椭圆方程. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． （2）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 设椭圆的半焦距为，则， 又， 所以， 所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 16．（23-24高二上·广东江门·期中）已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求点P的坐标． 【解题思路】（1）根据题意，结合椭圆的定义得到，求得，进而求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）设点，由，求得，代入椭圆的方程，进而求得点的坐标. 【解答过程】（1）解：由椭圆的焦点为，可得，即， 又由椭圆的定义，可得， 因为的周长为，可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：设点，且，，则， 因为，可得，解得，即， 将代入椭圆，可得，即，解得， 所以点的坐标为. 17．（23-24高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）利用椭圆定义和基本不等式求的最值；（2）求的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求的最值，显然当，，三点共线时取得最值． 【解答过程】（1）∵，，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为100． （2）设为椭圆的右焦点，可化为， 由已知，得，∴， ∴． ①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是． ②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是． 综上，可知的最大值为，最小值为． 18．（23-24高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【解答过程】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 19．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知在椭圆上，分别为的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长. 【解题思路】（1）把给定点的坐标代入椭圆方程，建立方程组并求解即得. （2）根据给定条件，利用椭圆定义计算即得. 【解答过程】（1）由点在椭圆上， 得，解得，则半焦距， 所以的离心率为. （2）因为动点均在上，且在轴的两侧， 所以由椭圆的定义得，四边形的周长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$